牛耀明

（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014030）

關(guān)于數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)改革的幾點認(rèn)識

牛耀明

（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014030）

本文討論在數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)中，通過改進(jìn)教學(xué)理念和方法，能夠使學(xué)生更好地和更有效地掌握數(shù)學(xué)分析的教學(xué)內(nèi)容和相關(guān)數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和提高學(xué)生解決問題的能力，從而提高數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)質(zhì)量.

數(shù)學(xué)分析；課程；教學(xué)改革

由于“數(shù)學(xué)分析”側(cè)重于理論知識的研究，經(jīng)常會使學(xué)生感到枯燥、對知識點理解不深刻，從而影響學(xué)習(xí)效果.如學(xué)生在一元函數(shù)微積分的學(xué)習(xí)中，對極限、導(dǎo)數(shù)和連續(xù)的概念理解不夠深刻，在學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微積分時，學(xué)生學(xué)習(xí)會很吃力，學(xué)生會對多元函數(shù)微積分的相關(guān)定義理解不準(zhǔn)確，從而不能很好地掌握相關(guān)內(nèi)容，也導(dǎo)致學(xué)生很被動，不知學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的用處，從而教學(xué)質(zhì)量受到嚴(yán)重影響.為了能夠使學(xué)生更好地和更有效地掌握數(shù)學(xué)分析的教學(xué)內(nèi)容和相關(guān)數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力以及提高數(shù)學(xué)分析的課程的教學(xué)質(zhì)量.筆者提出以下幾點關(guān)于數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)改革的建議.

1 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的興趣

數(shù)學(xué)的歷史從某種角度來說可以看成是數(shù)學(xué)名人的歷史.在課堂教學(xué)中講到相關(guān)知識時可以介紹數(shù)學(xué)家的生平和研究經(jīng)歷，有助于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在其中找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精神動力.在數(shù)學(xué)分析的教材中的相關(guān)定義和定理涉及很多數(shù)學(xué)家，如在介紹預(yù)備知識時的數(shù)學(xué)符號正弦sin和余弦cos，虛數(shù)單位i以及自然底數(shù)e，這些數(shù)學(xué)符號都是歐拉命名的，并且歐拉是第一個使用函數(shù)來描述包含各種參數(shù)的表達(dá)式的人.于是在教學(xué)時可以向?qū)W生講述數(shù)學(xué)家歐拉的生平和研究經(jīng)歷.歐拉1707年4月15日出生于瑞士，歐拉被描繪成“分析學(xué)的化身”，他使數(shù)學(xué)發(fā)生了徹底的變革，他擴(kuò)展了數(shù)論、代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)，同時創(chuàng)建了圖論、變分學(xué)和分拆論.歐拉是有史以來最多遺產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他的全集共計75卷.[1]在他生命的最后17年中，歐拉的雙目完全失明，對失明的到來卻很鎮(zhèn)定.但是他并沒有讓自己屈服于寂靜和黑暗，在最后一點光感消失之前，他就使自己習(xí)慣了用粉筆在大石板上寫公式，然后讓他的孩子們當(dāng)抄寫員，他再口授公式的解釋.他的數(shù)學(xué)新作不僅沒有減少，反而增多了.在課堂教學(xué)中教師如果能在恰當(dāng)?shù)臅r候給學(xué)生介紹這些歷史名人的生平不僅可以傳遞數(shù)學(xué)思想，而且可以起到對所學(xué)知識的提升，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的興趣.還比如在教學(xué)內(nèi)容講到微積分基本公式時，可以介紹牛頓和萊布尼茨分別獨立發(fā)現(xiàn)微積分基本公式的相關(guān)歷史.于是課堂教學(xué)滲透數(shù)學(xué)史可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、開闊學(xué)生視野，提高教學(xué)效果.

2 處理好數(shù)學(xué)分析與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接

由于數(shù)學(xué)分析教材和新的高中數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容上有很多重復(fù)的知識點，并有內(nèi)容不連續(xù)的脫節(jié)現(xiàn)象.如果任課教師不能及時了解新的高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容上有哪些改變，沒有及時更新教學(xué)理念，沒有針對這些變化調(diào)整教學(xué)方法，從而會影響教學(xué)效果.如在介紹預(yù)備知識時，講到幾類初等函數(shù)的性質(zhì)時，三角函數(shù)可以簡單介紹，因為這部分內(nèi)容中學(xué)數(shù)學(xué)已經(jīng)系統(tǒng)地地介紹過，在課堂教學(xué)中重點介紹中學(xué)沒有學(xué)過的函數(shù)如符號函數(shù)、狄利克雷函數(shù)以及黎曼函數(shù)的性質(zhì)，因為這幾類函數(shù)有著重要的分析性質(zhì).在處理極限和導(dǎo)數(shù)的教學(xué)過程中，計算數(shù)列極限、導(dǎo)數(shù)運算法則、求導(dǎo)公式以及這些知識的簡單應(yīng)用已經(jīng)被編寫到高中數(shù)學(xué)教材中.于是在課題教學(xué)中應(yīng)該給學(xué)生少布置一些極限計算和求導(dǎo)數(shù)的習(xí)題，而應(yīng)該多布置一些證明數(shù)列極限和極限存在的習(xí)題，以及高階導(dǎo)數(shù)與微分的習(xí)題，這樣才能讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)分析這門課的思想和培養(yǎng)解決問題的能力，深刻掌握相關(guān)知識點，為將來更高層次的學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ).

