余金峰，楊文革，路偉濤，王金寶

（1.裝備學(xué)院光電裝備系，北京101416；2.洛陽(yáng)電子裝備試驗(yàn)中心，河南洛陽(yáng)471003）

滿(mǎn)映射Logistic數(shù)字混沌序列的產(chǎn)生及性能分析?

余金峰1，2，??，楊文革1，路偉濤1，王金寶1

（1.裝備學(xué)院光電裝備系，北京101416；2.洛陽(yáng)電子裝備試驗(yàn)中心，河南洛陽(yáng)471003）

Logistic映射形式簡(jiǎn)單，但表現(xiàn)出了復(fù)雜的動(dòng)態(tài)性能。以滿(mǎn)映射Logistic混沌序列為對(duì)象，討論了混沌序列數(shù)字化的兩種方法，推導(dǎo)了數(shù)字混沌序列比特位分布概率，計(jì)算了截短數(shù)字混沌序列的相關(guān)性能。結(jié)果表明，在不變分布偶對(duì)稱(chēng)的情況下，兩種方法得到的數(shù)字化混沌序列都是“0”“1”等概率的，截短序列的自相關(guān)函數(shù)旁瓣方差和互相關(guān)方差均等于序列長(zhǎng)度N的倒數(shù)。對(duì)數(shù)字化Logistic混沌序列進(jìn)行了數(shù)值仿真，所得結(jié)果與結(jié)論相吻合；仿真結(jié)果還顯示，自相關(guān)旁瓣和互相關(guān)均服從高斯分布。研究結(jié)果使得能夠從理論上對(duì)一類(lèi)數(shù)字混沌序列的特性進(jìn)行整體把握，超越了經(jīng)驗(yàn)性的結(jié)論，便于在有關(guān)系統(tǒng)中進(jìn)行應(yīng)用分析。

Logistic映射；混沌序列；數(shù)字化；擴(kuò)頻序列；相關(guān)特性

1 引言

在擴(kuò)頻通信領(lǐng)域，通常采用的擴(kuò)頻序列有m序列或Gold序列等偽隨機(jī)噪聲序列（PRN），它們是由多級(jí)移位寄存器或其他延遲元件通過(guò)線(xiàn)性反饋產(chǎn)生的。這些序列性能良好，滿(mǎn)足了一般擴(kuò)頻系統(tǒng)的需要。但在實(shí)用中也存在著一些不足，比如，序列的長(zhǎng)度不能任意選取，序列的數(shù)量有限，序列的復(fù)雜度不高等。

混沌現(xiàn)象是在非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中出現(xiàn)的確定性的、類(lèi)似隨機(jī)的過(guò)程，這種過(guò)程既非周期，又不收斂，并且對(duì)初始值有極其敏感的依賴(lài)性［1］。混沌信號(hào)的這種類(lèi)隨機(jī)特性十分適合于通信中的噪聲偽裝調(diào)制，并且通過(guò)混沌系統(tǒng)對(duì)初始值的依賴(lài)性，可以提供數(shù)量眾多、非相關(guān)、類(lèi)隨機(jī)而又確定可以再生的信號(hào)［2］。所以，隨著混沌理論研究的深入，人們希望它能夠成為產(chǎn)生擴(kuò)頻序列的新的來(lái)源。

目前，人們已經(jīng)大量研究了Logistic等多種非線(xiàn)性映射產(chǎn)生混沌擴(kuò)頻序列的方法，并對(duì)其統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了分析［2－10］。為了利用混沌序列良好的相關(guān)特性，Heidari-Bateni等人［2－3］提出了將混沌序列用作擴(kuò)頻序列的思想，并給出了用混沌實(shí)值序列構(gòu)建擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的方法，同時(shí)指出，數(shù)字化混沌序列同樣具有性能良好的相關(guān)特性?；煦缧蛄械臄?shù)字化方法除了二值量化法之外，文獻(xiàn)［4－6］中給出了多比特量化法，并將數(shù)字混沌序列用作擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的擴(kuò)頻序列。對(duì)截短數(shù)字混沌序列的相關(guān)特性，文獻(xiàn)［7－9］中給出了經(jīng)驗(yàn)性結(jié)論，是擬合得到的結(jié)果。對(duì)數(shù)字混沌序列相關(guān)特性缺少理論上的解析式結(jié)論，這對(duì)于混沌序列特性的整體把握以及有關(guān)應(yīng)用的理論分析是不利的。

