王志偉，鄧志云，楊云蘇

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二階非線性動力方程有界解振動的充分必要條件

*王志偉，鄧志云，楊云蘇

（井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西，吉安 343009）

利用Lebesgue控制收斂定理，給出了二階非線性動力方程有界解振動的充分和必要條件。

二階動力方程；振動性；時標(biāo)

0 引言

隨著微分方程和差分方程的研究逐漸深入，人們發(fā)現(xiàn)微分方程的很多結(jié)果可以直接應(yīng)用到差分方程上去。但在某些結(jié)論上，他們又有著本質(zhì)的不同。這時人們把目光放在這個問題上，能不能找到一個新的東西，能夠?qū)⒍呓y(tǒng)一起來。1988年Stefan Hilger 首先提出了時標(biāo)的概念，它將連續(xù)分析和離散分析兩種理論統(tǒng)一起來。實(shí)際生活中有許多時標(biāo)的例子。例如，一年生植物的繁殖模型，假設(shè)該植物的數(shù)量在某一季節(jié)是連續(xù)的，而在冬季會全部死亡，但是他們的種子又會在新的季節(jié)生根發(fā)芽，成為不交叉的種群數(shù)量。泛函微分方程的振動性理論和差分方程的振動理論是方程定性理論的兩個重要分支，如文獻(xiàn)[2]-[7]，而時標(biāo)上動力方程作為方程的一個新領(lǐng)域，其振動性理論近年來更是引起國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，如文獻(xiàn)[8-10]，他們研究了幾類的動力方程的振動性問題。

本文討論二階非線性動力方程

在文中假設(shè)：

1 預(yù)備知識

定義1.1[1]設(shè)為實(shí)數(shù)集的任意非空閉子集，則稱為一時標(biāo)。例如實(shí)數(shù)集，整數(shù)集，自然數(shù)集都是時標(biāo)；但有理數(shù)集，無理數(shù)集，復(fù)數(shù)集，開區(qū)間(1，2)都不是時標(biāo)。

2 主要結(jié)果

則方程(0.1)是振動的。

由方程(0.1)及條件(4)有

將(2.5)代入(0.1)，得到

與假設(shè)條件(2.1)矛盾。證畢。

證明：充分性

必要性

則有

由數(shù)學(xué)歸納法知：對任意正整數(shù)，則有

3 例題

考慮二階非線性動力方程

從而得

利用定理2.2知，方程（3.1）的每一個有界解都是振動的。

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Necessary and Sufficient Conditions for Oscilation of Bounded Solutions of Second order Nonlinear Dynamic Equations

*WANG Zhi-wei，DENG Zhi-yun，YANG Yun-su

(School of Mathematics and physics jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China )

We mainly give necessary and sufficient conditions for oscilation of bounded solutions of second order nonlinear dynamic equations by Lebesgue’s Dominated Convergence Theorem.

second order dynamic equation; oscillation; time scales

1674-8085(2013)05-0009-04

0175.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.05.003

2013-04-08；

2013-05-21

*王志偉(1977-)，男，江西吉水人，講師，碩士，主要從事動力系統(tǒng)與穩(wěn)定性研究(E-mail:whzhwh_2003@126.com);

鄧志云(1975-)，男，江西吉水人，副教授，碩士，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究(E-mail:danzhiyun@163.com);

楊云蘇(1968-)，女，江西泰和人，副教授，碩士，主要從事泛函分析研究(E-mail:pengyou19820124@163.com).