劉春生，任春平，魯士鉑，萬豐

(黑龍江科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，哈爾濱150022)

0 引言

截齒截割破碎煤巖是采煤機(jī)的主要工作過程，其截割過程產(chǎn)生的截割阻力是決定截割效率的重要參數(shù)。因此，探索煤巖截割的動(dòng)態(tài)過程及截割特性，對(duì)提高截割質(zhì)量及截割效益顯得至關(guān)重要。由于鎬型截齒具有自銳性好、強(qiáng)度高、拆裝方便可靠等優(yōu)點(diǎn)，目前鎬型截齒大都被應(yīng)用在強(qiáng)力滾筒上，其所消耗的功率大部分用于克服煤巖體破碎時(shí)產(chǎn)生的截割阻力。截齒在截割煤巖的過程中，由于煤巖體的性質(zhì)不同，常常突遇夾石層及硬質(zhì)包裹體，產(chǎn)生隨機(jī)的動(dòng)載荷，引起截齒較強(qiáng)的振動(dòng)，使其極易出現(xiàn)破壞失效狀況，導(dǎo)致截齒截割載荷譜不能客觀真實(shí)地反映截齒截割性能。因此，為提高煤巖破碎效率，對(duì)其載荷譜特征進(jìn)行表征和評(píng)估都是非常必要的。以往對(duì)截齒截割載荷譜的研究主要為建立截割載荷模型的正問題，然而反問題近年來越來越得到學(xué)者廣泛的關(guān)注［1－4］。由于截割載荷譜蘊(yùn)含豐富的截割信息，目前有關(guān)截齒截割載荷定量反演的分析研究還不夠具體和深入。因此，筆者根據(jù)有限的實(shí)驗(yàn)載荷譜及結(jié)構(gòu)參數(shù)和運(yùn)動(dòng)參數(shù)，利用Tikhonov正則化方法對(duì)其重構(gòu)，進(jìn)而表征和評(píng)估其特征，以此優(yōu)化截齒結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，提高煤巖破碎效率。

1 載荷譜重構(gòu)模型

截割實(shí)驗(yàn)載荷譜表現(xiàn)出無規(guī)則性、非周期性，難以單一地根據(jù)原始觀察數(shù)據(jù)來作解釋和直接應(yīng)用，因此需要對(duì)其重構(gòu)，提取截割載荷特征來表征煤巖破碎過程。

設(shè)z(t)為重構(gòu)截割載荷譜，f(t)為實(shí)驗(yàn)截割載荷譜，根據(jù)Cadzow提出的重構(gòu)算法建立下述的弗雷德霍姆(Fredholm)方程［5－7］。

因?yàn)闇y(cè)試得到的實(shí)驗(yàn)載荷譜f(t)含有一定噪聲e(t)的測(cè)量值，即fδ(t)=f(t)+e(t)，t∈(a，b)。其中，fδ(t)∈L2，即fδ(t)屬于Hilbert空間，且設(shè)誤差函數(shù)e(t)的能量有限:

因此，與方程(1)等價(jià)的方程:

由于方程(2)屬于第一類Fredholm方程，典型的不適定性問題，即方程(2)的解z(t)對(duì)于fδ(t)的微弱變化十分敏感，如果此時(shí)采用Cadzow算法將得不到穩(wěn)定的解。為求解方程(2)的穩(wěn)定數(shù)值解，則需要對(duì)其離散化。設(shè)采樣間隔為為采樣點(diǎn)數(shù)目tk=τk=kΔT，k=1，2，…，n，對(duì)其離散近似時(shí)采用矩形公式，得下述方程:

由方程(3)，建立實(shí)驗(yàn)與重構(gòu)的截割載荷譜之間的關(guān)聯(lián)模型:

2 Tikhonov正則化

由方程(4)可知，當(dāng)ΔT達(dá)到足夠小的狀態(tài)，重構(gòu)模型系數(shù)矩陣A趨于零，其解極不穩(wěn)定，因此需要對(duì)其正則化處理。由于截齒破碎煤巖載荷譜重構(gòu)具有反問題的求解特征，采用Tikhonov正則化方法，可取得較好的重構(gòu)效果。對(duì)方程(4)采用Tikhonov正則化，把其解轉(zhuǎn)化為求解下述問題的最小值:

式中:λ——正則參數(shù)。

整理式(5)得到

對(duì)式(6)微分，得到

整理上式，得到

對(duì)矩陣A進(jìn)行奇異值分解(SVD)，得

式中:A∈Rm×n;

U——正交矩陣，U=［u1，u2，…，um］∈Rm×m;

V——正交矩陣，V=［v1，v2，…，vm］∈Rn×n;

Σ——m×n階偽對(duì)角陣，Σ=diag{σ1，σ2，…，σn};

σi——奇異值，滿足σ1≥σ2≥σ3，…，≥σn;

ui、vi——左右奇異向量。根據(jù)式(9)及其轉(zhuǎn)置，得:

將式(9)、(10)帶入式(8)，整理后，

由于Picard準(zhǔn)則成立為重構(gòu)模型的最佳近似解存在的充分必要條件，即重構(gòu)模型的傅里葉系數(shù)趨于零的速度比矩陣A的奇異值趨于零的速度要快一些，若不滿足該條件，則模型的解不存在。因此，基于該準(zhǔn)則，給出奇異值σi和傅里葉系數(shù)|uiF|的關(guān)系，如圖1所示。

圖1 Picard曲線Fig.1 Curves of Picard

從圖1可以看出，當(dāng)矩陣A的奇異值σi的序數(shù)i＜7時(shí)，重構(gòu)模型的傅里葉系數(shù)|uiF|下降的速度比奇異值σi下降速度快;當(dāng)i=7～10時(shí)，兩者下降的速度幾乎相同;當(dāng)i＞10時(shí)，奇異值迅速趨于零，而傅里葉系數(shù)在一定范圍內(nèi)上下波動(dòng)，原因可能在于該截割載荷重構(gòu)模型中實(shí)驗(yàn)載荷譜在測(cè)量過程中混有一定的噪聲。該情況下的重構(gòu)模型在一定程度屬于部分滿足Picard準(zhǔn)則條件，故可以通過Tikhonov正則化方法，求解重構(gòu)模型的穩(wěn)定數(shù)值解。

3 正則參數(shù)的選取策略

由式(11)可知，采用Tikhonov正則化算法，求得截割載荷譜重構(gòu)模型的解與正則參數(shù)λ密切相關(guān)。正則參數(shù)λ的取值，將決定著正則解的逼近程度和穩(wěn)定性。當(dāng)λ取較大值時(shí)，得到的數(shù)值解其范數(shù)較小，數(shù)值穩(wěn)定性較好，但控制殘差的范數(shù)相對(duì)較大;當(dāng)λ取較小值時(shí)，控制殘差的范數(shù)較小，其逼近程度高，但不能使得正則解的范數(shù)達(dá)到最小。因此，如何選取最優(yōu)的正則參數(shù)，達(dá)到模型正則解既滿足逼近條件，又滿足其穩(wěn)定條件，成為求解問題的關(guān)鍵。據(jù)此，筆者給出了下面兩種正則參數(shù)的選取策略，從中選取最優(yōu)的正則參數(shù)。

3.1 L－曲線準(zhǔn)則

拐點(diǎn)處的取值是L－曲線準(zhǔn)則選取正則參數(shù)的關(guān)鍵。以‖AZ－F‖為橫坐標(biāo)，以‖Z‖為縱坐標(biāo)，獲得(‖AZ－F‖，‖Z‖)一系列的坐標(biāo)點(diǎn)的數(shù)值，經(jīng)過曲線擬合，得到一條近似趨于字母L型的曲線，則拐點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即為正則參數(shù)值。其中，‖AZ－F‖和‖Z‖都是正則參數(shù)λ的函數(shù)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)載荷譜參數(shù)及L－曲線準(zhǔn)則，給出了相應(yīng)的L－曲線圖，見圖2。曲線的拐點(diǎn)比較明顯，且曲線形狀類似L型，滿足L－曲線準(zhǔn)則，但曲線的收斂性不好，拐點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的正則參數(shù)λ=0.10。

圖2 L－曲線準(zhǔn)則Fig.2 Criterion of L－curve

3.2 廣義交叉法(GCV)

