鄭挺軍，朱林

(1.中國(guó)兵器工業(yè)第213 研究所，陜西西安710061;2.西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安710065)

在深孔珩磨中，將超聲振動(dòng)切削技術(shù)應(yīng)用到的深孔珩磨工藝中，將會(huì)獲得比普通珩磨優(yōu)異的工藝效果，可大大提高加工精度、表面質(zhì)量和效率。但是由于該技術(shù)涉及電學(xué)、聲學(xué)、機(jī)械學(xué)等眾多學(xué)科，知識(shí)面寬，是屬于邊緣學(xué)科，其聲振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)沒有完整而成熟的理論公式可供參考。作者利用力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)和電路系統(tǒng)的類比特性原理，通過試驗(yàn)研究，建立了超聲振動(dòng)深孔珩磨中撓性桿－油石座振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，確定了該系統(tǒng)的頻率方程的修正系數(shù)，為該聲振系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了較為準(zhǔn)確的依據(jù)。

1 設(shè)計(jì)原理

當(dāng)將力類比于電壓、振速類比于電流、力阻抗類比于電阻抗時(shí)，力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)和電路之間有等效關(guān)系，這種方法稱為力電類比法。超聲振動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)，利用力電類比，可將它描述為類似電路的等效機(jī)械圖，從而可應(yīng)用機(jī)械阻抗方法，方便地分析其振動(dòng)性能，從而為其設(shè)計(jì)帶來方便。

為了設(shè)計(jì)需要，將撓性桿－油石座工具振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為端點(diǎn)帶有集中質(zhì)量的桿，其數(shù)學(xué)模型建立如下:

撓性桿－油石座工具振動(dòng)系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為端點(diǎn)帶有集中質(zhì)量的桿的數(shù)學(xué)模型，設(shè)集中質(zhì)量的大小為M，其縱向自由振動(dòng)方程為:

式中:u 為縱向位移，m;

E 為彈性模量，Pa;

ρ 為桿的材料密度，kg/m3。

為解上述振動(dòng)方程，假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)，即設(shè):

式中:T(t)為運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù);

U(x)是桿上距原點(diǎn)x 處截面的縱向振動(dòng)幅值。

式(3)中第一個(gè)等號(hào)的左邊與x 無關(guān)，右邊與t 無關(guān)，λ 只能是常數(shù)，由此得到:

當(dāng)λ ＞0 時(shí)，才有非零解U(x)，設(shè)λ =ω2，其中ω 為正數(shù)。則式(4)變?yōu)?/p>

則由式(5)可以解得:

式中:C1、C2、b 為常數(shù)，ω 為固有圓頻率。

根據(jù)等直桿的簡(jiǎn)單邊界條件，一端固定一端自由可得

將式(8)代入式(6)解出固有頻率為:

相應(yīng)的主振型為:

根據(jù)撓性桿的左端固定，右端有集中質(zhì)量M，邊界條件為:

由式(11)、(2)、(7)可得:

將式(12)代入式(6)中得

上式即頻率方程，引入量綱為一的因子

式中:l 為撓性桿的長(zhǎng)度，mm;

A 為撓性桿的橫截面，mm2;

M 為油石座質(zhì)量，kg。

則式(13)可寫為

由式(15)可得

為了計(jì)算撓性桿－油石座振動(dòng)系統(tǒng)，求解其頻率方程(16)的解，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。在這里使用MATLAB 軟件，它具有強(qiáng)大的計(jì)算和圖形繪制功能，為進(jìn)行數(shù)值計(jì)算帶來了方便。為了求解頻率方程，可以用fplot 函數(shù)在指定的范圍內(nèi)繪制出該函數(shù)的圖形。

(1)創(chuàng)建M 文件myfun

function y=myfun(x)

動(dòng)力有限元模型的離散參數(shù)需要根據(jù)相應(yīng)地層的剪切波波速及激勵(lì)的頻率范圍來確定[16]。為了簡(jiǎn)化模型，同時(shí)又能反映地層的動(dòng)力特性，根據(jù)地層剪切波速的變化范圍，將復(fù)雜的真實(shí)地層簡(jiǎn)化為5層水平構(gòu)造，每層代表一個(gè)主要的剪切波速域[17]。剪切波速cs的計(jì)算公式[18]為：

y=x* tan(x)－0.36

注:根據(jù)不同的質(zhì)量比α，創(chuàng)建不同的M 文件，程序中α1=0.36(第一次試驗(yàn)時(shí)的質(zhì)量比)

(2)運(yùn)行程序

fplot(‘myfun’，［1，10］)

