楊益民

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310036）

0 引 言

設(shè)｛（Xi，Yi），1≤i≤N｝是來自（X，Y）的R×R隨機(jī)向量．在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中，回歸函數(shù)m（x）＝E（Y｜X＝x）常用來描述反應(yīng)變量Y和協(xié)變量X之間的關(guān)系．多年來，已經(jīng)有很多方法用來估計(jì)m（x）．Fan和Jiang［1］構(gòu)造了m（x）及其導(dǎo)數(shù)的局部線性M估計(jì)，即找到a和b使得下面式子達(dá)到最?。?/p>

這里α（·）為非負(fù)函數(shù)，ρ（·）為抗異常值函數(shù)，0＜hN→0為窗寬（N→∞），K（·）為核函數(shù)．

以下簡(jiǎn)單地?cái)⑹鲎蠼財(cái)鄶?shù)據(jù)．設(shè)｛（Xk，Yk，Tk），k≥1｝來自總體（X，Y，T）的一列隨機(jī)向量，這里T為截?cái)嘧兞浚僭O(shè)T和（X，Y）是相互獨(dú)立的，并且T有連續(xù)的分布函數(shù)G．在左截?cái)嗄Ｐ椭校瑢?duì)i＝1，…，N，生存時(shí)間Yi被截?cái)嘧兞縏i干擾，當(dāng)Yi≥Ti時(shí)，Yi和Ti都能觀察到，而當(dāng)Yi＜Ti時(shí)，Yi和Ti都不能觀察到．由于截?cái)嗟陌l(fā)生，N是未知的，n是實(shí)際觀察到的樣本容量，并且是隨機(jī)的，顯然有n≤N．為了避免引起混淆，記（X1，Y1，T1），…，（Xn，Yn，Tn）為實(shí)際觀察到的樣本．設(shè)為隨機(jī)變量Y能觀察到的概率．由于θ＝0意味著什么數(shù)據(jù)都觀察不到，所以本文通篇假設(shè)θ＞0．由于N未知，而n已知（盡管隨機(jī)的），因此規(guī)定下文的結(jié)果陳述如下：概率測(cè)度是關(guān)于樣本容量N的，而條件概率P是關(guān)于觀察的樣本容量n的．另外和E分別為在和P下的期望．

對(duì)任意分布函數(shù)L，記aL:＝inf｛x:L（x）＞0｝和bL:＝sup｛x:L（x）＜1｝，U（x）表示點(diǎn)x的某個(gè)鄰域．設(shè)F（·）為Y的分布函數(shù)，F(xiàn)（·，·）和f（·，·）分別為（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度，則（X，Y）的條件分布函數(shù)為

由上式可以得到（X，Y）的條件密度函數(shù)為

定義C（y）＝P（T≤y≤Y｜Y≤T）＝θ－1G（y）［1－F（y）］，考慮它的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Cn（y）＝I（Ti≤y≤Yi）．沿用Lynden－Bell［2］的思想，F(xiàn)（·）和G（·）的最大似然估計(jì)分別為

左截?cái)鄶?shù)據(jù)下，由于觀察樣本為｛（Xi，Yi，Ti），1≤i≤n｝，因此式（1）不能直接用．Ould－Sa?d和Lemdani［3］對(duì)左截?cái)鄶?shù)據(jù)下構(gòu)造了m（·）的NW估計(jì)如下：

這里K（·）定義在R上的核函數(shù)，0＜hn→0為窗寬（n→∞）．更一般地，NW估計(jì)可以看作下列優(yōu)化問題的解：

基于式（1）和（3），構(gòu)造變窗寬下的局部線性M估計(jì)（LLME），即尋找和使得下列式子達(dá)到最?。?/p>

或滿足下面等式

這里ψ（·）為ρ（·）的導(dǎo)函數(shù)．

1 主要結(jié)果

設(shè)ε＝Y(jié)－m（X），r0＝（m（x0），hnm（x0））T，μj＝

在給出結(jié)果之前，需要先給出下面的條件：

（A0）aG＜aF，bG＜bF．

（A1）K（·）為連續(xù)的概率密度函數(shù)，且緊支撐，不妨設(shè)［－1，1］．

（A2）α＊≡minxα（x）＞0和α（·）在點(diǎn)x0上連續(xù)．

（A3）回歸函數(shù)m（·）在點(diǎn)x0上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)．

