張琦，張帥，萬水平，高強，陳余秋，趙升噸

(1.西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院，陜西西安710049;2.蘇州三基鑄造裝備股份有限公司，江蘇蘇州215106)

隨著制造業(yè)快速發(fā)展，合理地降低制造成本、提高產(chǎn)品的市場競爭力成為決定企業(yè)生存的重要因素。針對機床制造業(yè)，在競爭日益激烈的現(xiàn)在，如何能在保證設(shè)備強度和剛度的情況下，盡量減少材料的使用，也即是設(shè)備的結(jié)構(gòu)輕量化，是當(dāng)前研究的重點之一。傳統(tǒng)的優(yōu)化是在設(shè)計經(jīng)驗的基礎(chǔ)上反復(fù)試驗、計算和校核，其優(yōu)化周期長，并且耗費大量的人力和物力。為了解決該問題，近幾年出現(xiàn)了采用結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化思想和有限元模擬相結(jié)合的優(yōu)化方法來更科學(xué)和高效的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)地輕量化設(shè)計。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)的出現(xiàn)最早可追溯到1904年由MICHELL 提出的桁架理論[1]，屬于離散結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化理論。1960年SCHMIT[2]將結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題抽象成數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，并采用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法求解，成為結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域的一個重要里程碑。連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計始于1973年ROSSOW 和TAYLOR 提出的變厚度板的優(yōu)化設(shè)計[3]，自1988年BENDSOE 和KIKUCHI 提出結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計的均勻化方法以來[4]，連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域得到了迅速發(fā)展。MLEJNEK 等[5]從工程角度出發(fā)提出了結(jié)構(gòu)材料密度的冪次懲罰模型，標(biāo)志著拓?fù)鋬?yōu)化密度法的誕生。2000年，國內(nèi)學(xué)者隋允康等[6－8]提出了一種獨立連續(xù)映射模型方法。目前有關(guān)拓?fù)鋬?yōu)化的重要研究方向主要分為拓?fù)鋬?yōu)化模型、算法的建立，去除優(yōu)化中數(shù)值計算不穩(wěn)定的方法及拓?fù)鋬?yōu)化的應(yīng)用研究[9]。

隨著拓?fù)鋬?yōu)化理論的發(fā)展和成熟，能夠用拓?fù)鋬?yōu)化解決的問題范圍包括:線彈性靜態(tài)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題、動力學(xué)優(yōu)化問題以及非線性等復(fù)雜情況下優(yōu)化問題[9]。國外CHENG 和DUYSINX 等[10－11]，國內(nèi)楊德慶等[12]，研究了具有應(yīng)力和位移約束下的拓?fù)鋬?yōu)化問題，TENEK 和MIN 等[13－14]研究了動力學(xué)問題的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，DIAZ 和TAE 等[15]研究了拓?fù)鋬?yōu)化的多目標(biāo)多約束問題。拓?fù)鋬?yōu)化在航空、汽車領(lǐng)域已經(jīng)開始得到了初步的應(yīng)用[16]。胥志剛等[17]提出了一種基于水平集拓?fù)鋬?yōu)化的車身結(jié)構(gòu)輕量化研究方法。黃杰等人[18]將分布式柔性機構(gòu)引入到機翼形狀變化結(jié)構(gòu)設(shè)計中，實現(xiàn)了自適應(yīng)機翼表面的連續(xù)準(zhǔn)確變化和結(jié)構(gòu)輕量化。

然而，目前針對大型設(shè)備方面的拓?fù)鋬?yōu)化研究還很少，特別是壓鑄機中的三塊大板，前、中、后三板占到機器總質(zhì)量的60%～70%，因此三板的輕量化設(shè)計具有重要意義。文中以壓鑄機中板為例，采用有限元模擬的方法，分析了中板的模架裝配面不同預(yù)留厚度對優(yōu)化后模型的理論減重比、變形量和應(yīng)力值的影響，進而確定了最佳的預(yù)留厚度，獲得了最終的優(yōu)化結(jié)果。并依據(jù)最終的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果建立了新的壓鑄機中板幾何及有限元分析模型，對此模型進行了靜態(tài)力學(xué)分析，驗證了優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 拓?fù)鋬?yōu)化理論

拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)能在給定的設(shè)計空間內(nèi)找出最佳的材料分布，拓?fù)涞母倪M可大大改善結(jié)構(gòu)的性能和減小結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。目前連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)中比較成熟的是均勻化方法、變密度方法和變厚度方法。