注:該函數(shù)的語法格式為:fplot(function，limits)，.limits 是一個(gè)矢量，指定x 軸上的范圍。為了求頻率方程的根，在指定范圍內(nèi)繪制函數(shù)圖形，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為頻率方程的根。根據(jù)設(shè)計(jì)要求，只輸出范圍在1 ～10 的函數(shù)圖形，即頻率方程的根的范圍在1 ～10 之間。

(3)圖形輸出

圖1 α=0.36 頻率方程求根曲線圖

(4)區(qū)間化分

根據(jù)圖1 把根的區(qū)間化為［1，2］、［2，4］、［5，7］、［8，10］，所求的根就在這幾個(gè)范圍內(nèi)。

(5)選取區(qū)間

對(duì)于超聲深孔珩磨聲振系統(tǒng)的固有頻率，不同的聲振系統(tǒng)的固有頻率值是不相同的，因?yàn)轭l率具有周期性，故同一系統(tǒng)在每個(gè)周期內(nèi)分別還會(huì)有相應(yīng)的頻率值。根據(jù)聲振系統(tǒng)的頻率值應(yīng)在20 kHz 左右的原則，系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)只要算出滿足要求的頻率值即可?？紤]珩磨結(jié)構(gòu)，主要選擇［5，7］區(qū)間作為該系統(tǒng)設(shè)計(jì)的主要區(qū)間。其求根曲線圖如圖2所示。

圖2 ［5，7］區(qū)間頻率方程求根曲線圖(α=0.36)

圖3 ［6.2，6.4］區(qū)間頻率方程求根曲線圖(α=0.36)

將［5，7］區(qū)間再次細(xì)化為［6.3，6.4］，如圖3所示，即可得到所求解，β = 6.34，將β 值代入式(14)中，可以算得撓性桿長(zhǎng)l=270 mm。

2 試驗(yàn)

為上驗(yàn)證上述計(jì)算結(jié)果，并對(duì)其進(jìn)行修正，最終得到較為合適的修正系數(shù)，則對(duì)撓性桿－油石座振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行試振，根據(jù)結(jié)果對(duì)相應(yīng)系數(shù)進(jìn)行修改。初次試驗(yàn)的相應(yīng)尺寸為:油石座長(zhǎng)度L =129 mm、厚度H=12 mm、寬度B=9 mm，撓性桿直徑為5 mm、長(zhǎng)度為270 mm。

試驗(yàn)條件:

超聲波發(fā)生器:電源輸出電壓220 V，輸出最大功率1 000 W，工作頻率為20 kHz ±400 Hz;阻抗分析儀:PV70A;

彎曲振動(dòng)圓盤:厚度5.8 mm，直徑96 mm;階梯形變幅桿:調(diào)質(zhì)45 鋼;

換能器:壓電陶瓷;

電腦、測(cè)試軟件等。

圖4 l=270 mm，α=0.36 測(cè)試參數(shù)

在階梯形變幅桿與換能器、彎曲振動(dòng)圓盤連接好后，將撓性桿－油石座焊接在彎曲振動(dòng)圓盤上，再將這套振動(dòng)系統(tǒng)與阻抗分析儀相連，最后與計(jì)算機(jī)相連接。其初次試驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

由圖4所示，諧振頻率f =25.7 kHz，與理論計(jì)算相差較大，因此在不改變油石座基礎(chǔ)上修改撓性的長(zhǎng)度l，改變質(zhì)量比α?，F(xiàn)分別列于表1 中。

表1 撓性桿－油石座振動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(油石座高度為12 mm)

由表1 可以出，理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值之間存在差值，這主要是由于將油石座、油石簡(jiǎn)化為一個(gè)集中質(zhì)量，而實(shí)際上油石座的形狀，質(zhì)量分布都會(huì)影響系統(tǒng)的固有頻率，因此對(duì)頻率方程作修正，引入修正系數(shù)K，對(duì)式(16)進(jìn)行修正，修正后頻率方程為:

式中:K 為修正系數(shù)，(K=0.85);

l 為撓性桿的長(zhǎng)度，mm。

最終確定撓性桿的長(zhǎng)度l =230 mm，直徑為5 mm，將撓性桿－油石座振動(dòng)系統(tǒng)與超聲波發(fā)生器相連接，振動(dòng)霧化較果好。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證修正系數(shù)的準(zhǔn)確程度，再對(duì)撓性桿－油石座振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，并連接實(shí)驗(yàn)儀器，確定修正后計(jì)算的頻率與實(shí)測(cè)頻率之間誤差。改變油石座高度，并在油石座上銑出油石槽，其結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 油石座結(jié)構(gòu)

表2 撓性桿－油石座振動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(油石座高度為6.4 mm)

3 結(jié)論

由表2 可以看出，由式(18)所計(jì)算出來的撓性桿－油石座振動(dòng)系統(tǒng)的諧振頻率，在19 ～23 KHz范圍內(nèi)較為精確。

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