曹淼龍，李強(qiáng)

(浙江科技學(xué)院機(jī)械與汽車工程學(xué)院，浙江杭州310023)

PID控制器[1]是根據(jù)系統(tǒng)的輸出輸入誤差，利用比例、積分、微分計(jì)算出控制量，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，算法易實(shí)現(xiàn)、魯棒性好、適應(yīng)性強(qiáng)及可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，在控制工程領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛。

PID控制器的比例項(xiàng)減少對(duì)干擾的誤差響應(yīng)，積分項(xiàng)消除穩(wěn)態(tài)誤差，微分項(xiàng)則抑制動(dòng)態(tài)響應(yīng)。自Ziegler 和Nichols 提出PID參數(shù)整定方法[2]起，國(guó)內(nèi)外學(xué)者及研究機(jī)構(gòu)關(guān)于此問題的研究此起彼伏，如基于相幅裕度PID控制[3]、模糊自適應(yīng)PID控制[4]、魯棒PID控制[5]方法等。PID控制器參數(shù)整定要滿足閉環(huán)系統(tǒng)得到預(yù)期響應(yīng)的前提下，亦要提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，

近年來(lái)PID參數(shù)穩(wěn)定域的研究越來(lái)越受到重視。文獻(xiàn)[6]基于廣義Hermite-Biehler 定理提出完整的PID參數(shù)穩(wěn)定域，對(duì)非時(shí)滯對(duì)象進(jìn)行H∞魯棒設(shè)計(jì);文獻(xiàn)[7]基于Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)解決PID控制器參數(shù)穩(wěn)定域的計(jì)算。作者針對(duì)單輸入－單輸出(SISO)閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性原理，通過對(duì)比傳統(tǒng)的Z-N 等整定方法，給出一種較為簡(jiǎn)單實(shí)用且易推廣可行的PID控制器參數(shù)整定方法。

1 問題的描述

圖1為典型的SISO 閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)圖[8]，其中，r、y分別為設(shè)定的參考值輸入和控制對(duì)象輸出，e為信號(hào)偏差量，d為干擾信號(hào)，u為控制信號(hào)，GK(s)和G(s)分別為PID控制器和控制對(duì)象。

圖1 反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

控制對(duì)象的傳遞函數(shù)G(s)設(shè)為:

式中:s為復(fù)變量，n≥m，an≠0;bm≠0，ai和bj均為已知數(shù);i=0，1，…，n;j=0，1，…，m。

式中:θ為對(duì)象時(shí)滯。

PID控制器的傳遞函數(shù)GK(s)如下:

式中:kp、ki和kd分別為比例、積分和微分增益。

由控制對(duì)象G(s)與PID控制器GK(s)構(gòu)成的負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:

若GP(s)已知，可通過根軌跡法考察系統(tǒng)的穩(wěn)定性，判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定或是否符合設(shè)計(jì)的性能要求。

2 基于李雅普諾夫穩(wěn)定性的PID參數(shù)的計(jì)算方法

把s=jω 代入公式(4)，其中ω為信號(hào)頻率，可得頻率特性GP(jω)，令幅頻特性|GP(jω)|=1:

武陵自然村調(diào)查地面塌陷共37處，主要集中發(fā)生在2017年10月16～17日(礦洞透水發(fā)生于2017年10月14日)，數(shù)量達(dá)34處，占調(diào)查總數(shù)的92%，僅有3處發(fā)生在11月20日。塌陷發(fā)生期間均有降雨過程?？梢姷V洞開采透水是本次塌陷發(fā)生的誘因，塌陷發(fā)生后，受降雨影響，塌陷點(diǎn)的規(guī)模逐漸擴(kuò)大并伴隨新的塌陷點(diǎn)出現(xiàn)。

式中:

δr和δi分別表示GT(jω)的實(shí)部和虛部。由李雅普諾夫系統(tǒng)穩(wěn)定性原理，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程的全部根，都是負(fù)實(shí)數(shù)或?qū)嵅繛樨?fù)的復(fù)數(shù)，位于復(fù)數(shù)平面的左半平面，要保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即δr=0。

針對(duì)最小相角系統(tǒng)，用GT(jω)曲線對(duì) (－1，j0)點(diǎn)的接近程度來(lái)表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性[9]。當(dāng)ω趨向于0時(shí)，由公式(10)聯(lián)列3個(gè)方程組即可求出PID控制器kp、ki和kd3個(gè)參數(shù)值。

3 仿真實(shí)例

3.1 典型的工業(yè)時(shí)滯過程應(yīng)用

在工業(yè)過程控制中，大多數(shù)的控制對(duì)象都具有一階慣性加純時(shí)滯過程的動(dòng)態(tài)特性[10]，因而控制對(duì)象傳遞函數(shù)G(s)可以表示為:

式中:k為靜態(tài)增益，τ為時(shí)間常數(shù)。

由公式(11)—(13)經(jīng)計(jì)算，kp、ki和kd3個(gè)參數(shù)值如下:

文獻(xiàn)[10]采用遺傳算法求解魯棒PID控制器的計(jì)算公式為:

例1，考慮一階延遲過程[10]:

該對(duì)象PID控制器3種整定方法的結(jié)果如表1所示。

方法 kp ki k d Z-N[2]2.285 2.673 0.488 IAE-GA[10] 2.219 1 1.982 2 0.437 9文中方法1.25 2 0.5

在t=1 s 和t=15 s時(shí)分別加入單位階躍輸入和單位反向階躍干擾信號(hào)，y(t)為系統(tǒng)輸出，得到的系統(tǒng)響應(yīng)如圖2所示。