本文以滿(mǎn)映射Logistic為對(duì)象，討論了二值量化法和多比特量化法兩種實(shí)現(xiàn)實(shí)值序列數(shù)字化的方法；對(duì)于不變分布具有對(duì)稱(chēng)性的混沌映射，對(duì)由其產(chǎn)生的數(shù)字混沌序列的比特位分布概率進(jìn)行了理論分析；推導(dǎo)了截短數(shù)字序列相關(guān)函數(shù)的均值和方差；并對(duì)有關(guān)結(jié)論進(jìn)行了數(shù)值仿真和驗(yàn)證。

2 Logistic映射

Logistic映射是實(shí)際系統(tǒng)中存在的最簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性差分方程，是一個(gè)被廣泛研究的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，能夠表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為。其映射方程為

研究表明，Logistic映射的動(dòng)態(tài)行為與分形參數(shù)r密切相關(guān)，隨著r的變化，Logistic映射可以呈現(xiàn)出周期性或混沌態(tài)。具體地講，當(dāng)0≤r≤3.569 945 6?rc時(shí)，序列{x}k呈現(xiàn)出周期為2m（m為正整數(shù)）的周期性；當(dāng)rc＜r≤4時(shí)，Logistic映射處于混沌狀態(tài)，此時(shí)由Logistic映射產(chǎn)生的序列{x}k非周期、不收斂、對(duì)初始值極其敏感。

r＝4時(shí)，Logistic映射的輸入值和輸出值都在（0，1）區(qū)間，稱(chēng)為滿(mǎn)映射。在這種情況下不用對(duì)映射的初始值進(jìn)行選擇（少數(shù)穩(wěn)定點(diǎn)除外）。因此，選擇分形參數(shù)r＝4時(shí)的Logistic映射進(jìn)行研究討論。

混沌具有類(lèi)隨機(jī)性，可以用概率統(tǒng)計(jì)方法定量分析混沌序列的特性。Schuster H.G［1］證明了式（2）所產(chǎn)生的混沌序列{xk：k＝0，1，2…}的不變測(cè)度函數(shù)為

ρ（x）不依賴(lài)于初始值x0，所以式（2）表達(dá)的系統(tǒng)具有遍歷性。

由不變測(cè)度函數(shù)，可以計(jì)算得到序列的如下數(shù)字特征［4］，即序列的均值ˉx和序列的自相關(guān)函數(shù)Rac（m）：

獨(dú)立選取兩個(gè)初始值x10以及x20，若迭代產(chǎn)生的兩條軌跡無(wú)位移重疊，則序列互相關(guān)為

以上性質(zhì)說(shuō)明，映射（2）生成的序列具有良好的相關(guān)性能。

3 實(shí)值混沌序列數(shù)字化的方法

用于擴(kuò)頻的混沌序列常用的有兩種形式，分別是實(shí)值序列和數(shù)字序列。實(shí)值序列就是把混沌映射的軌跡{xk：k＝0，1，2…}直接作為擴(kuò)頻序列。由于序列元素是（0，1）區(qū)間上的模擬量，不便于數(shù)字手段傳輸，所以，通常將實(shí)值序列進(jìn)行數(shù)字化，使之適合實(shí)現(xiàn)數(shù)字傳輸。將實(shí)值序列數(shù)字化的方法有兩種，分別是二值量化法和多比特量化法［6－7］。

二值量化法，就是將每一個(gè)實(shí)值序列元素xk進(jìn)行0、1二值量化，得到序列{ak：k＝0，1，2…}。對(duì)于r＝4的Logistic映射，均值為0.5，其二值量化規(guī)則為