（A4）窗寬hn滿足hn→0和nhn→＋∞．

（A5）對(duì)x∈U（x0），＝0．

（A6）X的密度函數(shù)fX（x）在點(diǎn)x0上連續(xù)，且fX（x0）＞0．

（A7）函數(shù)ψ（·）是連續(xù)的，且?guī)缀跆幪幘哂袑?dǎo)數(shù)ψ′（·）．進(jìn)一步，滿足

（i）函數(shù)Λ1（x）＝和Λ2（x）＝在點(diǎn)x0上為正的且連續(xù)．

（ii）存在γ＞0滿足和在x∈U（x0）上有界．（A8）函數(shù)ψ′（·）滿足當(dāng)δ→0時(shí)，和ψ（ε）－ψ′（ε）z｜｜X＝x］＝o（δ）在x∈U（x0）上一致成立．

注1 （A0）中的條件aG＜aF確保G（Y）≥G（aF）＞0，這樣使得Gn（Yi）≠0，因此本文的估計(jì)是有意義的．條件（A1）～（A8）由Fan和Jiang［1］提出，后為很多作者［4－5］引用．

定理1 在條件（A0）～（A8）下，等式（5）存在解，記為，使得∞，這里．

定理2 假設(shè)條件（A0）～（A8）成立，則

推論1 在定理2條件下，有

接下來，給出定理2的一個(gè)特殊情形，下面這個(gè)推論實(shí)際上是文［1］中的定理2．2．

推論2 在定理2的條件下，如果θ→1，有

2 模擬研究

下文通過模擬研究回歸函數(shù)m（x）的局部線性M估計(jì)在有限樣本下的效果．特別地，通過整體均方誤差比較和NW估計(jì)的效果．考慮下面模型：

這里Xi～Uniform（－2，2）獨(dú)立于εi，εi下面確定．該模型用于文［1］中．本文模擬N個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Ti～N（μ，1），這里μ可以調(diào)整來獲得θ．接受滿足Yi≥Ti的樣本（Xi，Yi，Ti），i＝1，…，n．在這個(gè)例子中，使用Epanechnikov核函數(shù)，并且選擇Huber型函數(shù)ψ（y）＝max｛c，min｛y，c｝｝．為了比較和，考慮εi下面不同的分布：

（a）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：εi～N（0，1）；

（b）受污染的正態(tài)分布：εi～0．85N（0，1）＋0．15N（0，82）；

（c）柯西分布：εi～C（0，1）．

由模型（6）分別產(chǎn)生容量n為200，500和800的樣本．在表1中，取θ值分別為30%，60%，90%，并且基于M＝200次重復(fù)計(jì)算這些估計(jì)的整體均方誤差（GMSE）．另外，利用一個(gè)簡(jiǎn)單方法選擇窗寬，對(duì)窗寬hn的取值從0．05到1，增量為0．1，選擇一個(gè)使得GMSE達(dá)到最小的窗寬．GMSE定義如下：

從表1看出：1）當(dāng)誤差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)，這兩個(gè)估計(jì)模擬的效果都比較好．但是當(dāng)誤差為受污染的正態(tài)分布以及柯西分布時(shí)，更穩(wěn)??；2）這兩個(gè)估計(jì)模擬的效果隨著n越大而越好；3）這兩個(gè)估計(jì)的效果會(huì)受到θ的影響，且隨著θ越大而越好．

