戰(zhàn)立曉 湯子躍 朱振波

（1.空軍預警學院研究生管理大隊，湖北 武漢430019；2.空軍預警學院空天基預警裝備系，湖北 武漢430019）

引 言

在全相參監(jiān)視雷達中，利用經典的傅里葉變換（Fourier Transform，FT）可以對常徑向速度目標進行有效檢測［1］.但隨著隱身技術和超音速高機動戰(zhàn)斗機的發(fā)展，以F22和F35為代表的第四代戰(zhàn)斗機的加速度可達幾倍甚至十幾倍的重力加速度.目標加速度導致監(jiān)視雷達回波在慢時間域為Chirp信號，其瞬時頻移在一個相參處理間隔（Coherent Processing Interval，CPI）內線性變化，多普勒頻譜嚴重擴展，使得基于傳統(tǒng)FT的雷達檢測方法性能急劇下降.

分數階傅里葉變換（Fractional Fourier Transform，FRFT）是傳統(tǒng)FT的擴展，它在Chirp信號檢測和參數估計方面有獨特的優(yōu)勢［2-7］.文獻［8-9］首先把FRFT用于機載合成孔徑雷達（Synthetic Aperture Radar，SAR）中的運動目標檢測.文獻［10］利用FRFT的Chirp-multiplication性質對多普勒域進行尺度變換，實現信號頻率與多普勒頻率的解耦合，獲得目標橫向像.文獻［11］利用FRFT進行距離壓縮，解決了高速運動目標距離壓縮中存在的色散問題，提高了逆合成孔徑雷達（Inverse Synthetic Aperture Radar，ISAR）成像質量.文獻［12］把 FRFT用于線性調頻連續(xù)波雷達中，實現了加速運動目標的檢測與參數估計.文獻［13-14］把FRFT用于線性調頻脈沖壓縮雷達，利用FRFT補償多普勒頻率徙動，但沒有進行目標參數估計.文獻［15］利用FRFT實現了低信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）條件下多普勒頻率變化率的估計，進而對輻射源進行無源定位和跟蹤.

論文將FRFT引入監(jiān)視雷達信號處理，提出了新的加速微弱目標檢測與參數估計方法.

1 監(jiān)視雷達加速微弱目標回波數學模型

1.1 加速微弱目標回波數學模型

假設監(jiān)視雷達發(fā)射Chirp脈沖，其數學表達式為

由式（1），發(fā)射的Chirp脈沖串信號可以表示為

式中：k為發(fā)射脈沖個數；Tr為脈沖重復周期，fr＝1/Tr為脈沖重復頻率；fc為載頻.

假設脈沖串照射到一個距離為R（t）的加速微弱運動目標上，接收回波信號記錄在兩維陣列s（t′，tk）上，其中t′＝t-kTr為“快時間”，tk＝kTr為“慢時間”.則下變頻后的基帶回波信號可以表示為

式中：A為常數，并取決于微弱目標的雷達散射截面（Radar Cross Section，RCS）；M 為一個CPI內的脈沖數，即T＝MTr對應一個CPI時間；波長λ＝c/fc，c為電磁波傳播速度；忽略變加速運動，目標距離R（tk）可近似為

式中：R0為雷達到目標的初始距離；v為目標的徑向速度；a為目標的徑向加速度.

式（3）中快時間t′對應的傅里葉變換為

式中f為快頻率；P（f）是p（t）的傅里葉變換，且有

對式（5）在快時間域進行匹配濾波，即距離脈壓，得

由式（7）可知距離包絡的峰值位置隨著R（tk）的不同而不同.在一個CPI內，若目標運動的距離超過半個距離分辨單元，則會發(fā)生距離徙動問題，其中距離分辨單元定義為

