李佩玲，劉家保

（安徽新華學院 公共課教學部，安徽 合肥 230088）

1.引言

自考線性代數(shù)作為一門自學考試課程，旨在通過學生自學完成。但是由于線性代數(shù)是一門理科課程，專職老師對重點難點內容的指導往往能極大的提高學生的學習效率和自考成績。本文以線性代數(shù)（經(jīng)管類）課程為例，著重說明自考知識點的內在聯(lián)系以及考前沖刺的突破口。

2.考前沖刺突破口

（1）充分把握線性代數(shù)前后內容相關相聯(lián)系的部分。比如第五章特征值與特征向量的內容，對已知方陣特征值的求解要借助第一章行列式的計算，而對特征向量的求解要利用第四章線性方程組中怎樣解齊次線性方程組的方法。

解： A的特征方程為

λ1=0,λ2=5為A的兩個特征值。

對λ1=0，求解齊次線性方程組(0 E-A) X = 0 ，其增廣矩陣為得到方程組的一個基礎解系為則 1α為A的屬于的一個特征向量.

對λ2=5，同理可求解齊次線性方程組 (5 E-A) X=0的一個基礎解系為則為A的屬于的一個特征向量.

第三章中對向量組線性相關，線性無關，線性表出問題的討論，實際上可以利用解線性方程組的方法來解決。例如：

例2 問 β=(-1， 1， 5 )T能否表示成α1=(1， 2， 3 )T，α2= (0， 1， 4 )T，α3= (2， 3， 6 )T的線性組合？

解：設線性方程組為 x1α1+x2α2+x3α3=β，

對方程組的增廣矩陣作初等行變換：

則方程組有唯一解 x1=1,x2=2, x3=-1.

所以β可以唯一地表示成 α1,α2,α3的線性組合，且β=α1+2α2-α3.

例3 設向量組α1=(2,-1 ,7)T,α2=(1,4,11)T, α3= (3,- 6,3)T，試討論其線性相關性.

解：考慮方程組 x1α1+x2α2+x3α3=0

其系數(shù)矩陣

于是，秩 (A)= 2 ＜ 3，所以向量組線性相關，與方程組同解的方程組為

令x3=1，得一個非零解為 x1=-2,x2=1, x3=1則-2α1+α2+α3=0

在這兩道例題中對向量之間線性關系的討論全部歸結為對線性表出系數(shù)的求解過程，即討論方程組解的問題。

同時，某些不同的題目實際上考察的是同一個知識點。比如求解實對稱矩陣的正交相似標準形問題和用正交變換化二次型為標準形是同一個問題。例如2011年7月自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題：

求正交變換Y=PX，化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3為標準形.實際上和問題：求出的正交相似標準形是同一個問題。

（2）重視一些基本方法在解決問題中反復使用。比如行列式的計算問題，在利用克拉姆法則求解線性方程組，利用伴隨矩陣求逆矩陣，求解方陣特征值的問題中都要用到。線性代數(shù)中，矩陣是一個工具，解決向量組中向量的線性關系，或者利用增廣矩陣解線性方程組都要用到矩陣。而矩陣的初等行變換，在求矩陣的秩，求方陣的逆矩陣，確定向量之間的線性關系（比如找出向量組的極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表出），利用增廣矩陣求解線性方程組的問題中都要用到。例如：

例4 求出下列向量組的秩和一個極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表出：

解：把所有的行向量都轉置成列向量，構造一個4×5矩陣，再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣：

易見 B的秩為 4，A 的秩為 4，從而秩｛α1,α2,α3,α4,α5｝=4，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應地 α1,α2,α3,α5為向量組的一個極大無關組，而且 α4=-α2- α3.

（3）把復雜的問題歸結為簡單的問題來解決。比如行列式計算的一般方法，利用行列式的性質打零后按照某一行或某一列展開降階為低一階行列式進行計算，或者將行列式打零化為上三角行列式或者下三角行列式進行計算。

解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是 a12= 1，利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為0，然后按第二列展開：

填空題選擇題一般只有一個確定答案還可以考慮最簡單的情形。例如2012年7月份自考考題：

3.結論

由于線性代數(shù)課程前后內容相輔相承，融會貫通，如果在教學中能充分注意到這一點，對學生加以引導，并輔以適當例題，對提高學生學習效率，幫助學生深刻理解學科理論知識和提高自考成績都有很大的幫助。

[1]劉吉佑，徐誠浩.線性代數(shù)[M].武漢：武漢大學出版社，2006.

[2]袁泉.線性代數(shù)教學研究[J].當代教育理論與實踐，2012，（9）.

[3]趙樹嫄.線性代數(shù)[M].北京：中國人民大學出版社，2008.

[4]劉家保，錢金龍，陳中華，夏大紅.初等行變換在線性代數(shù)中的若干應用[J].湖北廣播電視大學學報，（12）.