楊順平??（中國(guó)西南電子技術(shù)研究所，成都610036）

移相器幅相誤差對(duì)FFT法校準(zhǔn)誤差的影響?

楊順平??
（中國(guó)西南電子技術(shù)研究所，成都610036）

考慮了快速傅里葉變換（FFT）校準(zhǔn)方法在各種配相狀態(tài)的相關(guān)性情況，分析了移相器幅相誤差對(duì)FFT法校準(zhǔn)誤差的影響，得到了校準(zhǔn)后的幅度誤差和相位誤差公式。給出了仿真結(jié)果，對(duì)比仿真結(jié)果和理論分析，兩者非常吻合。由該公式得出了影響該項(xiàng)誤差的因素除了和移相器幅相誤差、校準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)的傳輸系數(shù)有關(guān)外，還和被校準(zhǔn)通道的位置編號(hào)有關(guān)系。解釋了在大動(dòng)態(tài)條件下，校準(zhǔn)精度惡化的原因，并給出了解決該問(wèn)題的方法。

相控陣；FFT；幅相校準(zhǔn)；幅相誤差

1 引言

相控陣天線(xiàn)通過(guò)控制陣列中各個(gè)單元相位實(shí)現(xiàn)天線(xiàn)波束指向改變，由于移相器的誤差、阻抗不匹配引起的反射、溫度變化影響等使得饋線(xiàn)各單元通道之間幅相不一致，存在幅相誤差。該誤差對(duì)天線(xiàn)的波束指向、副瓣電平、波束寬度、增益等指標(biāo)均有重要影響，為了保證相控陣天線(xiàn)的性能指標(biāo)，必須使得該誤差盡量小。相控陣天線(xiàn)研制中常常通過(guò)通道校準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)對(duì)該誤差的改善。

相控陣天線(xiàn)的通道校準(zhǔn)方法有多種［1－4］，其中常用的為FFT校準(zhǔn)法［5］。通道校準(zhǔn)的精度決定了最后陣列的口徑幅相分布精度，為了提高FFT校準(zhǔn)精度，國(guó)內(nèi)外進(jìn)行了大量的研究，如從算法上提高校準(zhǔn)精度［6］、從角度選擇上來(lái)提高校準(zhǔn)精度［7］，但目前在校準(zhǔn)耦合信通傳輸性能大動(dòng)態(tài)分布下的校準(zhǔn)精度仍有待解決。FFT校準(zhǔn)法的誤差主要受幾個(gè)因素的影響：接收機(jī)幅相測(cè)試誤差；饋線(xiàn)電纜S參數(shù)測(cè)試誤差；各個(gè)通道移相器的幅相誤差；校準(zhǔn)耦合信通傳輸性能的動(dòng)態(tài)范圍等因素。文獻(xiàn)［4］分析了接收機(jī)噪聲對(duì)校準(zhǔn)誤差的影響。由于移相時(shí)各個(gè)移相狀態(tài)下的幅度和相位與理想情況不一致，存在一定的誤差，該項(xiàng)誤差將導(dǎo)致校準(zhǔn)結(jié)果產(chǎn)生校準(zhǔn)誤差，即各個(gè)通道移相器的幅相誤差對(duì)校準(zhǔn)的影響。從目前大部分的移相器的精度來(lái)看，移相器幅度相位誤差導(dǎo)致的校準(zhǔn)誤差在所有的誤差中占主導(dǎo)作用，因此，本文將對(duì)該誤差進(jìn)行分析，盡量減小該誤差的影響。文獻(xiàn)［8］從酉矩陣的角度出發(fā)，分析了通用情況下移相器誤差對(duì)校準(zhǔn)的影響；文獻(xiàn)［9］應(yīng)用矩陣攝動(dòng)理論，分析了移相器量化誤差、接收機(jī)噪聲和通道隨機(jī)誤差對(duì)校準(zhǔn)的影響。文獻(xiàn)［8］和［9］主要是從通用的矩陣校準(zhǔn)算法模型進(jìn)行了誤差分析，針對(duì)特定的FFT的校準(zhǔn)算法的一些特性則沒(méi)有考慮，本文將在考慮FFT校準(zhǔn)時(shí)的各個(gè)配相狀態(tài)的相關(guān)性的和校準(zhǔn)耦合通道具有一定的動(dòng)態(tài)分布的情況下，對(duì)校準(zhǔn)誤差的進(jìn)行分析。

2 基本理論

已知在FFT校準(zhǔn)方式下，通過(guò)調(diào)整各個(gè)通道TR組件的移相組合，可以得到M個(gè)線(xiàn)性不相關(guān)的方程，如式（1）所示：

