丁 撼， 阿達依·謝爾亞孜旦

（新疆大學機械工程學院，新疆 烏魯木齊 830046）

螺旋錐齒輪球面漸開線齒面形成原理及推論

丁 撼， 阿達依·謝爾亞孜旦

（新疆大學機械工程學院，新疆 烏魯木齊 830046）

從螺旋錐齒輪的精確齒面形狀出發(fā)，詳細地論述了球面漸開線齒面的基本組成。基于球面漸開線理論在螺旋錐齒輪方面已取得的研究成果，分析并總結(jié)其特點與不足，提出了螺旋錐齒輪的球面漸開線齒面形成原理。并對球面漸開線齒面形成過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)產(chǎn)形線、工作齒廓和球面漸開線齒面的基本方程進行了推導和論述，為其設(shè)計及加工提出了一些方案，以便為螺旋錐齒輪的研究提供理論基礎(chǔ)和思路。

螺旋錐齒輪；球面漸開線齒面；形成原理；產(chǎn)形線；工作齒廓

一直以來，在有關(guān)螺旋錐齒輪的設(shè)計與制造的研究中，都是以嚙合原理為基礎(chǔ)理論[1-3]，而基于球面漸開線這一早已成熟的理論的應用，卻很少提及。究其原因主要有：

1） 螺旋錐齒輪本身就難以加工，而基于球面漸開線這種球面曲線齒形就更加難以加工。

2） 先進近似曲線來代替的齒輪制造技術(shù)已相當成熟，尤其是以Gleason為代表的數(shù)字化制造技術(shù)，已經(jīng)彌補了這種近似曲線齒廓所帶來的原理性誤差。

3） 這種基于嚙合原理的有關(guān)理論的研究和應用相較球面漸開線理論更加簡單，易于掌握，同時易于加工，尤其是高精度高質(zhì)量的加工。

但是，球面漸開線理論在設(shè)計方面尤其是齒輪的模型設(shè)計方面有著自己獨特的優(yōu)勢，能夠為快速精準的齒面模型的建立創(chuàng)造更加有利的條件。對此，近些年來，也有一部分學者對球面漸開線理論在螺旋錐齒輪領(lǐng)域中的應用方面展開了研究。其中，吉林大學的研究團隊最為突出：以彭福華[4]、楊兆軍[5]、張學成[6]、呼詠等[7-8]教授及其所帶領(lǐng)的研究生們，就球面漸開線理論充分應用于螺旋錐齒輪的研究中，提出了“產(chǎn)型線切齒法”這一新的加工方法，出版了專著獲得發(fā)明專利并發(fā)表了大量的研究論文。但是其球面漸開線原理沒有作詳細的推論和推導，而且其原理的論述中還存在一些不足之處。

本文以這些研究為基礎(chǔ)，充分吸收其優(yōu)勢和特點，發(fā)現(xiàn)并彌補其不足，提出了球面漸開線齒面的形成理論，并進行了詳細的推導和論述，以便使這一理論及技術(shù)研究更加完善。

1 球面漸開線理論及應用成果探討

1.1 球面漸開線理論

實際上，弧齒錐齒輪副在傳動過程中，輪齒上各點到節(jié)錐頂點的距離始終是不變的，齒廓為球面曲線[9]。由于其節(jié)錐母線為其相對運動的瞬心線，弧齒錐齒輪就相當于一對圓錐相切并作無滑動的滾動。如圖1所示，在以節(jié)錐頂點O點為中心的球面，在某一瞬間的運動表現(xiàn)為：垂直于節(jié)錐母線的傳動平面上，有一對圓柱直齒輪在傳動，在大端則是節(jié)圓半徑為AP和BP的兩個圓錐齒輪傳動。

圖1 軸線及傳動平面

當平面在基圓錐上滾動時，平面上的一點的運動軌跡就稱為球面漸開線，該圓錐為基圓錐。如圖2所示，圓平面O與基圓錐OK0O1相切并在錐面上作純滾動，圓平面上的一動點K在空間的運動軌跡就是漸開線。由于動點K在漸開線上任意位置到基圓錐頂點O的距離始終相等，故該漸開線是在以O(shè)點為球心的球面上。當圓平面由初始OK0位置滾動到ON位置時，動點K的運動軌跡為球面漸開線K0Kt。