二值量化法雖然實(shí)現(xiàn)了實(shí)值序列的數(shù)字化，但每個(gè)實(shí)值序列元素只能得到一個(gè)比特?cái)?shù)值。而多比特量化法則是對(duì)每一個(gè)實(shí)值序列元素進(jìn)行L位的二進(jìn)制量化，相對(duì)于二值量化，在得到相同長(zhǎng)度的數(shù)字序列時(shí)，迭代計(jì)算量要降低L倍。多比特量化的規(guī)則為如下。

把區(qū)間（0，1）上的小數(shù)x寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)表達(dá)形式：

取前L位表示x，舍棄后面的位，則

提取2－L，將上式變?yōu)?/p>

其中，X是一個(gè)由L位的二進(jìn)制數(shù)表示的整數(shù)，它與小數(shù)x之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以把X看作是對(duì)x進(jìn)行多比特量化的結(jié)果。把xk和xk＋1都寫(xiě)成如上的形式，代入映射公式（2），可得

這樣每迭代一次產(chǎn)生一個(gè)Xk，相應(yīng)地可得到L位二進(jìn)制比特。

4 數(shù)字混沌序列的隨機(jī)性分析

由分形參數(shù)為4時(shí)混沌序列的不變測(cè)度函數(shù)可知，ρ（x）關(guān)于x＝0.5偶對(duì)稱(chēng)：

根據(jù)這一特性，可以得到數(shù)字化序列元素的分布特性［5］。由上式可得

在L比特的任意位置i出現(xiàn)“0”的概率為

也就是，在多比特量化數(shù)字序列的任意位置上，出現(xiàn)“0”和“1”的概率相等。

所以，對(duì)于滿(mǎn)映射Logistic序列來(lái)說(shuō)，其不變測(cè)度在（0，1）區(qū)間上關(guān)于0.5偶對(duì)稱(chēng)，其數(shù)字化序列的任意位上出現(xiàn)“0”或“1”的概率相等，數(shù)字化后的混沌序列為隨機(jī)序列。事實(shí)上，如果映射的不變測(cè)度具有對(duì)稱(chēng)性，那么，將其對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行變換后，通過(guò)多比特量化方法所得到的數(shù)字序列，其任意位上同樣是“0”、“1”等概率的，可以看作隨機(jī)序列。

5 截短數(shù)字混沌序列的相關(guān)特性

混沌序列的非周期性是在理論上計(jì)算數(shù)值無(wú)限精度的情況下理想特性。而在實(shí)用中，由于計(jì)算精度總是有限的，映射的狀態(tài)數(shù)目就總是有限的，從這個(gè)意義上說(shuō)得到的序列必然呈現(xiàn)周期性。計(jì)算精度越高，序列的周期會(huì)越長(zhǎng)。當(dāng)計(jì)算精度較高、周期較長(zhǎng)時(shí)，可以把序列近似看作非周期的。

盡管混沌序列是非周期的，實(shí)用中多采用有限長(zhǎng)序列。把混沌信號(hào)作為一種序列的新來(lái)源，對(duì)混沌序列按照需要進(jìn)行截短，把截短的混沌序列作為擴(kuò)頻序列使用。截短的方法有兩種，一是對(duì)單個(gè)混沌序列按順序截取成段，二是用不同的初始值迭代出不同的序列。我們假設(shè)，無(wú)論哪種方法，截取出的序列都是長(zhǎng)度為N的序列。同時(shí)，序列的元素ai已由原來(lái)的“1”和“0”轉(zhuǎn)換成了“1”和“－1”。下面計(jì)算截短序列的特性與長(zhǎng)度N之間的關(guān)系［11］。

自相關(guān)函數(shù)為

序列的元素ai是“1”和“－1”等概率的，其均值為0。元素ai的取值與其他元素的取值沒(méi)有關(guān)系，所以各元素是獨(dú)立的。由此可計(jì)算自相關(guān)函數(shù)的均值為

