萬 飛，杜先存

（紅河學院 教師教育學院，云南 蒙自 661199）

關于丟番圖方程x3±8=Dy2

萬 飛，杜先存

（紅河學院 教師教育學院，云南 蒙自 661199）

利用初等方法證明了：若D≡19(mod 24)為奇素數(shù)，則丟番圖方程x3+8=Dy2無gcd(x,y)=1的正整數(shù)解；若D≡1(mod 24)為奇素數(shù)，則丟番圖方程x3-8=Dy2無gcd(x,y)=1的正整數(shù)解．

丟番圖方程；奇素數(shù)；正整數(shù)解；同余式

方程

x3±8=Dy2(x,y∈N,D＞0，且無平方因子) (1)是一類重要的丟番圖方程，其整數(shù)解已有不少人研究過。1942年，Ljunggren[1]證明了方程(1)最多有一組正整數(shù)解。1981年柯召、孫琦[2]證明了D不能被3或6k+1形的素因子整除時，如果D≡0, 2, 3(mod 4)，則方程

僅有整數(shù)解

若D≡0, 1, 2(mod 4)，則方程

僅有整數(shù)解

1981年柯召、孫琦[2]證明了D不能被3或6k+1形的素因子整除時，如果D≡11, 19(mod 20)，則方程

無非平凡整數(shù)解；若D≡1, 9(mod 20)，則方程

無非平凡整數(shù)解。 1991年，曹玉書[3]給出了D含6k+1型素因子時方程(1)無非平凡整數(shù)解的一些充分條件。1992年，曹玉書、黃龍鉉[4]給出了D含6k+1型素因子時方程(1)無非平凡整數(shù)解的一些充分條件。2010年，韓云娜、趙春華[5]給出了D含6k+1型素因子時方程

無非平凡整數(shù)解的一些充分條件。2011年，李娜[6]給出了

并且D1不能被3或6k+1形的素因子整除，p是正奇素數(shù)時方程(1)無正整數(shù)解的一些充分條件。樂茂華[7]給出了方程

無gcd(x,y)=1的正整數(shù)解的一個充分條件；樂茂華[8]給出了方程

無gcd(x,y)=1的正整數(shù)解的一個充分條件。本文給出了D含6k+1型素因子時方程(1)無正整數(shù)解的充分條件。

定理1若D≡19(mod 24)為奇素數(shù)，則丟番圖方程

無gcd(x,y)=1的正整數(shù)解。

證明設(x,y)是方程(1a)的正整數(shù)解，則由

D為奇素數(shù)可知，(1a)可分解為如表1所示的4種可能的情形。

表1 D≡19(mod 24)為奇素數(shù)時方程(1a)可分解的4種可能情形

下面分別討論這4種情形下方程(1a)的解的情況。

對于情形I，由第二式可解得x=0或x=2，代入

均無正整數(shù)解。故在情形I下方程(1a)無滿足gcd(x,y)=1的正整數(shù)解。

對于情形II，由x+2=a2及x≡1(mod 2)知a為奇數(shù)，故a2≡1(mod8)，從而得

又D為奇素數(shù)，x≡1(mod 2)，則由第二式知b為奇數(shù)，故b2≡1(mod 8)，而D≡19(mod 24)，故D≡3(mod 8)，所以Db2≡3(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形II下方程(1a)無滿足gcd(x,y)=1的正整數(shù)解。

對于情形III，由D為奇素數(shù)及x≡1(mod 2)得a為奇數(shù)，則a2≡1(mod 8)，所以

又x≡1(mod 2)，則由第二式知b為奇數(shù)，故b2≡1(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形III下方程(1a)無滿足gcd(x,y)=1的正整數(shù)解。

對于情形IV，由

知a為奇數(shù)，故21(mod8) a≡ ，從而得

又D為奇素數(shù)，x≡1(mod 2)，則由第二式知b為奇數(shù)，故b2≡1(mod 8)，而D≡19(mod 24)，故D≡3(mod 8)，所以Db2≡3(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形IV下方程(1a)無滿足gcd(x,y)=1的正整數(shù)解。