式中，M為方程組數(shù)目（M＝2n≥天線(xiàn)單元數(shù)，n為正整數(shù)）；A（k）是第k次接收機(jī)測(cè)試得到的電壓值，為包含了幅度和相位的復(fù)數(shù)；Si為行波饋電網(wǎng)絡(luò)第i路端口的傳輸系數(shù)；ai為實(shí)際的天線(xiàn)饋電分布，包括幅度和相位信息。解以上方程得到

Si事先可以通過(guò)矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀等測(cè)量工具測(cè)試出來(lái)，為已知量。所以天線(xiàn)通道的相對(duì)幅度和相位分布ai就可以由式（2）得到。通過(guò)與理論分布的對(duì)比，則可以測(cè)試出每個(gè)端口的幅度誤差和相位誤差。根據(jù)該誤差，通過(guò)調(diào)節(jié)相應(yīng)通道的相位和幅度值，就可以實(shí)現(xiàn)天線(xiàn)端口饋電的校準(zhǔn)。式（1）、（2）為一對(duì)傅里葉變換，故式（2）的求取可以通過(guò)FFT實(shí)現(xiàn)。

3 有誤差條件下的FFT校準(zhǔn)

將式（1）代入式（2）可得

由于移相器為非理想器件，必然存在一定的幅度和相位誤差，由于該誤差的存在，使得校準(zhǔn)結(jié)果偏離實(shí)際值，從而帶來(lái)了校準(zhǔn)誤差，同時(shí)由于數(shù)字移相器存在量化誤差，也會(huì)使實(shí)際移相值偏離理想值。存在幅度相位誤差時(shí)，式（1）變?yōu)?/p>

式中，Δa（i，k）、Δθ（i，k）為第k通道、第i個(gè)移相狀態(tài)時(shí)的幅度相位誤差，Δφ（i，k）為第k通道、移相狀態(tài)為i時(shí)的移相誤差，Δφ（i）為第i個(gè)移相狀態(tài)下的量化誤差?？紤]一階情況，可得

式中，bi為信號(hào)源經(jīng)過(guò)第i通道到接收機(jī)的傳輸系數(shù)。

將式（6）代入式（2），可得

式中，εΔa，m為幅度誤差帶來(lái)的m通道的校準(zhǔn)誤差項(xiàng)，εΔψ，m為相位誤差帶來(lái)的m通道的校準(zhǔn)誤差項(xiàng)。

3.1 幅度誤差項(xiàng)

式中，σΔa為移相器幅度誤差的均方差。

由復(fù)變量的方差定義［4］，得到校準(zhǔn)變換后的方差為

3.2 相位誤差項(xiàng)

仿照幅度誤差項(xiàng)的分析，可以得到相位誤差項(xiàng)的方差為

同幅度誤差項(xiàng)一樣，可以得到

其中，σθ為各個(gè)通道在不同的移相狀態(tài)下的相位均方差。由式（5）可得

數(shù)字式移相器采用離散的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行控制，其誤差設(shè)為均勻分布，方差為

3.3 總誤差

校準(zhǔn)后的總的誤差由通道各移相狀態(tài)下的幅度誤差引起的校準(zhǔn)誤差和各移相狀態(tài)下的相位誤差引起的校準(zhǔn)誤差構(gòu)成。因此，可得

4 考慮相關(guān)性條件下的FFT校準(zhǔn)

實(shí)際進(jìn)行校準(zhǔn)對(duì)式（1）進(jìn)行配相時(shí)，由于相位存在周期性，所有可能的移相狀態(tài)實(shí)際只有1／N個(gè)狀態(tài)。當(dāng)N≤2n（n為移相器位數(shù)）時(shí)，配相狀態(tài)數(shù)目少于移相器狀態(tài)數(shù)目，這時(shí)式（15）的誤差項(xiàng)可以不用考慮移相器的量化誤差。

考慮N≤2n的情況下，所有的移相狀態(tài)剛好等于N個(gè)，式（12）、（14）的合成項(xiàng)數(shù)為N2個(gè)，由FFT知道，其中必然有部分相位狀態(tài)為重復(fù)狀態(tài)，由于移相器狀態(tài)的重復(fù)誤差可以認(rèn)為很小，所以這些狀態(tài)可以認(rèn)為是相關(guān)項(xiàng)，其誤差計(jì)算公式就不能直接采用式（10）和式（13），需要根據(jù)情況進(jìn)行分別考慮。