圖2 例1的閉環(huán)仿真輸出響應(yīng)

從圖2可以看出:Z-N方法和文獻(xiàn)[8]的IAE-GA方法在前期時(shí)域跟蹤性表現(xiàn)較差，超調(diào)量分別為47%左右和28%左右，在穩(wěn)態(tài)值的±2%誤差范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時(shí)間分別為3.6 s 和2.9 s，但后期具有良好的時(shí)域抗干擾性，超調(diào)量分別為5.1%和2.3%;而文中方法有一定的折衷性，前期超調(diào)量為16%左右，調(diào)節(jié)時(shí)間為4.8 s，但后期超調(diào)量稍大，為9%，由此表現(xiàn)出優(yōu)良的跟蹤性和一定的抗干擾性。

3.2 機(jī)電控制工程的應(yīng)用

機(jī)電控制工程常見的傳遞函數(shù)為:

文獻(xiàn)[11]應(yīng)用H∞控制理論派生出的閉環(huán)增益成形方法，設(shè)計(jì)魯棒控制器計(jì)算公式為:

kp=ωca1ki=ωca0kd=ωca2

式中:ωc為閉環(huán)系統(tǒng)的截止頻率。

由公式(11)—(13)經(jīng)計(jì)算，kp、ki和kd3個(gè)參數(shù)值如下:

例2，永磁同步直線電機(jī)的傳遞函數(shù)[11]為:

表2為該對(duì)象PID控制器兩種整定方法的結(jié)果，經(jīng)計(jì)算文獻(xiàn)[11]的ωc取0.666 4 rad/s。

表2 永磁同步直線電機(jī)模型PID參數(shù)整定比較

在t=1 s 和t=15 s時(shí)分別加入單位階躍輸入和單位反向階躍干擾信號(hào)，y(t)為系統(tǒng)輸出，所得到的系統(tǒng)響應(yīng)如圖3所示。

從圖3可以看出:文獻(xiàn)[9]的魯棒PID控制器跟蹤性和抗干擾性均表現(xiàn)不佳，延遲時(shí)間達(dá)到4.6 s，后期的超調(diào)量為3.1%;而文中方法的時(shí)域跟蹤性和抗干擾性都表現(xiàn)得較好，具有良好的魯棒性能。

圖3 例2的閉環(huán)仿真輸出響應(yīng)

4 結(jié)論

文中基于根軌跡法確定滿足閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定性要求的目標(biāo)方程組;然后在李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)基礎(chǔ)上，推導(dǎo)PID控制器參數(shù)整定的計(jì)算方法，分別對(duì)具有代表性的工業(yè)工程——一階遲延過程的近似模型和永磁同步直線電機(jī)模型進(jìn)行跟蹤性和抗干擾性仿真分析和比較。仿真分析結(jié)果表明:采用該方法設(shè)計(jì)的PID控制器在保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，能獲得較好的跟蹤性和抗干擾性。簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)后無(wú)需類似Z-N 作根軌跡或伯特圖等來(lái)確定控制參數(shù)，只需通過對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)函數(shù)分解并近似后推導(dǎo)出相應(yīng)的方程組求出控制器參數(shù)值。該方法主要優(yōu)點(diǎn)是參數(shù)計(jì)算程序化，便捷可行易推廣，適用于各類時(shí)滯對(duì)象或非時(shí)滯對(duì)象的魯棒控制，但同時(shí)若函數(shù)的階數(shù)較多，求解方程組復(fù)雜，計(jì)算工作量較大，通常需借助計(jì)算機(jī)來(lái)完成。

【1】ASTROM K J，HAGGLUND T.PID Controllers:Theory，Design and Tuning[M].2nd Edition.Research Triangle Park，NC:Instrument Society of America，1995.

【2】ZIEGLER J G，NICHOLS N B.Optimum Settings for Automatic Controllers[J].Transactions of the American Society of Mechanical Engineers，1942，64(8):759－768.

【3】LEE C H.A Survey of PID Controller Design Based on Gain and Phase Margins[J].International Journal of Computational Cognition，2004，2(3):63－100.

【4】HOOSHMANDI K，YAZDIZADEH A，MONTAZERI，M.Cascade Adaptive Predictive Controller Design Based on Multiple Models(Case study:GILAN Combined Cycle)[C]//2009 IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics.Singapore，2009:1964－1969.

【5】TOSCANO R.A Simple Robust PI/PID Controller Design via Numerical Optimization Approach[J].Journal of Process Control，2005，15(1):81－88.

【6】SILVA G J，DATTA A，BHATTACHARYYA S P.New Results on the Synthesis of PID Controllers[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(2):241－252.

【7】MARTELLI G.Comments on“New Results on the Synthesis of PID Controllers”[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50(9):1468－1469.

【8】歐林林，顧誕英，張衛(wèi)東.基于幅值裕度和相位裕度的PID參數(shù)最優(yōu)整定方法[J].控制理論與應(yīng)用，2007，24(5):837－940.

【9】KUANG S，CONG S.Lyapunov Control Methods of Closed Quantum Systems [J].Automatica(Journal of IFAC)，2008，44(1):98－108.

【10】金鑫，譚文，李志軍，等.典型工業(yè)過程魯棒PID控制器的整定[J].控制理論與應(yīng)用，2005，22 (6):947－953.

【11】潘霞遠(yuǎn)，劉希喆，吳捷，等.永磁同步直線電機(jī)的魯棒PID控制[J].電機(jī)與控制應(yīng)用，2008，35(9):34－38，65.