謝鑫??，路翠華，李國林

（海軍航空工程學(xué)院7系，山東煙臺(tái)264001）

一種修正的矢量奇異值分解DOA估計(jì)算法?

謝鑫??，路翠華，李國林

（海軍航空工程學(xué)院7系，山東煙臺(tái)264001）

在均勻線性陣列模型下，特征矢量奇異值分解算法能夠?qū)ο喔尚盘?hào)進(jìn)行DOA估計(jì)，但相干和不相關(guān)信號(hào)同時(shí)存在時(shí)，算法的估計(jì)會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。針對(duì)這一問題，提出了一種修正算法（MESVD），該算法選取經(jīng)過加權(quán)處理的特征向量來構(gòu)造矩陣，并利用該矩陣進(jìn)行子空間估計(jì)。理論分析和數(shù)值仿真證明：修正后的算法能夠正確估計(jì)相干、相關(guān)和不相關(guān)信號(hào)，估計(jì)性能與空間平滑算法（FBSS）相當(dāng)。

DOA估計(jì)；相干信號(hào)；奇異值分解；不相關(guān)信號(hào)

??通訊作者：xxin1980＠163.com Corresponding author：xxin1980＠163.com

2 信號(hào)模型

考慮一個(gè)由N個(gè)全向陣元組成的均勻線性陣列，陣列間距為d，如圖1所示。

圖1 均勻線性陣列Fig.1 Uniform linear array

假設(shè)M個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)（M＜N）分別從θi（i＝1，2，…，M）方向入射到接收陣列，且入射波信號(hào)和噪聲不相關(guān)，以陣元1為參考陣元，則第k個(gè)陣元的輸出信號(hào)可表示為

其中，si（t）為第i個(gè)信號(hào)的復(fù)包絡(luò)，λi為其中心波長，nk（t）為第k個(gè)陣元中的零均值高斯加性白噪聲。則陣列的輸出信號(hào)矢量可表示為

其中：

為N×M維陣列流形矩陣，該矩陣的秩為M，a（θi）為對(duì)應(yīng)的方向向量，且有

為M個(gè)入射信號(hào)矢量。

為噪聲矩陣，其中ni（t）為第i個(gè)陣元中的零均值高斯加性白噪聲，方差為σ2，且滿足

式中，I表示N×N維單位陣，上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置，上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置。

3 奇異值分解算法［8］

基本的子空間類算法（如MUSIC）首先計(jì)算接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣

對(duì)RXX進(jìn)行分解可以分別得到由信號(hào)特征矢量張成的信號(hào)子空間和由噪聲特征矢量張成的噪聲子空間，且信號(hào)源完全不相關(guān)時(shí)，信號(hào)子空間的維數(shù)等于信號(hào)源數(shù)，信號(hào)特征矢量與陣列流形矢量張成同一個(gè)信號(hào)子空間。而當(dāng)信號(hào)源相干時(shí)，信號(hào)子空間的維數(shù)會(huì)減少。已證明［9］，此時(shí)的信號(hào)特征矢量與陣列流形之間仍然滿足一定的線性關(guān)系。

設(shè)信號(hào)協(xié)方差矩陣的秩為K（K≤M），若噪聲協(xié)方差矩陣RN為滿秩矩陣，則有如下線性關(guān)系滿足：

式中，1≤k≤K，ek為特征矢量，αk（n）為線性組合因子。

顯然，當(dāng)噪聲為理想白噪聲時(shí)，噪聲協(xié)方差矩陣RN＝σ2I，則式（10）可簡(jiǎn)化為

該矩陣可表示為如下形式：

其中：

矩陣A1和A2分別為M個(gè)信號(hào)組成的維數(shù)為m×M和p×M的陣列流形。

因此，Y一般是一個(gè)長方陣，而不是方陣，則可對(duì)Y進(jìn)行奇異值分解，可得

其中，Λ為一個(gè)由奇異值組成的m×p維矩陣，U為左奇異矩陣，V為右奇異矩陣。

則理想情況下矩陣Y的大奇異值個(gè)數(shù)為M，左奇異矩陣中小奇異值對(duì)應(yīng)的矢量張成的空間即為噪聲子空間，大奇異值對(duì)應(yīng)的矢量張成信號(hào)子空間，此時(shí)結(jié)合MUSIC，即可對(duì)入射信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)。

