王仲才

（南昌理工學(xué)院 江西 南昌 330044）

[引理1] 接連的10個(gè)正整數(shù)中，前5個(gè)取負(fù)，后5個(gè)取正，則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。

證明 設(shè)n為正整數(shù)，那么接連的10個(gè)正整數(shù)中，前5個(gè)是

前后對(duì)應(yīng)之差都是5，代數(shù)和是45=5×9

證畢。

[引理2] 接連的10個(gè)正整數(shù)的2l次方中（l為正整數(shù)），前5個(gè)取負(fù)，后5個(gè)取正，則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。

證明 由[引理1]，l=0時(shí)結(jié)果成立，由2數(shù)平方差

得知，結(jié)論對(duì)于l=1時(shí)成立。

假設(shè)結(jié)論對(duì)于l=h（正整數(shù)）成立，即

是5的整數(shù)倍，那么，對(duì)于l=h+1時(shí)

由假設(shè)得悉，它是5的整數(shù)倍，總的代數(shù)和自然也是5的整數(shù)倍。

證畢。

[定理2] 接連的10個(gè)正整數(shù)的3l次方 （l為正整數(shù)）中，前5個(gè)取負(fù)，后5個(gè)取正，則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。

證明 由2數(shù)立方差公式

和[引理1]得悉，對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是5的整數(shù)倍，那么總的代數(shù)和自然是5的整數(shù)倍，即結(jié)論對(duì)l=1時(shí)成立。

假設(shè)l=h(正整數(shù)）時(shí)結(jié)論成立，即

是5整數(shù)倍，那么對(duì)于l=h+1

由假設(shè)它是5的整數(shù)倍，那么總的代數(shù)和的自然數(shù)是5的整數(shù)倍。

證畢。

[定理3] 接連的10個(gè)正整數(shù)的5l次方 （l為正整數(shù)）中，前5個(gè)取負(fù)，后5個(gè)取正，則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。

證明 設(shè)n,m為正整數(shù)，則

它是5的整數(shù)倍。

由[引理1]和公式得知（上式取m=1)

即對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差是5的整數(shù)倍，從而總的代數(shù)和自然是5的整數(shù)倍，即結(jié)論對(duì)5次方成立。

假設(shè)對(duì)于l=h（正整數(shù)）結(jié)論成立，即

是5的整數(shù)倍，那么對(duì)于l=h+1

是（1）式和假設(shè)，它也是5的整數(shù)倍，從而總的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。

證畢。

[定理4] 接連的10個(gè)正整數(shù)的7l（l為正整數(shù)）次方中，前5個(gè)取負(fù)，后5個(gè)取正，則它們的代數(shù)和是5的整數(shù)倍。

證明 設(shè)n,m為正整數(shù)，則由（1）式得

它是5的整數(shù)倍。

由（2）得悉，結(jié)論對(duì)l=1成立，即若a-b是5的整數(shù)倍，那么a7-b7也是5的整數(shù)倍，現(xiàn)假設(shè)l=h（正整數(shù)）結(jié)論成立，即

是5的整數(shù)倍，那么對(duì)于l=h+1時(shí)，

由歸納假設(shè)和（2）式得知，它也是5的整數(shù)倍，那么總的代數(shù)和的自然也是5的整數(shù)倍。

證畢。

注意到

li為正整數(shù)，那么有

證明 這是反復(fù)應(yīng)用[定理1-4]和式（2）的直接結(jié)果。

證畢。

[定理6] 設(shè)h為正整數(shù)，則10h個(gè)正整數(shù)（接連的）的2l,3l,5l,7l次方中（l為正整數(shù)）的5h個(gè)取負(fù)，后5h個(gè)取正，則它們的代數(shù)和都是5的整數(shù)倍（h為正整數(shù)）。

證明 設(shè)n為正整數(shù)，則接連的10h個(gè)正整數(shù)中，前5h個(gè)是

后5h個(gè)是

對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是5h，即是5的整數(shù)倍。

由[定理1-4]和式（2），即得結(jié)論。

證畢。

[引理2] 接連的10個(gè)偶數(shù)中，前5個(gè)取負(fù)，后5個(gè)取正，它們的代數(shù)和是10的整數(shù)倍。

證明 設(shè)n為正整數(shù)，則接連的10個(gè)偶數(shù)中，前5個(gè)是

后5個(gè)是

對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是10，從而它們的代數(shù)和是10的整數(shù)倍。

[定理7] 接連的10個(gè)偶數(shù)的2l,3l,5l,7l,10l(l為正整數(shù)）的2l,3l,5l,7l中，前5個(gè)取負(fù)，后5個(gè)取正，則它們的代數(shù)和都是10的整數(shù)倍。

證明 由式（2），取m=2，類似[定理1-4]的證明，即得結(jié)論。

證畢。

證明 由[引理2]和類似[核心定理5]的證明，即得結(jié)論。

證畢。

證明 10h個(gè)偶數(shù)中，前5h個(gè)是

后5個(gè)是

對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是10h，類似[定理1-4]和式（2）即得結(jié)論。

[引理3] 接連的10個(gè)奇數(shù)中，前5個(gè)取負(fù)，后5個(gè)取正，則它們的代數(shù)和是10的整數(shù)倍。

證明 接連的10個(gè)奇數(shù)中，前5個(gè)是

后5個(gè)是2n+9,2n+11,2n+13,2n+15,2n+17

對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是10，那么的代數(shù)和是10的整數(shù)倍。

證畢。

[定理10] 接連的10個(gè)奇數(shù)的2l,3l,5l,7l,10l(l為正整數(shù)）次方中，前5個(gè)取負(fù)，后5個(gè)取正，則它們的代數(shù)和都是10的整數(shù)倍。

證明 由[引理3]這個(gè)證明完全類似[定理7]的證明。

證畢。

證明 由[引理3]，這個(gè)證明完全類似[核心定理8]的證明。

證明 接連的10h個(gè)奇數(shù)中，前5h個(gè)是

對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差都是10h，由（2）式和[定理9]的證明，即得結(jié)論。

證畢。

［1］王仲才.關(guān)于12的神奇特征［J］.江西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2012,（2）.

［2］王仲才.關(guān)于6的整數(shù)倍的第三個(gè)神奇特征［J］.江西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2012,（4）.