圖2 球面漸開線原理

球面漸開線方程可以如下方法求解。過點K作垂直軸線OO1的平面，交軸線OO1于Q點，交母線OK0于P點。在形成的直角三角形OKQ、OKP、OPN中，存在以下幾何關(guān)系：

由漸開線的性質(zhì)，有：

又在球面上：

聯(lián)立以上方程，可得：

由球面三角學和邊角關(guān)系，可知球面上有：

根據(jù)以上推導，則球面漸開線上的任意一點K的偏角為：

根據(jù)如圖球面坐標系，可以表示為：

1.2 球面漸開線理論應用成果的有關(guān)探討

在吉林大學所開創(chuàng)性地提出的“產(chǎn)形線切齒法”的研究中，充分利用了球面漸開線理論，克服了以往加工方法存在的原理性誤差造成的嚙合狀態(tài)不理想的問題，具有一定獨特優(yōu)勢和特點[10]。而其“產(chǎn)形線切齒法”的基本原理，即為圖3所示球面漸開線齒面形成原理[11]，卻只做了適當?shù)奈淖中缘恼撌?，存在著一些不足之處?）基圓錐在平面 Q上始終做純滾動運動且二者相切于一條基錐母線。則在同一個平面O上,切線之外的另一條線即產(chǎn)形線 M0Mn，同時也是作為切削刃的刀具形狀曲線，沒有作詳細的說明和推導。2）往往把產(chǎn)形線用直線代替，這樣形成的是螺旋直齒輪而不是螺旋錐齒輪。3）無法保證產(chǎn)形線M0Mn曲線的最終運動軌跡C0Cn既在圓面上又在基錐面上。因為既在圓面上又在基錐面上有且只有圓面與基錐面的切線，而非軌跡曲線C0Cn。

圖3 產(chǎn)形切齒法的基本原理

2 球面漸開線齒面的形成原理

2.1 球面漸開線齒面的組成

如圖4所示，一個完整的齒面應該包括一個頂面、兩個側(cè)面、兩個端面。其中，頂面為齒頂面，是兩條齒頂線與大小端面曲線圍成；兩個側(cè)面是指輪齒的成對稱形狀的凹面和凸面，包括工作齒面、齒根面、以及二者之間的過渡圓角曲面3個部分；大小端面是齒廓曲線圍成的。

圖4 齒面的基本組成

如圖5所示，一個完整的弧齒錐齒輪的齒廓至少由四部分組成：齒頂t1，工作齒廓t2，齒根t4，以及連接工作齒廓及齒根的齒根過渡圓角t3。在加工過程中，工作齒廓線所成的曲面由刀具的直線刃部分包絡(luò)展成，過渡曲線所構(gòu)成的過渡曲面，是由刀具齒頂尖或齒頂圓角包絡(luò)形成的。

所以，在實際的齒輪傳動中，球面漸開線齒面是指由大小端的工作齒廓曲線和齒頂線及過渡圓角線圍成的工作齒面。

圖5 球面漸開線齒面的基本組成

2.2 球面漸開線齒面的形成原理

當一圓面與一基錐面相切并在其上純滾動時，圓面上的點可構(gòu)成球面漸開線，而由這些連續(xù)的點所組成的線則可構(gòu)成球面漸開線齒面。如圖6所示，圓面上的點K0和Kt所形成的空間軌跡為齒輪大小端的工作齒廓，而曲線段K0Kt在空間的運動軌跡就形成了輪齒的齒面。其中圓面Q稱為發(fā)生面，曲線K0N稱為發(fā)生線，而曲線K0Kt則稱為產(chǎn)形線。其中，產(chǎn)形線為發(fā)生圓面Q上的一條非切線的曲線，是根據(jù)基錐面的螺旋線經(jīng)過相應的圖形變換得來的。發(fā)生圓面做純滾動所轉(zhuǎn)過的角度為μ，對應的是基錐底圓面上發(fā)生線的圓心角。

圖6 球面漸開線齒面的形成原理

3 球面漸開線齒面的推論

3.1 基圓錐與發(fā)生面相切的幾何參數(shù)

