錢(qián)立凱， 杜先存

(1.紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 蒙自 661199；2.曲靖師范學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 曲靖 655011)

關(guān)于不定方程x3±27=Dy2

錢(qián)立凱1， 杜先存2

(1.紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 蒙自 661199；2.曲靖師范學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 曲靖 655011)

利用初等方法得出了：D=27t2+1(t≡0(mod2))為奇素?cái)?shù)時(shí)，不定方程x3+27=Dy2無(wú)正整數(shù)解；D=27t2+1(t≡4(mod8))為奇素?cái)?shù)時(shí)，不定方程x3-27=Dy2無(wú)正整數(shù)解.

不定方程；奇素?cái)?shù)；正整數(shù)解；同余式

方程：

x3±27=Dy2(x,y∈N,D>0，且無(wú)平方因子)

(1)

是一類重要的不定方程，其整數(shù)解已有不少人研究過(guò).D無(wú)6k+1型素?cái)?shù)的奇次冪因子時(shí)，1988年，曹玉書(shū)[1]給出了不定方程(1)的全部整數(shù)解；當(dāng)D無(wú)平方因子且不能被6k+1型素?cái)?shù)整除時(shí)，1996年，倪谷炎[2]在《關(guān)于丟番圖方程x3±p3n=Dy2》中給出了p=3時(shí)不定方程x3±p3n=Dy2的全部非平凡整數(shù)解；高麗、強(qiáng)春麗[3]給出了方程x3±27=28y2的全部整數(shù)解；李雙娥、林麗娟[4]給出了方程x3+27=7y2的全部整數(shù)解；田志勇、羅明[5]給出了方程x3+27=91y2的全部整數(shù)解；李雙娥[5]給出了方程x3+27=26y2的全部整數(shù)解.以處用初等方法給出方程(1)無(wú)解的充分條件.

引理1[6]設(shè)D=27t2+1 (t∈N+)為奇素?cái)?shù)時(shí)，則Diophatine方程x3+1=3Dy2(x,y∈Z+)無(wú)正整數(shù)解.

引理2[6]設(shè)D=27t2+1(t∈Z+)為奇素?cái)?shù)時(shí)，則Diophatine方程x3-1=3Dy2(x,y∈Z+)無(wú)正整數(shù)解.

定理1 若D=27t2+1(t≡0(mod2))為奇素?cái)?shù)，則不定方程

x3+27=Dy2

(2)

無(wú)正整數(shù)解.

證明(1)x≡0(mod3)時(shí).

因?yàn)閤≡0(mod3)，所以x3+27≡0(mod27)，故Dy2≡0(mod27)，又因?yàn)镈=27t2+1是奇素?cái)?shù)，故y2≡0(mod27)，即y≡0(mod9)，故設(shè)x=3x1，y=9y1，則式(2)可化為x13-1=3Dy12，又因?yàn)镈=27t2+1為奇素?cái)?shù)，由引理1得不定方程x13-1=3Dy12無(wú)正整數(shù)解，故方程(2)無(wú)正整數(shù)解.

(2)x≡0(mod3)時(shí).

因?yàn)槭?2)可化為(x-3)(x2+3x+9)=Dy2，又(x-3,x2+3x+9)=1，D為奇素?cái)?shù)， 所以式(2)可以分解為以下兩種可能的情形：

情形Ⅰ：x+3=Du2，x2-3x+9=v2，y=uv，gcd(u,v)=1.

情形Ⅱ：x+3=u2，x2-3x+9=Dv2，y=uv，gcd(u,v)=1.

對(duì)于情形Ⅰ，由式(2)得x=-5，x=0，x=3，x=8，代入式(1)均不成立，故情形Ⅰ無(wú)方程(2)的正整數(shù)解.

對(duì)于情形Ⅱ，由式(1)得x=u2-3，因u2≡0,1,4(mod8)，故x≡1,5,6(mod8)，所以x2-3x+9≡3,7(mod8).又因?yàn)閤2-3x+9為奇數(shù)，D為奇素?cái)?shù)，所以v2為奇數(shù)，則v2≡1(mod8)，又D=27t2+1，t≡0(mod2)，所以27t2≡0,4(mod8)，故Dv2≡1,5(mod8).所以有3,7≡x2+3x+9=Dv2≡1,5(mod8)，矛盾.故情形Ⅱ無(wú)方程(2)的正整數(shù)解.