1.1 均勻化方法

均勻化方法屬于材料描述方式，引入微結(jié)構(gòu)的單胞，優(yōu)化過程中以微結(jié)構(gòu)的單胞尺寸為拓?fù)湓O(shè)計變量，以單胞尺寸的消長實現(xiàn)微結(jié)構(gòu)的增刪，并產(chǎn)生由中間尺寸單胞構(gòu)成的復(fù)合材料，以拓展設(shè)計空間，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型與尺寸優(yōu)化模型的統(tǒng)一和連續(xù)。

該方法理論嚴(yán)謹(jǐn)、直觀，設(shè)計空間完備，保證了拓?fù)鋬?yōu)化最優(yōu)解的存在，在早期連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化中起到了重要作用。但是該算法有如下缺點[19]:均勻化彈性張量的求解麻煩費時;內(nèi)部微結(jié)構(gòu)的形狀和方向難以確定;計算結(jié)果容易產(chǎn)生棋盤格和多孔材料等數(shù)值計算不穩(wěn)定性現(xiàn)象，計算結(jié)果可制造性差。

1.2 變厚度法

變厚度法屬十幾何描述方式，以基結(jié)構(gòu)中單元厚度為拓?fù)湓O(shè)計變量，以結(jié)果中的厚度分布確定最優(yōu)拓?fù)洌浅叽鐑?yōu)化方法的直接推廣。

變厚度法避免了均勻化方法中構(gòu)造微結(jié)構(gòu)的麻煩，因此可以較為方便地解決平面拓?fù)鋬?yōu)化問題。但是，由于它把拓?fù)渥兞繏炜吭诘蛯哟蔚膯卧穸壬?，將連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為廣義尺寸優(yōu)化問題，因此無法運用于三維結(jié)構(gòu)中，應(yīng)用范圍較窄[20]。

1.3 變密度方法

變密度法就是引入一種假想的密度值在[0，1]之間的密度可變材料，將連續(xù)結(jié)構(gòu)體離散為有限元模型后，以每個單元的密度為設(shè)計變量，將結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單元材料的最優(yōu)分布問題。

用變密度法得到的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果是密度等值分布圖，其中密度為中間值所對應(yīng)的區(qū)域為假想的人工材料，在實際的工程中是沒法實現(xiàn)的，因此在得到最優(yōu)拓?fù)鋱D形后要對這些區(qū)域進行人為的處理以適應(yīng)實際的工程需要。基于正交各向同性材料密度冪指數(shù)形式的變密度法基于最小柔度的優(yōu)化模型為[9]:

式中:xe為單元的相對密度;N為結(jié)構(gòu)離散單元總數(shù);C為結(jié)構(gòu)的總體柔度;p為懲罰因子;ke為優(yōu)化后單元剛度矩陣;f為優(yōu)化體積比;K為優(yōu)化前結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣，U 和F分別是位移列矩陣、力矢量;kO為初始單元剛度矩陣;ue為單元位移列矢量;xminxmax分別是單元相對密度的最小極限值和最大極限值;ve為優(yōu)化后單元體積;Vo設(shè)計域的初始體積;V 優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)體積。

在外力作用下，有限元模型應(yīng)力約束的最小質(zhì)量的拓?fù)鋬?yōu)化公式[21]如下:

式中:ve為單元體積;ρe為單元密度;ρmin為單元最小密度;K為剛度矩陣;U為位移矩陣;F為外界載荷;(σe)VM為單元的等效V.M.應(yīng)力;σl為工況l 下的應(yīng)力要求;p為懲罰因子。

2 壓鑄機中板有限元模型的建立及參數(shù)設(shè)置

文中采用Hyperworks的Optistruct模塊進行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化，其優(yōu)化原理為變密度法。在對模型進行有限元分析前，先要建立中板的有限元模型。有限元模擬中網(wǎng)格的剖分質(zhì)量是影響計算精度的重要因素，因此采用專業(yè)的有限元前處理軟件Hypermesh 來生成高質(zhì)量的網(wǎng)格，然后進行邊界條件和相關(guān)參數(shù)的設(shè)置并進行求解。

