莊金順

?

用列表法探索指數(shù)函數(shù)模型教學(xué)一例

莊金順

（平和職業(yè)技術(shù)學(xué)校，福建 漳州 363700）

函數(shù)應(yīng)用是職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，用函數(shù)方法解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型。用列表法引導(dǎo)學(xué)生建立指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型和對(duì)數(shù)模型是課堂教學(xué)的有效手段，是職業(yè)學(xué)校新課程提倡的方法，它旨在讓學(xué)生用直觀明了的列表法得出數(shù)學(xué)模型，并借助現(xiàn)代計(jì)算工具學(xué)會(huì)解決如GDP增長(zhǎng)、人口增長(zhǎng)、生物體內(nèi)碳-14衰減等實(shí)際問題，加深認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用的重要性。

指數(shù)函數(shù)；數(shù)學(xué)模型；教學(xué)過程；教學(xué)體會(huì)

1 引 言

新版《數(shù)學(xué)》課程增加了一些實(shí)用性的問題，突出職業(yè)特色，函數(shù)應(yīng)用內(nèi)容素材選取貼近實(shí)際，極大地提高了職校學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。函數(shù)是描述客觀世界變化的重要數(shù)學(xué)模型。指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)它們刻畫現(xiàn)實(shí)世界中具有不同變化的現(xiàn)象，它與現(xiàn)實(shí)生活緊密相連，使用函數(shù)模型可解決身邊很多的實(shí)際問題。如在自然條件下細(xì)胞分裂、人口增長(zhǎng)、復(fù)利計(jì)算、生物體內(nèi)碳-14的衰減、為什么要準(zhǔn)時(shí)服感冒藥等諸多問題都可選用指數(shù)函數(shù)模型或?qū)?shù)函數(shù)模型加以解決。新教材要求使用多媒體教學(xué)和運(yùn)用計(jì)算工具，減少學(xué)生的運(yùn)算量。因此，節(jié)約了時(shí)間，提高了效率，可增加老師教學(xué)容量和學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容。

下面就用列表法解決指數(shù)函數(shù)模型和對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用問題進(jìn)行教學(xué)嘗試。

2 教學(xué)過程

2.1 閱讀資料（幻燈片展示）

（1）國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（簡(jiǎn)稱GDP）：國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是一個(gè)國(guó)家（地區(qū)）領(lǐng)土面積內(nèi)的經(jīng)濟(jì)情況的度量，它被定義為所在一個(gè)國(guó)家（地區(qū)）內(nèi)一段特定是時(shí)間（一般為一年）里生產(chǎn)的所有產(chǎn)品提供的服務(wù)總值。（如圖1）

圖1 國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（簡(jiǎn)稱GDP）

（2）碳-14和半衰期：大氣中的碳-14能跟氧原子結(jié)合生成二氧化碳，生物存活期間，不斷從大氣中獲取這種放射性碳，死后就停止吸收，存在體內(nèi)的放射性碳也不斷減少，且每年的衰變速度不變，大約經(jīng)過5730年它的含量可衰減為一半，稱5730年為碳-14的“半衰期”。只要用儀器測(cè)出文物中現(xiàn)有的碳-14含量與原始的碳-14水平相比就能進(jìn)行文物的年代鑒定。（如圖2）

圖2 碳-14和半衰期

通過閱讀小資料，認(rèn)識(shí)GDP和碳-14半衰期知識(shí)，有助于對(duì)以下問題的理解。

2.2 引入問題

問題1：某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂1次，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)……問經(jīng)過4小時(shí)后這種細(xì)菌1個(gè)可繁殖多少個(gè)？設(shè)X分繁殖的細(xì)菌數(shù)為Y。

師：這種細(xì)菌1小時(shí)分裂幾次？2小時(shí)分裂幾次？

生：1小時(shí)分裂3次，2小分裂6次。

師：完成表1內(nèi)容。

表1 細(xì)胞個(gè)數(shù)Y與細(xì)胞分裂時(shí)間X關(guān)系

師：由此得Y與X的關(guān)系式是什么？X有什么限制？

師：它是什么函數(shù)？

生：它是指數(shù)函數(shù)。

師：當(dāng)X＝240時(shí)，Y的值是多少？用計(jì)算器計(jì)算。

圖3 指數(shù)函數(shù)

2.3 指數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)和衰減模型的定義形成)

案例1 （幻燈片展示）十八大報(bào)告指出，到2020年我國(guó)GDP翻一番，可望實(shí)現(xiàn)全面小康社會(huì)。從2010年起，若我國(guó)GDP年平均增長(zhǎng)率達(dá)到7.1%。那么2020年能否實(shí)現(xiàn)GDP翻一番的目標(biāo)？（如圖4）

圖4 案例1

解：設(shè)2010年我國(guó)的GDP為M億元，X年后我國(guó)的GDP為Y億元。

師：根據(jù)問題信息列表，見表2。

表2 GDP Y與年限X關(guān)系

師：由此得Y與X的函數(shù)關(guān)系式是什么？

師：X有什么限制？

師：當(dāng)X＝10時(shí)得2020年GDP的值Y＝M（1.073）10由計(jì)算器求得Y≈2M（億元）即2020年GDP的值是2010年的2倍。實(shí)現(xiàn)十八提出的奮斗目標(biāo)。

圖5 指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型

我們把形如Y＝MaX（a＞0且a≠1，M為原始量、X∈R）稱指數(shù)函數(shù)模型。如圖5，當(dāng)a＞1時(shí)稱指數(shù)增長(zhǎng)模型，當(dāng)0＜a＜1時(shí)稱指數(shù)衰減模型。