則其自相關(guān)函數(shù)的均值和方差分別為

6 數(shù)值仿真與結(jié)論驗(yàn)證

前面得到了數(shù)字混沌序列自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)的均值和方差，下面進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。由于序列的不變測(cè)度與初始值無(wú)關(guān)，序列具有遍歷性，所以可以用時(shí)間相關(guān)代替統(tǒng)計(jì)相關(guān)。

取兩個(gè)初值分別為x01＝0.345和x02＝0.456，序列長(zhǎng)度N＝1 024。計(jì)算實(shí)值序列、二值量化序列和多比特量化序列的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)，并計(jì)算自相關(guān)旁瓣和互相關(guān)的均值和方差如表1所示。為突出序列長(zhǎng)度的作用，采用不作歸一化的相關(guān)函數(shù)?？梢钥闯觯韵嚓P(guān)旁瓣和互相關(guān)的均值接近于0，數(shù)字序列自相關(guān)旁瓣和互相關(guān)的方差約等于序列長(zhǎng)度N。

表1 自相關(guān)旁瓣和互相關(guān)的均值和方差Table 1 Themean and variance of correlations

將實(shí)值序列、二值量化序列和多比特量化序列的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)作圖，并對(duì)自相關(guān)函數(shù)旁瓣和互相關(guān)函數(shù)作直方圖，為進(jìn)行比較，同時(shí)給出了正態(tài)分布N（0，N）的概率密度曲線(xiàn)，見(jiàn)圖1～5?？梢钥闯?，3種序列的自相關(guān)函數(shù)都與沖激函數(shù)相似，自相關(guān)旁瓣和互相關(guān)與噪聲相似。

圖1 實(shí)值序列的相關(guān)函數(shù)Fig.1 The correlation of analog sequence

圖2 二值量化序列的相關(guān)函數(shù)Fig.2 The correlation of two-value quantified sequence

圖3 多比特量化序列的相關(guān)函數(shù)Fig.3 The correlation ofmulti-bitquantified sequence

圖4 二值量化序列相關(guān)函數(shù)分布特性Fig.4 The correlations distribution of two-valued quantified sequence

圖5 多比特量化序列相關(guān)函數(shù)分布特性Fig.5 The correlation distribution ofmulti-bit quantified sequence

由數(shù)字序列的相關(guān)函數(shù)的分布特性可以看出，自相關(guān)函數(shù)旁瓣和互相關(guān)函數(shù)與均值為0方差為N的高斯分布基本吻合。

為檢查自相關(guān)旁瓣和互相關(guān)函數(shù)的方差與序列長(zhǎng)度N之間的關(guān)系，取兩個(gè)初值分別為x01＝0.345和x02＝0.456，序列長(zhǎng)度N為256、512、1 024、2 048、4 096，計(jì)算二值量化序列和多比特量化序列的自相關(guān)旁瓣方差和互相關(guān)函數(shù)方差，結(jié)果如圖6所示。

圖6 序列自相關(guān)函數(shù)旁瓣和互相關(guān)方差隨N的變化Fig.6 The variation of correlation variance with sequence length N

可以看出，數(shù)字序列的自相關(guān)旁瓣方差和互相關(guān)函數(shù)方差約等于序列長(zhǎng)度N，與前文給出的理論計(jì)算結(jié)果相一致。

7結(jié)束語(yǔ)

利用混沌映射產(chǎn)生擴(kuò)頻序列，只需要確定性映射方程和映射初始值即可?；煦缬成淇梢蕴峁?shù)量眾多，非周期、復(fù)雜度高的序列，已成為產(chǎn)生擴(kuò)頻序列的新的途徑。對(duì)Logistic映射來(lái)說(shuō)，得到相同長(zhǎng)度序列時(shí)，多比特量化法比二值量化法需要更少的迭代運(yùn)算量。混沌映射的不變分布具有對(duì)稱(chēng)性（滿(mǎn)映射Logistic屬于此類(lèi)）時(shí)，兩種數(shù)字化方法得到的數(shù)字序列都是“0”、“1”分布等概率的。對(duì)數(shù)字混沌序列進(jìn)行截短利用時(shí)，自相關(guān)函數(shù)的均值為單位序列，互相關(guān)函數(shù)的均值為0；序列的自相關(guān)函數(shù)旁瓣方差和互相關(guān)函數(shù)方差約等于序列長(zhǎng)度N的倒數(shù)。數(shù)值仿真的結(jié)果與文中理論計(jì)算結(jié)果相吻合。數(shù)值仿真結(jié)果還表明，序列的自相關(guān)函數(shù)旁瓣和互相關(guān)函數(shù)服從均值為0方差為1/N的高斯分布。本文的結(jié)果使得能夠從理論上對(duì)一類(lèi)數(shù)字混沌序列的特性進(jìn)行整體把握，超越了經(jīng)驗(yàn)性的結(jié)論，便于在有關(guān)應(yīng)用中進(jìn)行理論分析，同時(shí)對(duì)于其他混沌映射同樣具有參考意義。