綜上可得，當(dāng)D=27t2+1(t≡0(mod2))為奇素?cái)?shù)時(shí)，不定方程(2)無(wú)正整數(shù)解.

定理2 若D=27t2+1(t≡4(mod8))為奇素?cái)?shù)，則不定方程

x3-27=Dy2

(3)

無(wú)正整數(shù)解.

證明(1)x≡0(mod3)時(shí).

因?yàn)閤≡0(mod3)，所以x3-27≡0(mod27)，故Dy2≡0(mod27)，又因?yàn)镈=27·t2+1是奇素?cái)?shù)，故y2≡0(mod27)，即y≡0(mod9)，故設(shè)x=3x1，y=9y1，則式(3)可化為x13-1=3Dy12，又因?yàn)镈=27t2+1為奇素?cái)?shù)，由引理2得不定方程x13-1=3Dy12無(wú)正整數(shù)解，故方程(3)無(wú)正整數(shù)解.

(2)x≡0(mod3)時(shí).

因?yàn)槭?3)可化為(x-3)(x2+3x+9)=Dy2，又(x-3,x2+3x+9)=1，D為奇素?cái)?shù)， 所以式(3)可以分解為以下兩種可能的情形：

情形Ⅰ：x-3=Du2，x2+3x+9=v2，y=uv，gcd(u,v)=1.

情形Ⅱ：x-3=u2，x2+3x+9=Dv2，y=uv，gcd(u,v)=1.

對(duì)于情形Ⅰ，由式(2)得x=-8，x=5，x=-3，x=0，代入式(1)均不成立.故情形Ⅰ無(wú)方程(3)的正整數(shù)解.

對(duì)于情形Ⅱ，由式(1)得x=u2+3，因u2≡0,1,4(mod8)，故x≡3,4,7(mod8)，所以x2+3x+9≡3,5,7(mod8).又因?yàn)閤2+3x+9為奇數(shù)，D為奇素?cái)?shù)，所以v2為奇數(shù)，則v2≡1(mod8)，又D=27t2+1，t≡4(mod8)，所以27t2≡0(mod8)，故D≡1(mod8)，所以Dv2≡1(mod8).所以有3,5,7≡x2+3x+9=Dv2≡1(mod8),矛盾.故情形Ⅱ無(wú)方程(3)的正整數(shù)解.

綜上可得，當(dāng)D=27t2+1(t≡4(mod8))為奇素?cái)?shù)時(shí)，不定方程(3)無(wú)正整數(shù)解.

[1] 曹玉書(shū).關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),1988(2)：4-8

[2] 倪谷炎.關(guān)于丟番圖方程x3±p3n=Dy2[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1996(6)：658-664

[3] 高麗，強(qiáng)春麗.關(guān)于不定方程x3±27=28y2[J].云南師范大學(xué)學(xué)報(bào),2013,33(1)：1-3

[4] 李雙娥，林麗娟.關(guān)于不定方程x3+27=7y2[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2007,24(4)：325-327

[5] 田志勇，羅明.關(guān)于不定方程x3+27=91y2[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2012,29(1)：11-13

[6] 杜先存,吳叢博,趙金娥.關(guān)于Diophantine方程x3±1=3Dy2[J].沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,25(1)：84-86

On Diophantine Equation x3±27=Dy2

QIANLi-kai1，DUXian-cun2

(1. Teachers’Educational College，Honghe University，Yunnan Mengzi 661199，China；2. School of Teacher Education, Qujing Normal University,Yunnan Qujing 655011, China)

LetDbe an odd prime， by using elementary method，we prove that Diophantine equationx3+27=Dy2has no positive integer solutions, whereD=27t2+1(t≡0(mod 2)). In addition, we also prove that Diophantine equationx3-27=Dy2has no positive integer solutions, whereD=27t2+1(t≡4(mod 8)).

Diophantine equation；odd prime；positive integer solution；congruence

1672-058X(2013)12-0022-02

2013-04-25；

2013-06-20.

錢(qián)立凱(1982-)，男，云南洱源人，碩士，講師，從事數(shù)學(xué)教育及初等數(shù)論研究.

O156

A

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