4 修正的ESVD算法

ESVD采用最大特征矢量構(gòu)造矩陣Y，這一矢量的選取在入射信號(hào)完全相干時(shí)無疑是最佳的，而當(dāng)入射信號(hào)中同時(shí)存在不相關(guān)和相干信號(hào)時(shí)，會(huì)存在幾個(gè)大特征矢量。由式（11）可知，每個(gè)大特征矢量都含有入射信號(hào)信息，但此時(shí)若選取其中最大特征矢量e1，其中包含的非相關(guān)信號(hào)的能量可能會(huì)減弱，在信噪比較低時(shí)，會(huì)造成對(duì)不相關(guān)信號(hào)的DOA估計(jì)失敗。

取陣元數(shù)為15，4個(gè)等功率信號(hào)分別從－20°、0°、12°、45°方向入射，其中12°方向信號(hào)與其他3個(gè)信號(hào)不相關(guān)，在10 dB信噪比條件下，采樣200次快拍，采用ESVD算法進(jìn)行DOA估計(jì)仿真，選取信號(hào)特征矢量矩陣的第1列構(gòu)造矩陣Y，同時(shí)圖中加入了FBSS算法作為對(duì)比，得到仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 ESVD算法DOA估計(jì)（選取信號(hào)特征矢量矩陣的第1列構(gòu)造矩陣Y）Fig.2 DOA estimation with ESVD（choose the 1st column of eigenvector to constructmatrix Y）

從圖中可以看出，ESVD算法能夠成功估計(jì)3個(gè)相干入射信號(hào)，估計(jì)性能略優(yōu)于FBSS，但是對(duì)于12°方向上的非相關(guān)入射信號(hào)卻產(chǎn)生了信號(hào)丟失；而此時(shí)信號(hào)協(xié)方差矩陣的大特征值不止1個(gè)，若換取信號(hào)特征矢量矩陣的第2列構(gòu)造矩陣Y，估計(jì)結(jié)果則如圖3所示。與前一仿真相反，此時(shí)僅正確估計(jì)出了12°方向的信號(hào)，這也恰好說明了不同的大特征矢量所包含的信號(hào)信息是不同的。

圖3 ESVD算法DOA估計(jì)（選取信號(hào)特征矢量矩陣的第2列構(gòu)造矩陣Y）Fig.3 DOA estimation with ESVD（choose the 2nd column of eigenvector to constructmatrix Y）

上面的分析和仿真給我們一個(gè)啟示：當(dāng)入射信號(hào)同時(shí)含有相關(guān)和非相關(guān)信號(hào)時(shí)，特征值分解得到的幾個(gè)大特征矢量所包含的入射信號(hào)信息各不相同，取其中某一個(gè)特征矢量進(jìn)行的ESVD算法都難以完成所有信號(hào)DOA估計(jì)。因此，需要對(duì)ESVD算法進(jìn)行修正，修正的ESVD算法（MESVD）選取所有大特征矢量之和esum來構(gòu)造矩陣Y，即：

顯然，esum同樣為陣列流形矢量的線性組合，且esum更全面地包含了所有入射信號(hào)的信息。以esum構(gòu)造矩陣Y時(shí)，

A1和A2不變，可見，矩陣Y的性質(zhì)不變，同樣可對(duì)其進(jìn)行奇異值分解并得到信號(hào)子空間和噪聲子空間。

采用與前一仿真中相同的條件，利用MESVD算法進(jìn)行DOA估計(jì)仿真計(jì)算，結(jié)果如圖4所示。從圖中可見，在入射信號(hào)同時(shí)包含相關(guān)和不相關(guān)信號(hào)時(shí)，修正的ESVD算法能夠準(zhǔn)確估計(jì)出所有入射信號(hào)的DOA，估計(jì)性能與FBSS相當(dāng)。

圖4 MESVD算法DOA估計(jì)Fig.4 DOA estimation with MESVD

5 結(jié)論

綜上所述，本文通過仿真分析和理論推導(dǎo)，對(duì)ESVD算法進(jìn)行了修正，修正后的算法解決了ESVD算法在相干信號(hào)和不相關(guān)信號(hào)同時(shí)存在時(shí)不能正確進(jìn)行DOA估計(jì)的問題。仿真結(jié)果表明，MESVD算法能夠?qū)崿F(xiàn)相干和相關(guān)信號(hào)的DOA估計(jì)，估計(jì)精度與FBSS相當(dāng)。因此，修正后的算法大大降低了ES-VD類算法的應(yīng)用條件，增強(qiáng)了算法的魯棒性，而且該算法的優(yōu)勢(shì)還在于能夠結(jié)合新興的多級(jí)維納濾波（MSWF）方法實(shí)現(xiàn)特征向量的快速估計(jì)，從而提高運(yùn)算速度。

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謝鑫（1980—），男，湖北隨州人，2010年獲博士學(xué)位，現(xiàn)為講師，主要研究方向?yàn)橐判盘?hào)處理；

XIE Xin was born in Suizhou，Hubei Province，in 1980.He received the Ph.D.degree in 2010.He is now a lecturer.His research concerns fuze signal processing.