2.1 有限元模型的建立

壓鑄機主要零部件的模型如圖1所示，其中增力機構(gòu)通過中板傳力，為模具提供鎖模力。壓鑄機中板的原始三維模型如圖2(a)和(b)所示，結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，中板模架裝配面開了許多T型槽，用來固定模具，增力裝配面上開了4個矩形槽，邊角分布4個與格林姆柱相配合的通孔。為了獲得較好的優(yōu)化結(jié)果以及便于高質(zhì)量網(wǎng)格的劃分，對壓鑄機中板的模型做了簡化，忽略了一些小的特征量，如:T型槽，倒角和圓角，如圖2(c)和(d)所示。

圖1 壓鑄機部分結(jié)構(gòu)示意圖

對簡化后的中板模型進行六面體網(wǎng)格劃分，將模型分為設(shè)計區(qū)和非設(shè)計區(qū)兩個部分，如圖3中(a)、(b)、(c)所示。對兩個區(qū)域的網(wǎng)格分布賦予同一種材料和屬性，材料為球墨鑄鐵QT450，其彈性模量E為150 GPa，泊松比為0.25，密度為7.3×103kg/m3，其中HEX8 六面體單元為155 196個，共155 638個單元，172 978個節(jié)點。

圖2 簡化前、后的中板模型

圖3 中板有限元模型

2.2 施加約束和載荷

在施加約束和載荷時，應(yīng)盡量參考中板實際的工況和相關(guān)參數(shù)。對圖1進行分析可知，中板起固定模具和傳遞鎖模力的作用，在實際工況中可沿著格林姆柱軸向移動。因此施加載荷時，可視為銷(與鉸孔配合)固定，在模架面接觸模具部位施加1.225×104kN的面載荷。建立約束時，邊角的4個通孔內(nèi)表面的六面體單元釋放z 向(軸向)的自由度，約束其余自由度;約束中板底面支承座y 方向的自由度，釋放其余自由度，在10個鉸孔處建立10個相對應(yīng)的RBE2 剛性單元，約束這些單元的全部自由度。

2.3 拓?fù)鋬?yōu)化參數(shù)設(shè)置

對中板優(yōu)化時，定義設(shè)計變量，即選擇設(shè)計區(qū)域，定義目標(biāo)函數(shù)為最小質(zhì)量，定義約束條件為滿足應(yīng)力約束。為了便于制造加工，添加了最小尺寸、最大尺寸和拔模約束。這樣優(yōu)化的三大要素和制造約束都已經(jīng)設(shè)置完畢，做完以上設(shè)置后提交Optistruct分析。

3 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果及分析

壓鑄機模架裝配面要預(yù)留一定的厚度來裝配模具，那么預(yù)留量的大小將是影響拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的因素之一，為了確定最佳的預(yù)留量，對以中板模架裝配面的厚度為設(shè)計變量的有限元模型做了拓?fù)鋬?yōu)化模擬，對比了優(yōu)化后模型的減重比和中板的變形位移。對優(yōu)化后的結(jié)果進行了分析，圖4是取不同預(yù)留厚度的有限元模型優(yōu)化后，密度值取0.3 (密度值低于0.3的單元被去除)時的結(jié)果。

圖4 不同預(yù)留厚度的優(yōu)化結(jié)果

可以看出:當(dāng)預(yù)留厚度為25～150 mm時，設(shè)計區(qū)域的優(yōu)化結(jié)果很相似，材料呈“X”型對角線分布，中間兩個通孔中間部位材料較多;鉸孔連接處，材料有類似筋的分布與中間相接。當(dāng)預(yù)留厚度大于200 mm時，設(shè)計區(qū)域在中板中間部位的材料幾乎完全被去除，鉸孔處材料依然類似筋的分布和中間相接。這種材料布局符合力的傳遞途徑，能滿足應(yīng)力要求。

3.1 預(yù)留厚度對優(yōu)化后模型的減重比及變形量的影響

為了能直觀地看出預(yù)留厚度對減重比(密度法優(yōu)化前后的減重比)和變形量的影響，文中依據(jù)圖4的優(yōu)化結(jié)果畫出了減重比和變形量隨預(yù)留厚度變化而變化的趨勢圖(見圖5)。

可直觀地看出:隨預(yù)留厚度的增加，優(yōu)化后模型的減重比總體趨于下降。因為預(yù)留厚度越大，則代表非設(shè)計區(qū)的質(zhì)量越大，設(shè)計區(qū)域的材料就越少，故優(yōu)化后模型的質(zhì)量越大，減重比趨于下降。