表1 估計(jì)和的整體均方誤差Tab．1 The global mean squared errors of the estimatorsand

表1 估計(jì)和的整體均方誤差Tab．1 The global mean squared errors of the estimatorsand

θ n （a）＾mn（·）m＊n（·）（b）＾mn（·）m＊n（·）（c）＾mn（·）m＊n（·）30%200 0．031 2 0．036 7 0．137 6 0．931 1 0．146 1 6．987 2 500 0．029 7 0．032 7 0．107 5 0．873 5 0．128 3 6．119 4 800 0．017 5 0．029 3 0．089 7 0．715 1 0．091 6 5．258 7 60%200 0．026 4 0．029 8 0．111 8 0．792 1 0．128 9 5．201 4 500 0．020 1 0．026 7 0．093 1 0．702 2 0．103 4 4．727 2 800 0．016 1 0．020 3 0．071 9 0．539 1 0．080 1 4．189 7 90%200 0．018 1 0．020 9 0．091 4 0．565 1 0．101 8 4．120 9 500 0．011 4 0．018 6 0．057 8 0．439 9 0．062 1 2．792 1 800 0．008 4 0．012 7 0．033 9 0．328 3 0．049 0 2．200 7

3 定理的證明

引理1 假設(shè)條件（A0）～（A8）成立．對(duì)任意隨機(jī)變量序列，滿足max1≤i≤n｜ηi｜＝op（1），

證明 以下僅證明第一個(gè)等式，第二個(gè)等式可以類似地證明．注意到

通過條件（A1），（A6），（A7（i））和式（2），有

由條件（A1），（A6），（A7（ii））和式（2），得

結(jié)合式（8），有

注意到｜Xj－x0｜≤hn／α＊，由（A8）和式（11）得

這里aη和bη為兩個(gè)正數(shù)列，當(dāng)η→0時(shí)都趨近于0．由于max1≤i≤n｜ηi｜＝op（1），這樣＝op（1），這里．通過，得到＝op（1），結(jié)合式（7）和（10），引理1得證．

引理2 在條件（A0）～（A8）下，有

證明 由Yi＝m（Xi）＋εi，R（Xi）＝m（Xi）－m（x0）－m′（x0）（Xi－x0），得

通過（A3）和泰勒展開式，對(duì)｜Xi－x0｜≤hn／α＊（i＝1，…，n），有

通過（A8）和式（13），類似引理1的證明，得到

應(yīng)用引理1的第二個(gè)結(jié)論，有

另一方面，由條件（A1），（A6），（A7（i））和式（2）得

引理3 在條件（A0）～（A8）下，有

為了證明這結(jié)果，僅僅證明，對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)向量d＝（d1，d2）T≠0，有，θ－1Λ2（x0）fX（x0）α（x0）dTS＊d）．而

通過式（16）得EWi＝0．類似式（17）的證明，有

由（A7（ii）），得到

這樣，利用Lyapunov中心極限定理，有

注意到

定理1的證明 設(shè)r＝（a，hnb）T和＝（1，（Xi－x0）／hn）T．注意到式（4）可以表達(dá)為

通過泰勒展開式得到

這里r＊界于r和r0之間，?n（r0）＝．

通過引理2，有?′n（r0）＝op（1），這可以得到

注意到

?″n（r＊）＝，這里．由于｜Xi－x0｜≤hn，當(dāng)δ→0和n→∞，有max1≤i≤n｜ηi｜≤max1≤i≤n｜R（Xi）｜＋2δ→0．根據(jù)引理1，得到?″n（r＊）＝θ－1fX（x0）Λ1（x0）S（1＋op（1））．設(shè)λ0為正定矩陣S的最小特征值．則對(duì)充分小的δ，有

這樣結(jié)合式（19）和（20），得到式（18）．

通過式（18），?n（r）在的內(nèi)部有一個(gè)局部最小值．在這個(gè)局部最小值，式（5）一定滿足．設(shè)為最靠近r0的根．則＝1，這證明了定理1的結(jié)論．

這里Xihn由定理1的證明中給出．注意到

根據(jù)定理1的結(jié)果，得到

由式（21）～（24），得到

通過引理3，定理2得證．

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