綜上有，方程(1a)在題設條件下無滿足gcd(x,y)=1的正整數(shù)解。

定理2設D≡1(mod 24)為奇素數(shù)，則丟番圖方程

無gcd(x,y)=1的正整數(shù)解。

證明設(x,y)是方程(1b)的正整數(shù)解，則由

D為奇素數(shù)看知，(1b)可分解為如表2所示的4種可能的情形。

表2 D≡1(mod 24)為奇素數(shù)時方程(1b)可分解的4種可能情形

下面分別討論這4種情形下方程(1b)的解的情況。

由于gcd(x,y)=1，故x≡1(mod 2)，y≡1(mod 2)。

對于情形I，由x-2=u2及x≡1(mod 2)知u為奇數(shù)，故u2≡1(mod 8)，從而得

又D為奇素數(shù)，x≡1(mod 2)，則由第二式知v為奇數(shù)，故v2≡1(mod 8)，而D≡1(mod 24)，故D≡1(mod 8)，所以Dv2≡1(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形I下方程(1b)無滿足gcd(x,y)=1的正整數(shù)解。

對于情形II，由D≡1(mod 24)得D≡1(mod 8)，又x≡1(mod 2)，故u為奇數(shù)，則u2≡1(mod 8)，所以

又x≡1(mod 2)，則由第二式知v為奇數(shù)，故v2≡1(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形II下方程(1b)無滿足gcd(x,y)=1的正整數(shù)解。

對于情形III，由x-2=3u2及x≡1(mod 2)知u為奇數(shù)，故u2≡1(mod 8)，從而得

又D為奇素數(shù)，x≡1(mod 2)，則由第二式知v為奇數(shù)，故v2≡1(mod 8)，而D≡1(mod 24)，故D≡1(mod 8)，所以Dv2≡1(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形III下方程(1b)無滿足gcd(x,y)=1的正整數(shù)解。

對于情形IV，由D≡1(mod 24)得D≡1(mod 8)，又x≡1(mod 2)，故u為奇數(shù)，則u2≡1(mod 8)，所以

又x≡1(mod 2)，則由第二式知v為奇數(shù)，故v2≡1(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形IV下方程(1b)無滿足gcd(x,y)=1的正整數(shù)解。

綜上，方程(1b)在題設條件下無滿足gcd(x,y)=1的正整數(shù)解。

[1] Ljunggren W. Satze Uber unbestimmte Gleichungen, Skr[J]. Norske Vid. Akad. Oslo I, 1942(9)∶53.

[2] 柯召,孫琦.關于丟番圖方程x3±8=Dy2和x3±8= 3Dy2[J].四川大學學報(自然科學版),1981(4)∶ 1-5.

[3] 曹玉書.關于丟番圖方程x3±8=3Dy2[J].黑龍江大學學報(自然科學版),1991,8(4)∶18-21.

[4] 曹玉書,黃龍鉉.關于丟番圖方程x3±8=3Dy2[J].黑龍江大學學報(自然科學版),1992,9(2)∶3-5.

[5] 韓云娜,趙春華.關于Diophantine方程x3±8=3Dy2[J].四川理工學院學報(自然科學版),2010,23(2)∶156-157.

[6] 李娜.關于Diophantine方程x3±8=Dy2[J].四川理工學院學報(自然科學版),2011,24(5)∶593-595.

[7] 樂茂華.關于Diophantine方程x3+8=3py2[J].寧德師專學報,2004,16(4)∶347-349.

[8] 樂茂華.關于Diophantine方程x3-8=3py2[J].湛江師范學院學報,2004,25(3)∶5-6,9.

（責任編輯、校對：趙光峰）

On the Diophantine Equation x3±8=Dy2

WAN Fei, DU Xian-cun

(College of Teachers Education, Honghe University, Mengzi 661199, China)

Letting Dbe an odd prime of the form 6k+1, using the elementary method, we proved that the Diophantine equation x3+8=Dy2(x,y∈N)has no integer solutions with gcd(x,y)=1, where D≡19(mod 24). In addition, we also prove that the Diophantine equation x3-8=Dy2(x, y∈N)has no integer solutions with gcd(x,y)=1, where D≡1(mod 24).

Diophantine equation; odd prime; positive integer solution; congruence

O156

A

1009-9115(2013)05-0027-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2013.05.008

2013-04-25

萬飛（1969-），女，云南建水人，副教授，研究方向為數(shù)學教育及初等數(shù)論。