徐 鵑

（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004）

變系數(shù)（n + 1）-維KP方程的W ronskian和Grammian解

徐 鵑

（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004）

基于Hirota直接方法，將變系數(shù)（n + 1）-維KP方程化成Hirota雙線性形式，再借助W ronskian技巧和Pfaffian性質(zhì)，對(duì)該方程進(jìn)行求解，得到了其廣義的W ronskian解和Grammian解．

變系數(shù)（n + 1）-維KP方程；W ronskian解；Gramm ian解

求解非線性孤子方程的精確解一直是孤立子理論中非常重要的問(wèn)題．W ronskian技巧[1,2]是求非線性孤子方程解的有效方法，這種方法的主要思想是將解寫(xiě)成W ronskian行列式的形式，直接將N-孤子解代入方程進(jìn)行驗(yàn)證．Gramm ian解是孤子解的另一種行列式表示[3-8]．變系數(shù)非線性發(fā)展方程在淺水波、等離子體物理等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，例如，變系數(shù)的KP方程比常系數(shù)的KP方程能更好地描述流體力學(xué)模型．變系數(shù)方程比常系數(shù)方程更復(fù)雜、更難求解．本文主要研究變系數(shù)的（n + 1）-維KP方程：

其中s（t）,m（t）和hk（t）（k≥2）xx是關(guān)于t的任意函數(shù)．方程（1）是變系數(shù)（3 + 1）-維KP方程的推廣．

作變換u（x,xk,t）=12m（t）s-1（t）（ln f ），將方程（1）化為雙線性形式：

其中Hirota雙線性算子Dx, Dxk,Dt定義如下：

顯然（2）可以寫(xiě)成非線性偏微分方程進(jìn)而得到：

下面利用W ronskian技巧和Pfaffian性質(zhì)來(lái)求解變系數(shù)（n + 1）-維KP方程的W ronskian和Grammian解．

1 變系數(shù)（n + 1）-維KP方程的Wronskian解

結(jié)論1 雙線性方程（2）的N孤子解有如下W ronskian行列式表示：

證明：根據(jù)W ronskian行列式的性質(zhì)以及函數(shù)φ滿足的條件（5），容易得到f對(duì)變量的各階導(dǎo)數(shù)為：

將以上這些導(dǎo)數(shù)帶入方程（3）的左邊，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可以得到：

2 變系數(shù)（n + 1）-維KP方程的Gramm ian解

接下來(lái)介紹Pfaffian元素，定義如下：

根據(jù)上述定義，Pfaffian元素aij對(duì)變量x,xk,t的導(dǎo)數(shù)分別為：

如果記fN=（1,2,…,N,N*,…,2*,1*）=（·），那么可以得到fN對(duì)變量的各階導(dǎo)數(shù)為：

根據(jù)Pfaff的性質(zhì)和運(yùn)算法則，很容易得到下面恒等式：

將（15）式和恒等式（16）式代入雙線性方程的展開(kāi)式（3），經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到：

很明顯，（17）式是一個(gè)Jacobi恒等式，它的值為0．于是Gramm ian行列式fN是雙線性方程（2）的一個(gè)解．

3 結(jié)束語(yǔ)

在本文中，構(gòu)造了變系數(shù)（n + 1）-維KP方程的W ronskian和Grammian解，結(jié)果表明，方程（1）有豐富的Wronskian行列式解．當(dāng)然方程（1）還存在其它的更廣義的Grammian解，這也是筆者要繼續(xù)研究的內(nèi)容．

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Wronskian and Gramm ian Solutions to the （n + 1）-dimensional KP Equation w ith Variable Coefficients

XU Juan
（College of Mathematics, Physics and Information Engineering, Zhejiang Normal University, Jinhua, China 321004）

The paper explored the process of the generalized W ronskian and Gramm ian solutions. The steps mainly include：to change the variable-coefficient （n + 1）-dimensional KP equation to bilinear form based on Hirota method, and then to solve the equation w ith the help of Wronskin technique and Pfaffian properties.

Variable-coefficient （n + 1）-dimensional KP Equation；Wronskian Solution；Grammian Solution

O175.12

A

1674-3563（2013）01-0013-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2013.01.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

（編輯：王一芳）

2012-06-08

徐鵑（1989- ），女，浙江衢州人，碩士研究生，研究方向：系統(tǒng)理論