.2 不發(fā)生距離徙動限制條件

在一個CPI內，目標不發(fā)生距離徙動需滿足條件1

利用典型監(jiān)視雷達參數討論距離徙動問題.電磁波傳播速度c＝3×108m/s，脈沖時寬Tp＝100μs，脈沖帶寬B＝1MHz（即距離分辨單元ρr＝150m），脈沖重復頻率fr＝1 000Hz，把以上參數代入式（9）可得不同速度和加速度時不發(fā)生距離徙動的限制條件，如表1所示.其中目標速度單位為m/s，目標加速度單位為重力加速度g（取為10 m/s2）.由表1可知，在典型監(jiān)視雷達參數條件下，當目標速度為100m/s，目標加速度為1g時，最大相參積累脈沖數為723個；當目標速度為300m/s，目標加速度為3g時，最大相參積累脈沖數為246個.可見隨著速度和加速度的增大，最大相參積累脈沖數逐漸減少，且速度對最大相參積累脈沖數的影響占主要因素.

對于監(jiān)視雷達，若一個CPI內的脈沖數小于最大相參積累脈沖數，則在一個CPI內不發(fā)生距離徙動.圖1給出了fc＝3GHz，Tp＝100μs，B＝1 MHz，fr＝1 000Hz，v＝90m/s，a＝1g，M＝512條件下加速微弱目標回波距離脈壓后的二維等高線圖.圖中仿真參數滿足式（9）的限制條件，因此未發(fā)生距離徙動問題.

圖1 加速微弱目標回波距離脈壓后二維等高線圖

表1 不同速度和加速度時不發(fā)生距離徙動的限制條件

2 加速度的影響分析

2.1 加速度對目標多普勒譜的影響分析

若一個CPI內不發(fā)生距離徙動，式（7）可近似為

把式（4）代入式（10）得

由式（12）可知，加速微弱目標回波信號在慢時間域也為Chirp信號，且起始頻率為fd，線性調頻率為γa.

圖2 不同加速度時目標所在距離單元的多普勒譜

圖2給出了fc＝3GHz，fr＝1 000Hz，B＝1 MHz，v＝90m/s，M＝512條件下不同加速度時目標所在距離單元的多普勒頻譜，當加速度為零時，目標真實多普勒頻率fd＝1 800Hz，但由于fr較低，發(fā)生了多普勒模糊問題，真實多普勒頻率混疊到fa＝-200Hz處.由圖2可知：隨著加速度的增大，目標回波的多普勒頻譜展寬變得越來越嚴重，且回波幅度越來越低，嚴重影響了目標在雜波噪聲中的檢測性能.

2.2 加速度對SNR積累增益的影響分析

假設系統(tǒng)噪聲為零均值加性復高斯白噪聲，則雷達接收到的回波為目標信號加噪聲的形式.數字化處理后的第k個脈沖第n個距離單元的接收回波r（k，n）可以表示為

式中復高斯白噪聲n（k，n）的功率為N0.

對噪聲中微弱目標的檢測，最佳方法是通過相參處理來提高SNR增益，且SNR增益等于相參積累脈沖數M，理論上M越大，SNR增益越大.但由于目標加速度的影響，SNR增益值遠低于相參積累時的增益值.圖3給出了fc＝3GHz，fr＝1 000 Hz，B＝1MHz，v＝90m/s條件下不同加速度時SNR積累增益情況，當加速度為零時，SNR積累增益為M（相參積累增益）.隨著加速度的增大，SNR積累增益逐漸下降.當加速度一定時，隨著脈沖數的增加，積累增益趨于一穩(wěn)定值，此時即使再增加脈沖數，對積累增益的影響也可忽略.

圖3 不同加速度時的SNR積累增益

3 基于分數階傅里葉變換的目標檢測與參數估計

加速微弱目標使雷達回波在慢時間域為Chirp信號，而分數階傅里葉變換在Chirp信號檢測和參數估計方面有其獨特的優(yōu)勢.分數階傅里葉變換把Chirp信號在某個旋轉角度α上進行能量集聚，以此提高目標SNR.我們可以利用這一特性對加速微弱目標進行檢測和參數估計.