另一方面由于數(shù)學(xué)分析這門課程的定義和定理都是通過數(shù)學(xué)語言來刻畫的，這同中學(xué)數(shù)學(xué)完全不同，為使學(xué)生順利地過渡到大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，因此在課題教學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言方面的教學(xué).由于數(shù)學(xué)語言表現(xiàn)出來的概括性、抽象性、簡潔性、精確性等特性，是文字所不能替代的.[2]任課教師在課堂教學(xué)中盡量多用數(shù)學(xué)語言來描述相關(guān)概念和定理，在上課時讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言回答所提問題，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言解決問題.此外，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從否定的意義上去理解數(shù)學(xué)分析的概念，熟練掌握這些概念否定的敘述形式，使學(xué)生能將一個命題及它的否命題進(jìn)行文字語言與符號語言的互譯.如“極限存在、極限不存在”，如“級數(shù)一致收斂、級數(shù)非一致收斂”等.

3 提高學(xué)生解決問題的能力

教師在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中應(yīng)該提高學(xué)生解決問題的能力.筆者發(fā)現(xiàn)在每次的考試過程中學(xué)生如遇到的題目與與平時練習(xí)的題目變化比較大時，很多學(xué)生束手無策，不能解答，究其原因之一是學(xué)生對相關(guān)知識點沒有深刻理解和掌握.因此教師在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中就應(yīng)重視背景教學(xué)，抓住知識的實際背景，使學(xué)生不僅掌握數(shù)學(xué)理論知識，而且認(rèn)識到數(shù)學(xué)來源于實際生活，從而為學(xué)生分析處理實際問題奠定基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決實際問題的能力.例如，在講授定積分、重積分以及曲線積分和曲面積分時，先介紹這些概念的物理背景，即不均勻的各種形狀的構(gòu)件的質(zhì)量問題.求質(zhì)量的基本思路都是一樣的，都是“分割、近似代替、求和、取極限”，不同形狀的構(gòu)件，分割的對象不同，求和的形式不同，抽象出來就是不同的積分.接下來在給出相關(guān)積分的嚴(yán)格定義和討論其性質(zhì)，這樣讓學(xué)生既了解了這些積分概念產(chǎn)生的背景，又對這些積分有了比較系統(tǒng)和和深入的認(rèn)識.[3]

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題能力差的表現(xiàn)是學(xué)生對相關(guān)知識點不能靈活應(yīng)用.眾所周知，數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展都來源于對實踐的感性認(rèn)識，如果教師在教學(xué)中能借助直觀的幾何圖形來引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生觀察、分析，將有助于學(xué)生理解抽象的概念，如深刻理解函數(shù)的微分、定積分、二重積分等概念的幾何意義，能使學(xué)生對這些概念理解更深刻，能更靈活運用概念分析問題，提高學(xué)生的分析與解決問題的能力.數(shù)學(xué)分析中有些問題如果使用數(shù)形結(jié)合的方法來教學(xué)生解題，可提高解題效率，如在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，特別是計算重積分時應(yīng)畫出積分區(qū)域，再確定積分的范圍.此外，教學(xué)中應(yīng)注意避免大段的理論講授，盡可能講練結(jié)合，邊講邊練，并且要做到精講多練.例如由于定積分中值定理的形式比較多，且每個定理對函數(shù)的要求條件不同，筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)定積分中值定理這部分內(nèi)容時比較容易混淆這些定理的條件，在遇到問題時不知應(yīng)用哪個定理.因此在教學(xué)過程中讓學(xué)生多做這方面的練習(xí)，多布置這方面的習(xí)題為作業(yè)，教師可以及時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)中值定理的情況，并根據(jù)學(xué)生的練習(xí)反饋情況實施更有針對性的教學(xué).這樣才能讓學(xué)生深刻理解每個積分中值定理中對函數(shù)要求的條件和靈活應(yīng)用，從而提高學(xué)生的解題問題的能力.

總之，數(shù)學(xué)分析這門課程的教學(xué)是一個不斷探索與改進(jìn)的過程.因此數(shù)學(xué)分析任課教師在教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，教學(xué)中應(yīng)注意避免大段的理論講授，盡可能講練結(jié)合，邊講邊練，并且要做到精講多練，讓學(xué)生深刻掌握數(shù)學(xué)分析的相關(guān)知識點，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和提高學(xué)生解決問題的能力.

〔1〕Willian Dunham.微積分的歷程[M].北京:人民郵電大學(xué)出版社,2010.

〔2〕劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京，高等教育出版社，1992.

〔3〕陶哲軒.陶哲軒實分析[M].北京:人民郵電大學(xué)出版社,2007.

G642

A

1673-260X（2013）08-0227-02

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