決定校準(zhǔn)過(guò)程的整個(gè)相位狀態(tài)由式（1）決定，由于最終計(jì)算結(jié)果還要和式（2）共同起作用，由DFT性質(zhì)可知，其中式（2）和式（1）合成后的相位組成的單位矢量，對(duì)應(yīng)第i通道的相位為0，對(duì)應(yīng)其他通道的單位矢量之和為零。根據(jù)上述特點(diǎn)，在組合過(guò)程中，應(yīng)分3種情況進(jìn)行考慮：

（1）式（1）、（2）合成得到的通道ai相對(duì)應(yīng)的移相狀態(tài)數(shù)目為g1，ai相對(duì)應(yīng)的項(xiàng)中沒(méi)有相同的移相狀態(tài)；

（2）式（1）、（2）合成得到的通道ai相對(duì)應(yīng)的移相狀態(tài)數(shù)中有相等的狀態(tài)數(shù)目為g2，h，且這些狀態(tài)下合成矢量不等于0；

（3）式（1）、（2）合成得到的通道ai相對(duì)應(yīng)的移相狀態(tài)數(shù)中有相等的狀態(tài)數(shù)目為g3，f，且這些狀態(tài)下合成矢量等于0。

根據(jù)上面3種情況，可以得到如下的修正系數(shù)：

當(dāng)各個(gè)移相狀態(tài)獨(dú)立時(shí)，di＝N，式（20）、（21）和式（12）、（14）相同。因此，F(xiàn)FT校準(zhǔn)算法，由于移相器多種移相狀態(tài)下的幅度和相位誤差而導(dǎo)致的校準(zhǔn)誤差和三個(gè)方面因素有關(guān)系：第一個(gè)因素是移相器多種移相狀態(tài)下的幅度和相位誤差，第二個(gè)因素是各個(gè)耦合支路的耦合系數(shù)，第三個(gè)因素是被校準(zhǔn)通道在FFT算法中的編號(hào)位置。

5 仿真驗(yàn)證

根據(jù)以上分析，考慮一個(gè)8元陣列天線(xiàn)，等幅度加權(quán)，TR各種移相狀態(tài)下的相位誤差為2.86°，幅度誤差為0.42 dB，該誤差與工程實(shí)際較接近。由式（19）可以得到修正系數(shù)如表1所示。

按照表1所列的修正系數(shù)代入式（20）、（21）進(jìn)行計(jì)算可以得到在該條件下的理論校準(zhǔn)誤差，再用仿真的方法建立校準(zhǔn)模型模擬校準(zhǔn)過(guò)程和誤差情況，得到仿真結(jié)果，計(jì)算1 000次并統(tǒng)計(jì)誤差情況。理論結(jié)果和仿真結(jié)果見(jiàn)表2，從表2可以看到仿真結(jié)果和理論結(jié)果吻合較好，說(shuō)明該誤差分析基本正確。由分析可以看到，F(xiàn)FT方法用于校準(zhǔn)時(shí)，天線(xiàn)單元在算法中的編號(hào)會(huì)影響其校準(zhǔn)精度。因此，對(duì)于要求精度高的單元可以將其放在誤差小的位置，要求較低的單元可以放置在誤差相對(duì)較大的位置。同時(shí)由于移相狀態(tài)下的誤差對(duì)各個(gè)單元的校準(zhǔn)是相互影響的，耦合通道的傳輸性能動(dòng)態(tài)分布將對(duì)校準(zhǔn)結(jié)果產(chǎn)生很大的影響。

由前面分析可以得到，當(dāng)天線(xiàn)的幅度加權(quán)系數(shù)不同時(shí)，其誤差情況也不一樣。仿真了一個(gè)大動(dòng)態(tài)幅度加權(quán)天線(xiàn)校準(zhǔn)情況，其中移相器各種移相狀態(tài)下的相位誤差為2.86°，幅度誤差為0.42 dB，第一個(gè)單元加權(quán)系數(shù)為－20 dB，其他天線(xiàn)單元為等幅度加權(quán)。仿真得到第一個(gè)單元的幅度校準(zhǔn)誤差為4.7 dB，相位誤差為42.8°?？梢钥闯觯诖蟮募訖?quán)動(dòng)態(tài)條件下，F(xiàn)FT校準(zhǔn)誤差受移相器本身誤差的影響，會(huì)產(chǎn)生很大的校準(zhǔn)誤差。在工程實(shí)際中，F(xiàn)FT方法在應(yīng)用大于20 dB的動(dòng)態(tài)分布時(shí)，邊緣單元其結(jié)果基本不收斂，與仿真結(jié)果一致。為了提高這種情況下校準(zhǔn)精度，可以考慮采用兩種方式進(jìn)行改進(jìn)。一種方法是采用支路平衡耦合饋電的方式，盡量使幅度分布均衡相等。另外一種方法是采用矢量平均校準(zhǔn)方法［10］，減小移相器幅度相位誤差對(duì)校準(zhǔn)的影響，并且該方法對(duì)于各個(gè)被校準(zhǔn)通道算法是一致的，不會(huì)產(chǎn)生FFT校準(zhǔn)方法中編號(hào)不一樣、誤差大小不一樣的情況。