廣義交叉法由于在求解正則參數(shù)時(shí)具有計(jì)算簡單、效率高的優(yōu)點(diǎn)，近年來被學(xué)者越來越關(guān)注。根據(jù)載荷譜重構(gòu)模型，基于Golub提出的廣義交叉法，給出該方法的應(yīng)用公式，即正則參數(shù)λ應(yīng)滿足下列等式:

式中:A(λ)——系數(shù)矩陣，A(λ)=A(ATA+λ2I)－1AT;

tr A——矩陣A的跡。

根據(jù)式(12)及實(shí)驗(yàn)載荷譜參量，給出了GCV曲線，如圖3所示。

圖3表明，當(dāng)0≤λ≤0.09時(shí)，GCV(λ)的值逐漸下降;當(dāng)0.09＜λ≤1時(shí)，GCV(λ)的值逐漸上升;當(dāng)λ=0.09時(shí)，GCV(λ)取得最小值。所以，采用廣義交叉準(zhǔn)則得到的正則參數(shù)λ=0.09。

圖3 GCV法Fig.3 Method of GCV

4 載荷譜重構(gòu)與分析

利用實(shí)驗(yàn)測(cè)試的40°楔入角、截割阻抗為220 kN/m、切削厚度為0.03 m等參數(shù)，得到了截割載荷譜曲線［8－9］。根據(jù)兩種正則參數(shù)選取策略，進(jìn)行載荷譜重構(gòu)。L－曲線準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的正則參數(shù)λ=0.10，廣義交叉準(zhǔn)則(GCV)對(duì)應(yīng)的正則參數(shù)λ=0.09。重構(gòu)效果如圖4所示。

圖4 重構(gòu)效果Fig.4 Reconstruction results

從圖4可以看出，重構(gòu)載荷譜與實(shí)驗(yàn)載荷譜總體趨勢(shì)相吻合，能夠反映截齒破碎煤巖的總體過程，且應(yīng)用Tikhonov方法能夠?yàn)V去載荷譜的高頻成分，有用的低頻載荷譜特征易于辨識(shí)和提取。為深入探究L－曲線準(zhǔn)則和廣義交叉準(zhǔn)則(GCV)選取的正則參數(shù)對(duì)重構(gòu)載荷譜的影響程度，確定正則參數(shù)選取的優(yōu)化策略，提取重構(gòu)載荷譜的特征參量，給出兩種策略下的重構(gòu)載荷譜特征參量關(guān)系，見表1。

表1表明:應(yīng)用廣義交叉準(zhǔn)則(GCV)和L－曲線準(zhǔn)則選取正則參數(shù)重構(gòu)的載荷譜，其特征參量基本與實(shí)驗(yàn)參量值接近，揭示兩種正則參數(shù)選取策略均能得到合理的正則參數(shù)。雖然與測(cè)試誤差相比較小，但相對(duì)兩者比較，廣義交叉準(zhǔn)則(GCV)比L－曲線準(zhǔn)則重構(gòu)的載荷譜更接近實(shí)驗(yàn)值。因此，在應(yīng)用Tikhonov正則化重構(gòu)截割載荷譜，廣義交叉準(zhǔn)則(GCV)優(yōu)于L－曲線準(zhǔn)則。

5 結(jié)論

(1)根據(jù)有限的截齒實(shí)驗(yàn)載荷譜及其結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)參數(shù)，確定載荷譜的重構(gòu)算法和其波形特征，應(yīng)用Tikhonov正則化方法，建立截割載荷重構(gòu)模型，給出實(shí)驗(yàn)載荷譜與重構(gòu)載荷譜的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。重構(gòu)載荷譜的趨勢(shì)總體與實(shí)驗(yàn)相符合。Tikhonov方法能夠?yàn)V去載荷譜的高頻成分，有用的低頻載荷譜特征易于辨識(shí)和提取，同時(shí)兩種正則參數(shù)選取策略對(duì)載荷譜重構(gòu)效果有一定的影響。

(2)通過提取重構(gòu)載荷譜的特征參量，給出選取正則參數(shù)策略上，廣義交叉法(GCV)優(yōu)于L－曲線準(zhǔn)則，其重構(gòu)載荷譜特征易于識(shí)別和提取，且能夠反映煤巖實(shí)際破碎狀態(tài)。該方法能夠?yàn)殒€型截齒破碎煤巖載荷譜特征的識(shí)別及提取提供有效的方法。

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