問題2（練習(xí)）：某市2008年GDP為20億元，計(jì)劃在未來10年內(nèi)每年按8%的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，分別預(yù)測(cè)該市2013年和2018年的GDP總值（精確到0.01億元）。

學(xué)生根據(jù)案例1的方法可以在較短時(shí)間內(nèi)完成解答。

2.4 對(duì)數(shù)模型

（指數(shù)模型拓展為對(duì)數(shù)模型）案例2（幻燈片展示）生物機(jī)體內(nèi)碳-14的半衰期為5730年，湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳-14的殘余量約占原始量的76.7%，試推算馬王堆漢墓的年代。（如圖6）

圖6 案例2

解：我們首先推算生物死亡T年后每克組織中的碳-14的含量，設(shè)生物死亡時(shí)體內(nèi)每克組織含量為1，1年后殘余量為X，由于死亡機(jī)體中原有的碳-14安規(guī)律衰減，所以生物體的死亡年 T與其體內(nèi)每克碳-14含量P的關(guān)系見表3。

表3 死亡年數(shù)T與碳-14含量P的關(guān)系

由此得P＝XT，由于大約每經(jīng)過5730年，死亡生物體內(nèi)的碳-14含量衰減為原來的一半。

圖7 對(duì)數(shù)衰減模型圖

2.5 模型應(yīng)用

因?yàn)榻衲晔?013年，達(dá)·芬奇出生于1452年，又2013-1452-503＝58，這幅畫是達(dá)·芬奇約在58歲左右時(shí)完成，從時(shí)間上判斷不是贗品。

2.6 課后探索

探索案例1：（人口問題）截止到1999年底，我國(guó)人口約13億，如果今后將人口年平均增長(zhǎng)率控制在1%，那么經(jīng)20年后，我國(guó)人口最多為多少（精確到億）？若人口控制年平均增長(zhǎng)率為2%，那么20年后，我國(guó)人口最多為多少（精確到億）？通過計(jì)算如何看待我國(guó)的人口計(jì)劃生育政策？

探索案例2：（家庭投資問題）①某人在2002年3月在某市區(qū)用20萬元購買一套商品房，房子的價(jià)值在此后的10年（到2012年3月）每年增長(zhǎng)10%，計(jì)算此房子到2012年3月的價(jià)值。

②如果某人他在2002年3月沒有投資買房，而是把買房款20萬元儲(chǔ)蓄，10年間銀行復(fù)利率5.8%，計(jì)算儲(chǔ)蓄到期后的總額。

③如果這10年間年平均通貨膨脹率為4%，分別計(jì)算某人的房子價(jià)值和他儲(chǔ)蓄后的價(jià)值。

通過比較，你認(rèn)為哪種投資方式較好。

3 教學(xué)思考

在這節(jié)課剛設(shè)計(jì)教學(xué)方式時(shí)有點(diǎn)擔(dān)心，因?yàn)閷W(xué)生基礎(chǔ)差，畏懼函數(shù)題，但通過變換教學(xué)方式，抓住學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的好奇心和剛會(huì)計(jì)算器做數(shù)學(xué)題的興趣，環(huán)環(huán)相扣，引導(dǎo)學(xué)生在案例中找規(guī)律，由于列表法信息集中明了，很快就掌握指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型運(yùn)用。使問題2、3順利得到解決，這是原先沒有想到的。

多年的教學(xué)體會(huì)，在教學(xué)方法、方式上適當(dāng)調(diào)整課堂教學(xué)計(jì)劃，根據(jù)專業(yè)特點(diǎn)，增加一些有現(xiàn)實(shí)意義的例子進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生能從這些實(shí)例中學(xué)到真正有用的數(shù)學(xué)。“教學(xué)有法，教無定法”。在課堂教學(xué)中還有很多問題值得我們?nèi)リP(guān)注，許多規(guī)律值得我們?nèi)ヌ剿鳌?/p>

利用指數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)重要方面。現(xiàn)實(shí)世界存在大量問題可以通過體現(xiàn)變量關(guān)系的指數(shù)函數(shù)模型得到解決。上述幾個(gè)例子都是圍繞實(shí)際問題的討論而展開的，反映了指數(shù)函數(shù)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)系。我們通過列表方式，可以有效提高學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)解決現(xiàn)實(shí)問題的認(rèn)識(shí)。

[1] 李廣全,李尚志.中等職校教育課程新教材(數(shù)學(xué)上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2009:76,86.

[2] 雷玲.中學(xué)名師教學(xué)藝術(shù)[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2008:202.

[3] 徐斌艷.數(shù)學(xué)課程改革與教學(xué)指導(dǎo)[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2009,52-53.

[4] 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(數(shù)學(xué)必修1)[M].北京:人民教育出版社,2007:58,67.

A Case of Using Tabulation Method into Model Teaching of Exponential Function

ZHUANG Jin-shun

(Pinghe Vocational School, Pinghe 363700, China)

The application of function is the key point for mathematical teaching in vocational school, and the key to solve practical problems with function is to establish the mathematical model. Using the tabulation method to guide students to establish exponential model and logarithmic model is an effective means of classroom teaching, and also is a new teaching way to be advocated in vocational school. It aims at letting the students to use this simple and direct way to obtain mathematical model, and the use of modern computational tools to solve the actual problems, such as GDP growth, population growth, biological carbon -14 attenuation ,therefore to deepen the understanding of the importance of the application of exponential function model

exponential function; mathematical model; teaching process; teaching experience

2013－04－25

莊金順（1962－），男，福建平和人，中職講師，本科。

G712

A

1673-1417（2013）02-0082-06

（責(zé)任編輯：季平）