由球面漸開線成形原理可以看出，發(fā)生圓面與基錐面和基圓錐的位置關(guān)系是其關(guān)鍵點之一。如圖7所示，δb表示基錐角，T表示節(jié)線所在的節(jié)平面，R表示發(fā)生面的半徑，Rb表示基圓錐的底面半徑, δ表示節(jié)錐角。直線OM和OQ為節(jié)錐面的母線。將節(jié)平面如圖示方向繞節(jié)錐母線OQ旋轉(zhuǎn)角α，就構(gòu)成了發(fā)生面O。節(jié)平面T與發(fā)生面O的夾角為點Q處的背錐壓力角α。發(fā)生面與基圓錐的相切于基錐母線 OK。節(jié)錐母線與基錐母線的夾角為τ。根據(jù)空間幾何關(guān)系，基圓錐與發(fā)生面相切的幾何參數(shù)可以由以下公式表示：

式中z表示齒輪齒數(shù)，z1和z2表示一對齒輪副的兩齒輪各自齒數(shù)，m為齒輪模數(shù)。

圖7 基圓錐與發(fā)生面相切的幾何參數(shù)確定

3.2 產(chǎn)形線的推導

在球面漸開線齒面形成原理中，產(chǎn)形線的確定和推導是最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。因為，該產(chǎn)形線有著自身的獨特性和復雜性。首先，它為發(fā)生圓面上的一段曲線，因為直線在空中所形成的軌跡為直齒錐齒輪而非螺旋錐齒輪。其次，由于它不在基錐面上，它的推導可以根據(jù)基錐面上的螺旋線做適當?shù)男D(zhuǎn)處理推導。具體的步驟為：

1） 基圓錐螺旋線的求解。該螺旋線是一條阿基米德螺旋線。如圖8 所示，根據(jù)螺旋線的定義，基錐面上的任意一點一邊勻豎直向上一邊隨母線繞軸線運動，其運動軌跡就是一條基圓錐面上的螺旋曲線。其中動點k 處的切線與母線的夾角為其螺旋角β，則螺旋線可以用方程表示為：

另外，根據(jù)相關(guān)計算，螺旋轉(zhuǎn)角θn可表示為：

同時，常數(shù)k有以下公式求得：

上式中，βh為基圓上小端處的螺旋角。

圖8 基圓錐螺旋線

2） 求解產(chǎn)形線K0Kt。如圖9，以基圓錐頂點O為球心作一系列半徑Rn可變的球，與螺旋線相相交于一點，同時與圓面O交于一點。令與圓面O所交的點為動點Kn，則動點Kn所構(gòu)成的空間曲線為所求的產(chǎn)形線。根據(jù)以求的基圓錐方程，將動點到基錐頂點O的錐距變?yōu)镽n就可得到基圓錐面上的產(chǎn)形線方程。其中，可變半徑Rn可以在圓面直徑上等分求取，公式為：

圖9 產(chǎn)形線的求解

確定等分 N后，就可連接這些連續(xù)點構(gòu)成產(chǎn)形線，故其方程可以簡化為：

其中，Rt≤Rn≤Rh，Rt和Rh分別表示基圓錐面上齒輪小端和大端到頂點的距離，而θ ′為圖形變化過程中動點Kn相對于起點K0所轉(zhuǎn)過的角度。

3.3 大小端面工作齒廓的推導

3.3.1 大端工作齒廓的推導

根據(jù)球面漸開線形成的原理，大端的工作齒廓即為球面漸開線，可根據(jù)球面漸開線公式和建立的球面坐標系求得：

3.3.2 小端工作齒廓的推導

小端的工作齒廓的推導需先推導出小端面相對于大端面的球面偏角：

上式中，δ表示分錐角，下標 h表示齒輪大端，而t表示齒輪小端。根據(jù)球面漸開線齒面形成原理推導工作齒廓曲線,為：

上式中，B為齒寬，Δθ ′為由圓錐面的螺旋線向發(fā)生圓面做變換過程中的球面坐標系中的旋轉(zhuǎn)角度。

3.4 球面漸開線齒面的推導

根據(jù)建立的球面坐標系S0(X, Y, Z)，通過球面漸開線齒面形成原理和已經(jīng)求解的產(chǎn)形線方程，作適當?shù)男D(zhuǎn)變換即可看作繞Z軸旋轉(zhuǎn)就可以得出漸開線的齒面方程，為：