通過(guò)仿真和分析可知，由于FFT各個(gè)移相狀態(tài)下的相關(guān)性以及各個(gè)單元校準(zhǔn)算法上的相互影響，導(dǎo)致了FFT校準(zhǔn)精度受算法中的單元編號(hào)和耦合通道的傳輸性能動(dòng)態(tài)分布影響，要提高校準(zhǔn)精度，校準(zhǔn)算法應(yīng)避免各個(gè)單元的相互影響以減小耦合通道的傳輸性能動(dòng)態(tài)分布的影響，同時(shí)各個(gè)單元的移相狀態(tài)產(chǎn)生的誤差應(yīng)盡量隨機(jī)而不相關(guān)，以減小由于相關(guān)在疊加時(shí)將誤差放大。為了克服校準(zhǔn)時(shí)以上的兩個(gè)問(wèn)題，仿照FFT的方式，但在配相時(shí)做到移相狀態(tài)誤差不相關(guān)，各個(gè)單元移相誤差不相互影響，就可以得到一個(gè)新的校準(zhǔn)算法——矢量平均校準(zhǔn)算法［10］。

該算法移相器的移相狀態(tài)誤差對(duì)校準(zhǔn)的影響就可以采用文獻(xiàn)［11］中分析接收機(jī)噪聲的類(lèi)似方法。關(guān)于矢量平均校準(zhǔn)算法的詳細(xì)情況見(jiàn)文獻(xiàn)［10］。

6 結(jié)論

移相器的各個(gè)移相狀態(tài)下的幅度和相位誤差是影響FFT校準(zhǔn)的一個(gè)重要誤差來(lái)源，在考慮了各個(gè)狀態(tài)的相關(guān)性的條件下，本文的分析和仿真表明，其誤差可以較為準(zhǔn)確地評(píng)估。從分析結(jié)論可以得到，由于FFT校準(zhǔn)方法的特點(diǎn)，在大動(dòng)態(tài)加權(quán)情況下（校準(zhǔn)用的接收機(jī)發(fā)射的信號(hào)經(jīng)過(guò)各個(gè)校準(zhǔn)耦合回路回到接收機(jī)的接收端口的信號(hào)傳輸系數(shù)分布大于等于20 dB），其校準(zhǔn)誤差將大到無(wú)法接受的程度。在此基礎(chǔ)上提出的改進(jìn)算法，即矢量平均算法，可以較好地減小以上誤差，更適合工程上的應(yīng)用。

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YANG Shun-ping was born in Yuechi，Sichuan Province，in 1976.He received the B.S. degree froMChongqing University and the M.S. degree froMUniversity of Electronic Science and Technology of China in 1999 and 2006，respectively.He is now an engineer.His research concerns antennameasurement and calibration.

Email：blueysp＠qq.com

IMpact of Phase Shift AMplitude／Phase Errors on FFT-based Calibrations

YANG Shun-ping
（Southwest China Institute of Electronic Technology，Chengdu 610036，China）

The impactof phase shifter amplitude／phase errorson the calibrationsbased on Fast Fourier Transform（FFT）is analyzed in consideration of the errors correlation.A formula to calculate the errors is given.The analysis and simulation are compared，and the resultagreeswell.It is shown froMthe formula that the errors relate to not only the amplitude／phase errors and calibration network′s S-parameter，but also the serial number of the channel in the FFTmethod.The reason why the accuracy decreases under the condition of large dynamic range can be found.And a new method which can improve the calibration accuracy is proposed.

phased array；FFT；amplitude／phase calibration；amplitude／phase error

date：2012－11－09；Revised date：2013－04－10

??通訊作者：blueysp＠qq.coMCorresponding author：blueysp＠qq.com

TN821

A

1001－893X（2013）06－0795－05

楊順平（1976—），男，四川岳池人，1999年于重慶大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位，2006年于電子科技大學(xué)獲碩士學(xué)位，主要研究方向?yàn)樘炀€(xiàn)校準(zhǔn)和天線(xiàn)測(cè)量技術(shù)。

10.3969／j.issn.1001－893x.2013.06.025

2012－11－09；

2013－04－10