3.1 分數階傅里葉變換

Namias首先從數學的角度給出了FRFT的定義，Almeida分析了它和 Wigner-Ville分布（Wigner-Ville Distribution，WVD）的關系并將其解釋為時頻平面的旋轉算子，作為FT的一種廣義形式，信號的FRFT可以看成信號在時間軸上逆時針旋轉角度α到u軸上的表示，FRFT定義為

式中變換核Kp（t，u）為

且有

其中，p為分數階次.在討論FRFT時，由于旋轉角度α以2π為模，故只需要考慮位于的旋轉角度，即

圖4給出了Chirp信號的FT和FRFT示意圖.Chirp信號在時頻平面上呈斜刀刃狀，具有明顯的時頻耦合特性.Chirp信號的FT可以看作是其在頻率軸f上的投影，較寬的頻譜使得能量分散；而FRFT可以看作是在旋轉角度α后的u軸上的投影，合適的旋轉角度α可以使Chirp信號的能量高度集聚，產生一個很窄的積累峰值.FRFT的一大優(yōu)點是其為線性變換，因此，在時頻分析中不存在交叉項干擾問題.Ozaktas等提出了一種計算量與快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）相當的離散FRFT算法［16］，之后，FRFT越來越多的被用在信號處理領域.

圖4 Chirp信號的FT和FRFT示意圖

3.2 加速微弱目標回波的分數階傅里葉變換

把式（12）代入式（14）得

當fd＝-ucscα，γa＝cotα時，取最大值，且峰值幅度為

在計算加速微弱目標回波的FRFT時，采用離散FRFT法，首先利用文獻［17］中的離散尺度化法對量綱進行歸一化.加速微弱目標回波的慢時間域限定在區(qū)間［0，T］，而其頻域表示限定在區(qū)間［-fr/2，fr/2］.由于時域和頻域具有不同的量綱，為了FRFT計算處理方便，將時域和頻域分別轉換成量綱為1的域.引入一個具有時間量綱的尺度因子S，信號在新坐標系中被限定在區(qū)間［0，T/（2S）］和［-frS/2，frS/2］內.為使兩個區(qū)間的長度相等，即T/S＝frS，得S.又由于T＝MTr，故，新的區(qū)間長度

把新的區(qū)間長度代入式（19）可得加速微弱目標回波的離散FRFT為

圖5 無噪聲時加速微弱目標回波的FRFT

圖5給出了圖2中目標加速度為3g時回波信號的FRFT.其中縱坐標以積累脈沖數M＝512，分數階次p＝1.19時的FRFT的幅度做歸一化處理.分數階次p＝1即對應傅里葉變換譜.由圖可知，M越大時，FRFT的峰值幅度越大，驗證了式（20）的結論.

3.3 基于分數階傅里葉變換的目標檢測與參數估計

監(jiān)視雷達接收到的數據為兩維陣列，即脈沖維和距離維.基于FRFT的監(jiān)視雷達加速微弱目標檢測與參數估計的基本思想是對每一個距離單元的接收回波數據分別利用FRFT進行峰值點的搜索，以此實現加速微弱目標的檢測和參數估計.

具體方法是先對每一個距離單元的接收回波數據分別求p∈［0，2］內所有階次的FRFT，形成信號能量在由分數階次p和分數階域u組成的二維參數平面（p，u）上的二維分布，在此平面上進行峰值點的二維搜索，即可實現加速目標的檢測，同時估計出峰值所對應的分數階次0和分數階坐標0.

對于多個加速微弱目標存在的情況，仍可采用所提方法進行檢測與參數估計.因為雷達接收回波矩陣為脈沖維×距離維，所以，按照距離維方向依次對脈沖維數據求p∈［0，2］內所有階次的FRFT，并在每個距離單元對應的參數平面 （p，u）上進行峰值點的二維搜索，實現多目標的檢測與參數估計.對處于不同距離單元的加速微弱目標，會在不同的參數平面 （p，u）上形成峰值，且若多目標參數不同，則估計出峰值所對應的分數階次0和分數階坐標0亦不同.

在求p∈［0，2］內所有階次的FRFT時，先采用較大的步長進行粗搜索，判斷出分數階次p的大致范圍，然后在此范圍內改用較小的步長進行精搜索，估計出精度更高的分數階次0和分數階坐標0.

