王少敏，楊存基

（大理學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，云南大理 671003）

1 引言和主要結(jié)果

考慮二階系統(tǒng)

（A）F（t，x）對(duì)于每個(gè) x∈RN關(guān)于 t可測(cè)，對(duì)于a.e.t∈［0，T］關(guān)于 x 是連續(xù)可微的，存在 a∈C（R+，R+），b∈L1（0，T；R+）使得

對(duì)于 x∈RN和 a.e.t∈［0，T］成立。

其等價(jià)于如下范數(shù)

相應(yīng)泛函

當(dāng) q（t）≡0，t∈［0，T］時(shí)，在假設(shè)（A）和一些適當(dāng)?shù)臈l件下，通過(guò)使用最小作用原理和臨界點(diǎn)理論中的極大極小方法，人們已經(jīng)獲得了很多存在性結(jié)果〔2-12〕。

本文的主要結(jié)果如下：

定理1設(shè)F（t，x）＝F1（t，x）+F2（t，x）滿(mǎn)足假設(shè)（A）以及F1（t，x），F(xiàn)2（t，x）滿(mǎn)足以下條件：

（i）F1（t，·）是（λ，μ）－次凸的且存在δ∈［0，2），β、γ∈L1（0，T；R）

（ii）存在 f∈L2（0，T；R）且k∈L1（0，T；R）使得

2 定理的證明

我們知道存在一個(gè)常數(shù)c0>0，使得

如果函數(shù)G：RN→R滿(mǎn)足

G（λ（x+y））≤μ（G（x）+G（y）），?x，y∈RN

稱(chēng)函數(shù)G為（λ，μ）－次凸的。

證明：由F1（t，·）的（λ，μ）－次凸性及S o b o l e v不等式，有

由（2）式，（3）式，有

注：定理的條件是全新的；所以，文中所得結(jié)果是全新的。

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