Email：xxin1980＠163.com

路翠華（1978—），女，山東煙臺(tái)人，2011年獲博士學(xué)位，現(xiàn)為講師，主要研究方向?yàn)橐判盘?hào)處理；

LUCui-hua was born in Yantai，Shandong Province，in 1978. She received the Ph.D.degree in 2011.She is now a lecturer.Her research concerns fuze signal processing.

李國林（1955—），男，吉林永吉人，教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)殡娮訉?duì)抗、引信技術(shù)。

LIGuo-lin was born in Yongji，Jilin Province，in 1955.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research concerns EW，fuze technology.

A M odified ESVD Algorithm for DOA Estimation

XIE Xin，LU Cui-hua，LIGuo-lin
（The 7th Department，Naval Aeronautics and Astronautics University，Yantai264001，China）

The Extended Singular Value Decomposition（ESVD）algorithm can dealwith the coherent signals exactly in Uniform Linear Array（ULA），butwhen the coherent signals and the uncorrelated signals inject at the same time，the ESVD algorithm usually gives incorrect result.According to this problem，amodified algorithm（MESVD）is proposed，which uses aweighted eigenvector to constructamatrix for subspaces estimation.Analysis and simulations show that the MESVD algorithm can give right estimation without considering the relativity of signals and its estimation performance is corresponding to that of FBSSalgorithm.

DOA estimation；coherent signal；singular value decomposition；uncorrelated signal

TN911.7；TN97

A

1001－893X（2013）02－0162－04

10.3969/j.issn.1001－893x.2013.02.010

1 引言

2012－06－12；

2012－09－24 Received date：2012－06－12；Revised date：2012－09－24

到達(dá)角（DOA）估計(jì)是陣列信號(hào)處理研究的主要問題之一，在無線電通信、電子偵察等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。子空間類算法由于其超分辨能力而成為DOA估計(jì)算法的重要分支，但該類算法都不能直接對(duì)相關(guān)或者相干信號(hào)進(jìn)行有效估計(jì)，要利用此類算法，都需要預(yù)先進(jìn)行解相關(guān)處理。傳統(tǒng)的解相關(guān)處理一般是采用空間平滑技術(shù)，包括前后向平滑算法（FBSS）及其多種變形［1－3］，該類算法存在的問題在于需要先對(duì)接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣（記為RXX）進(jìn)行空間平滑處理以實(shí)現(xiàn)解相關(guān)，該處理增加了計(jì)算量，減小了陣列孔徑；特別是進(jìn)行空間平滑的子陣個(gè)數(shù)和相關(guān)入射信號(hào)的個(gè)數(shù)有關(guān)，而在大多數(shù)情況下，相關(guān)入射信號(hào)的個(gè)數(shù)是無法預(yù)知的，這就限制了空間平滑類算法的應(yīng)用。文獻(xiàn)［4］提出了一種基于RXX的迭代解相關(guān)算法，該算法能直接應(yīng)用于非均勻陣列和圓陣列，但運(yùn)算量較大。奇異值分解（ESVD）算法［5］能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)相干信號(hào)的DOA估計(jì)，且估計(jì)精度要優(yōu)于FBSS，但該算法對(duì)相關(guān)信號(hào)的DOA估計(jì)會(huì)出現(xiàn)較大偏差，同時(shí)，該算法需要進(jìn)行兩次特征值分解，運(yùn)算量較大，這在很大程度上限制了該算法的應(yīng)用。而隨著多級(jí)維納濾波（MSWF）［6－7］等快速子空間估計(jì)方法的研究進(jìn)展，ESVD算法的運(yùn)算量有望大大縮減，因此，本文針對(duì)相干信號(hào)與不相關(guān)信號(hào)同時(shí)存在的信號(hào)環(huán)境，對(duì)ESVD算法進(jìn)行修正，希望能夠擴(kuò)展其應(yīng)用范圍。