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余金峰（1969—），男，河南唐河人，2001年于國(guó)防科技大學(xué)獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向?yàn)楹教炱鳒y(cè)量與控制；

YU Jin-feng was born in Tanghe，Henan Province，in 1969.He received the M.S.degree from National University of Defense Technology in 2001.He is currently working toward the Ph.D. degree.His research interests include spacecraft TT＆C，spread spectrum system.

Email：yujinfeng2008＠sohu.com

楊文革（1966—），男，江西金溪人，2000年于北京理工大學(xué)獲博士學(xué)位，現(xiàn)為教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)楹教鞙y(cè)量與控制、雷達(dá)信號(hào)處理；

YANGWen-ge was born in Jinxi，Jiangxi Province，in 1966. He received the Ph.D.degree from Beijing Institute of Technology in 2000.He isnow a professor and also the Ph.D.supervisior.His research interests include TT＆C and radar signal processing.

路偉濤（1985—），男，河南西華人，2010年于裝備指揮技術(shù)學(xué)院獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向?yàn)楹教鞙y(cè)控、擴(kuò)頻技術(shù)；

LUWei-taowas born in Xihua，Henan Province，in 1985.He received theM.S.degree from Institute of Command and Equipment in 2010.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research interests include TT＆C，spread spectrum system.

王金寶（1980—），男，河北衡水人，2009年于裝備指揮技術(shù)學(xué)院獲得碩士學(xué)位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向?yàn)楹教鞙y(cè)控、擴(kuò)頻技術(shù)。

WANG Jin-bao was born in Hengshui，Hebei Province，in 1980.He received the M.S.degree from Institute of Command and Equipment in 2009.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research interests include TT＆C，spread spectrum system.

Generation and Performance Analysis of Digital Chaotic Sequence from Surjective Logistic-M ap

YU Jin-feng1，2，YANGWen-ge1，LUWei-tao1，WANG Jin-bao1
（1.Departmentof Optical and Electrical Equipment，Academy of Equipment，Beijing 101416，China；2.Luoyang Electronic Equipment Test Centre，Luoyang 471003，China）

Logistic-Map is a widely studied typical discrete time non-linear dynamic system.Based on the surjective Logistic-Map，this paper discusses twomethods to digitalize chaotic sequences，induces the statistical properties of the occurrence of“0”and“1”of the digital chaotic sequences，and investigates the correlation characteristicsof the cut-down sequences.The result shows：“0”and”1”have equal probabilities in digital chaotic sequences generated by both digitalization methods when amap has symmetrical invariant distribution；the variance of correlation equals to the reciprocal of sequence length N.The theoretical conclusions are verified by numerical simulations based on surjective Logistic-Map.The simulations result also shows the correlation obeys Gauss distribution.The theorical conclusions in this paper，rather than experiential formulars，are helpful to understand the correlation properties of digital chaotic sequences.

Logistic-Map；chaotic sequences；digitization；spread-spectrum sequences；correlation property

TN911；TN914.4

A

1001－893X（2013）02－0140－06

10.3969/j.issn.1001－893x.2013.02.006

2012－08－01；

2012－12－12 Received date：2012－08－01；Revised date：2012－12－12

??通訊作者：Email：lwteecspku＠126.com Corresponding author：Email：lwteecspku＠126.com