孟 超，周玉元

（湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南長沙400128）

1 引言與預(yù)備知識

斑塊環(huán)境中生態(tài)動力系統(tǒng)的性質(zhì)是數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)的一個熱點(diǎn)問題．許多學(xué)者對斑塊環(huán)境中生態(tài)動力系統(tǒng)的持久性、穩(wěn)定性與周期性做了大量的研究工作［1－10］，但對各種群占有的斑塊數(shù)量的變化規(guī)律研究很少．1994年，V．A．A．Jansen研究了一類斑塊環(huán)境中三營養(yǎng)食物鏈模型分別在只有食餌擴(kuò)散和只有捕食者擴(kuò)散的情況下平衡點(diǎn)的存在性、穩(wěn)定性［11］．之后，段會玲研究了下列斑塊環(huán)境中三營養(yǎng)模型的平衡點(diǎn)的存在性、穩(wěn)定性［12］：

其中R表示空資源斑塊的數(shù)量，N表示被食餌種群占領(lǐng)的資源斑塊數(shù)量，M表示被食餌和捕食者同時占領(lǐng)的斑塊，總資源斑塊為N0（N0＞1），且有R＋N＋M＝N0，a＞0，b＞0，k＞0，v＞0．

本文將研究如下斑塊環(huán)境中周期系統(tǒng)

正周期解的存在性，其中a（t），b（t），k（t），v（t）均為連續(xù)且嚴(yán)格正的ω周期函數(shù)．

為研究系統(tǒng)（2）的周期解，首先引入重合度理論中的延拓定理．

設(shè)X，Z是Banach空間，L：DomL?X→Z為線性映射，N：X→Z為連續(xù)映射，若L是指標(biāo)為零的Fredholm映射，且存在連續(xù)投影P：X→X及Q：Z→Z，使得ImP＝KerL，ImL＝KerQ＝Im（I－Q），則可逆，設(shè)其逆映射為KP，Ω是X中的有界開集，如果有界且KP（I是緊的，則稱N在Ω上是L－緊的，由于ImQ與KerL同構(gòu)，因而存在同構(gòu)映射J：ImQ→KerL．

引理1［13］設(shè)L是指標(biāo)為零的Fredholm映射，N在Ω上L－緊，如果

1）?λ∈（0，1），方程Lx＝λNx的解滿足x??Ω；

2）?x∈KerL∩?Ω，QNx≠0；

3）deg｛JQN，Ω∩KerL，0｝≠0．

則方程Lx＝Nx在內(nèi)至少存在一個解．

將R（t）＝1－N（t）－M（t）代入上式，得

2 主要結(jié)果

考慮到系統(tǒng)（4）的生態(tài)意義，假定初始值N（0）≥0，M（0）≥0，易證＝｛（y1，y2）T∈R2｜y1≥0，y2≥0｝關(guān)于系統(tǒng)（4）是正向不變的．

證明 作變換

則系統(tǒng)（4）化為下列等價系統(tǒng)：

取X＝Y(jié)＝｛x＝（x1，x2）T∈C（R，R2）：xi（t＋ω）＝xi（t），i＝1，2｝．定義范數(shù)，x＝（x1，x2）∈X或Y．對?x＝（x1，x2）T∈X，由其周期性可知，

是一ω周期函數(shù)．

令L：DomL∩X→X，L（x1（t），x2（t））T＝．則DomL＝｛（x1（t），x2（t））T∈C′（R，R2）｝．

定義映射：N：X→X，．易知KerL＝R2，ImL為Y中的閉子集，且dim KerL＝codim ImL＝2．

又P，Q均為連續(xù)映射，因此，ImP＝KerL，KerQ＝ImL＝Im（I－Q）．從而L是一個指標(biāo)為零的FredhoIm映射，通過計算知LP的逆KP存在，且KP：ImL→DomL∩于是

利用Lebesgue收斂定理可以證明QN及KP（I－Q）N是連續(xù)的．

設(shè)Ω是X中的有界開集，顯然有界，利用Arzela－Ascoli［14］定理易證在Ω上是緊的，因此N在上是L－緊的．

對于算子方程Lx＝λNx，λ∈（0，1），有

設(shè)x（t）＝（x1（t），x2（t））T∈X是式（7），（8）關(guān)于某個特定的λ∈（0，1）的解．對（7），（8）在［0，ω］上積分，得

由式（7），（9）可得

即

由式（8），（10）類似可得

對于（x1（t），x2（t））T∈X，?ξi，ηi∈［0，ω］，使得

同時考慮式（11），對?t∈［0，ω］有

同時考慮式（11），對?t∈［0，ω］有

由式（15）和（17）有

另一方面，由式（9），（13）及定理條件（i）可得

同時考慮式（12），對?t∈［0，ω］有

由式（20）和（21）有

顯然B1，B2與λ無關(guān)．

設(shè)w＝（w1，w2）T∈R2，考慮代數(shù)方程組

當(dāng)x∈?Ω∩KerL＝?Ω∩R2時，x為R2中的常值向量且＝B．則由B的定義知

所以引理1中條件2）滿足．

下面證明引理1中條件3）也滿足．

因ImQ＝KerL，取J為恒同映射，可直接計算得

故由引理1可知，方程Lx＝Nx在DomL∩中至少存在一個解，即系統(tǒng)（6）在DomL∩中至少存在一個ω周期解，從而是系統(tǒng)（4）的一個ω周期正解．證畢．

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