圖5 不同預(yù)留厚度下的變形量和減重比

同時也可以看出:變形量總體上趨于減小。預(yù)留厚度為25～150 mm時，變形量隨厚度的增加而減小;預(yù)留厚度為150～200 mm時，變形量隨厚度的增加而增加;預(yù)留厚度大于200 mm時，變形量隨厚度的增加而減小。因為預(yù)留量為25～150 mm時中板較薄，應(yīng)力作用下變形較大，變形量隨預(yù)留量的增大而減小;當(dāng)預(yù)留量厚度增大到某一值(200 mm)后，中板非設(shè)計區(qū)厚度已達應(yīng)力最低要求，故非設(shè)計區(qū)中間部位材料完全去除(如圖4預(yù)留厚度200 mm以上圖形)，優(yōu)化后中板中間部位厚度比25～150 mm時的優(yōu)化結(jié)果小，故變形量變大;當(dāng)預(yù)留厚度繼續(xù)增大，則優(yōu)化后中板中間部位的厚度增加(此時預(yù)留厚度等于優(yōu)化后中板中間部位厚度，如圖4預(yù)留厚度200 mm以上圖形)，故相同的應(yīng)力下，變形量趨于減小。

3.2 優(yōu)化結(jié)果的確定

通過以上分析，可知中板模架裝配面預(yù)留量為150 mm時，減重比較大且變形位移較小，此時的優(yōu)化結(jié)果較為合理，故確定預(yù)留量為150 mm時的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果為最終的優(yōu)化模型。

4 中板模型重構(gòu)及拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果驗證

將預(yù)留量為150 mm時的優(yōu)化模型(圖4(f))導(dǎo)出，并依據(jù)該模型在三維建模軟件中重新建立新的中板幾何和有限元模型(見圖6)，設(shè)定好相關(guān)參數(shù)和約束及應(yīng)力，對優(yōu)化后中板有限元模型作靜態(tài)力學(xué)分析。

圖6 優(yōu)化后中板模型

對優(yōu)化前、后中板的性能進行對比，結(jié)果如圖7所示。

圖7 優(yōu)化前、后中板位移云圖

優(yōu)化前中板模架裝配面最大位移為0.21 mm 左右，優(yōu)化后為0.3 mm 左右，優(yōu)化前中板最大應(yīng)力為83 MPa 左右，優(yōu)化后中板最大應(yīng)力為110 MPa 左右。但是，優(yōu)化后中板應(yīng)力除鉸孔邊緣少數(shù)單層單元局部應(yīng)力過大外(拔模、倒角、圓角后可改善)，其余部分的應(yīng)力普遍在80 MPa以下，而QT450 球墨鑄鐵的屈服應(yīng)力在310 MPa 左右，滿足使用要求。通過分析對比可知，雖然優(yōu)化后中板的應(yīng)力和應(yīng)變有所上升，但是上升幅度很小，仍然符合工況要求，而優(yōu)化后材料的性能卻得到了更充分的應(yīng)用，中板模型質(zhì)量優(yōu)化后比優(yōu)化前減少了26%，體現(xiàn)了拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)勢。

5 結(jié)束語

文中通過有限元和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化理論相結(jié)合的方法對壓鑄機中板進行了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化，獲得的研究結(jié)論如下:

(1)當(dāng)模架裝配面厚度較薄時，設(shè)計區(qū)域的材料呈“X”型對角線分布;當(dāng)模架裝配面厚度較大時，設(shè)計區(qū)域在中板中間部位的材料幾乎完全去除;鉸孔處材料都有類似筋的分布和中間相接。

(2)隨模架裝配面預(yù)留厚度的增加，優(yōu)化后模型的減重比趨于下降，而預(yù)留厚度為25～150 mm時，變形量隨厚度的增加而減小;預(yù)留厚度為150～200 mm時，變形量隨厚度的增加而增加;預(yù)留厚度為200～325 mm時，變形量隨厚度的增加而減小。

(3)文中最終確定了模架裝配面厚度為150 mm時，中板的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果比較理想。由中板優(yōu)化后的模擬分析可知，中板的應(yīng)力分布普遍在80 MPa以下，位移處于0.3 mm以下，仍符合工況要求。優(yōu)化后，材料的性能得到了充分的應(yīng)用，中板模型質(zhì)量優(yōu)化后比優(yōu)化前減少了26%，體現(xiàn)了拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)勢。

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