上式中，u表示純滾動中圓面所轉(zhuǎn)過的角度，可由公式表示為：

4 球面漸開線齒面的應用

基于球面漸開線齒面形成原理，在螺旋錐齒輪的設(shè)計尤其是模型設(shè)計方面有很大的優(yōu)勢。除了在三維繪圖軟件中可以由產(chǎn)形線方程快速創(chuàng)建產(chǎn)形線，然后借助軟件中的旋轉(zhuǎn)功能直接旋轉(zhuǎn)構(gòu)成齒面外；還可通過端面齒廓曲線族進行曲線擬合生成齒面。如圖 10所示，就是在產(chǎn)形線上取均勻的等分點快速創(chuàng)建多等分的齒廓曲線族，由一個端面到另一個斷面，可完成齒輪的精確擬合。這樣，利用該原理可快速精準地完成螺旋錐齒輪的參數(shù)化模型設(shè)計。

另外，基于球面漸開線齒面形成原理，為螺旋錐齒輪的加工提供了新的途徑。以前出現(xiàn)的加工方法主要有兩類：一類是以格里森 Free-From五軸聯(lián)動數(shù)控銑齒機為代表的專用機床加工[12]，另一類就是以通用的銑削加工中心為代表的銑削加工[13]。而這種以產(chǎn)形線為刀刃形狀的產(chǎn)形線切齒加工法，可加工出具有良好的嚙合性能的無原理性誤差齒面，且操作方便精度較高，另外在三軸聯(lián)動機床上就可完成加工，大大降低了生產(chǎn)成本。只是在加工過程出現(xiàn)的機床和刀具誤差，機床噪聲和振動、裝配機熱處理變形所帶來的誤差，卻需要不斷地提高相關(guān)的CAM軟件技術(shù)來減小。

圖10 齒廓曲線族擬合生成齒面

5 結(jié) 論

1） 本文結(jié)合球面漸開線理論，詳細地論述了有關(guān)球面漸開線齒面的基本組成，對面漸開線齒面的原理進行了研究，豐富了螺旋錐齒輪研究的理論基礎(chǔ)。

2） 分析了已有的球面漸開線理論應用的不足之處，重點推導了原理過程中的有關(guān)產(chǎn)形線、工作齒廓、球面漸開線齒面的基本方程表達式，為該原理的應用提供了基礎(chǔ)。

3） 基于球面漸開線齒面形成原理，對螺旋錐齒輪的設(shè)計和加工提出了相關(guān)的應用方案，并進行了探討，為螺旋錐齒輪的設(shè)計和加工提供了新的條件和途徑。

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Forming Principle and Inferences of Spherical Involute Tooth Surface for Spiral Bevel Gears

Ding Han, Adayi·Xieeryazidan
(School of Mechanical Engineering, Xinjiang University, Urumqi Xinjiang 830046, China )

From the precise shape of the tooth surface of the spiral bevel gears, the basic components of the spherical involute tooth surface are discussed in detail. On the basis of application of the theory about spherical involute for the spiral bevel gears, the characteristics and shortcomings are analyzed and summarized, and a principle of forming spherical involute tooth surface for the spiral bevel gears is proposed in the paper. Additionally, it makes inferences of its key links namely the generating-line, working tooth profile, and the basic equations of the spherical involute tooth surface, and proposes some approaches for its surface design and manufacturing, in order to provide theory basis and ideas for the research on the spiral bevel gears.

spiral bevel gears; spherical involute tooth surface; forming principle; generating-line; working tooth profile

TH 122

A

2095-302X (2013)06-0042-06

2013-05-02；定稿日期：2013-06-04

國家自然科學基金資助項目（50965017）

丁 撼（1987-），男，湖北監(jiān)利人，碩士，主要研究方向為CAD/CAM及先進制造技術(shù)。E-mail：dinghan0204@163.com

阿達依·謝爾亞孜旦（1963-），男，新疆阿勒泰人，教授，博士，主要研究方向為機械設(shè)計理論、非傳統(tǒng)加工技術(shù)。

E-mail：adayxj@126.com