估計出的速度和加速度的值分別為

由于監(jiān)視雷達的脈沖重復頻率fr通常較低，因此常常導致信號在方位向上欠采樣，即出現多普勒模糊問題.當在方位向上欠采樣時，估計出的多普勒頻率為混疊的多普勒頻率，記為a0.真實多普勒頻率d0和a0的關系為

式中F為多普勒頻率折疊次數.

把式（27）變形得

3.4 所提方法運算量分析

在監(jiān)視雷達接收回波矩陣中，脈沖維長度為一個CPI內的脈沖數M，距離維長度為N，即共有N個距離單元.由文獻［16］可知，脈沖維離散FRFT的運算復雜度為O［Mlog2M］，因此所提方法的運算復雜度為O［NMlog2M］.

4 仿真實驗及分析

下面對基于FRFT的監(jiān)視雷達加速微弱目標檢測與參數估計性能進行仿真與分析.

4.1 加速微弱目標檢測性能仿真與分析

參數設置：電磁波傳播速度c＝3×108m/s，載頻fc＝3GHz，Chirp脈沖時寬Tp＝100μs，帶寬B＝1MHz，脈沖重復頻率fr＝1 000Hz，采樣頻率fs＝3MHz，噪聲為復高斯白噪聲.

圖6分別給出了v＝100m/s，a＝3g，分數階次步長Δp＝0.01，CPI脈沖數M＝512條件下，不同SNR（本文中SNR均指單個脈沖脈壓前SNR）時加速微弱目標回波信號的FRFT，其中粗搜索后確定的分數階次p的大致范圍為p∈ ［1，1.4］.從圖中可知，隨著SNR的降低，FRFT幅度的峰值點逐漸淹沒在噪聲中.

為了從統(tǒng)計意義上說明不同CPI長度、不同SNR對檢測性能的影響，圖7給出了不同CPI時加速微弱目標的檢測性能曲線.其中目標初始運動速度v＝100m/s，運動加速度為a＝30m/s2，分數階次步長Δp＝0.01，虛警概率Pfa＝10-6，Monte Carlo仿真次數為2 000次.由圖可知，隨著CPI內脈沖數的增加，加速微弱目標的檢測概率越來越高.在虛警概率Pfa＝10-6，檢測概率Pd＝0.5條件下，脈沖數M＝512時所需SNR比M＝256時所需SNR低大約4dB，脈沖數M＝256時所需SNR比M＝128時所需SNR低大約5dB.

圖7 不同CPI時加速微弱目標檢測性能曲線

4.2 加速微弱目標參數估計性能仿真與分析

參數設置：電磁波傳播速度c＝3×108m/s，載頻fc＝3GHz，Chirp脈沖時寬Tp＝100μs，帶寬B＝1MHz，脈沖重復頻率fr＝1 000Hz，采樣頻率fs＝3MHz，噪聲為復高斯白噪聲.

表2給出了v＝100m/s，a＝3g，分數階次步長Δp＝0.01，CPI脈沖數M＝512條件下，不同信噪比時加速微弱目標的參數估計情況.由表2可知，當SNR為-10dB、-20dB和-30dB時，由于目標峰值明顯高于噪聲，故其參數估計相同.

表3給出了v＝100m/s，a＝3g，M＝256，RSN＝-20dB條件下，不同分數階次步長Δp時加速微弱目標的參數估計情況，由表3可知，隨著步長Δp的減小，參數估計精度越來越高.

表4給出了v＝100m/s，a＝3g，Δp＝0.01，RSN＝-20dB條件下，不同CPI內脈沖數時加速微弱目標的參數估計情況，由表4可知，隨著脈沖數M的增加，參數估計精度越來越高.

表2 不同信噪比時加速微弱目標參數估計

表3 不同分數階次步長Δp時加速微弱目標參數估計

表4 不同CPI時加速微弱目標參數估計

5 結 論

常規(guī)監(jiān)視雷達對勻速目標回波進行脈沖壓縮和相參積累，可以達到很好的檢測性能，但對加速微弱目標存在回波多普勒譜擴展和信噪比不足的問題.論文所提方法將分數階傅里葉變換與現有監(jiān)視雷達信號處理技術相結合，提出了監(jiān)視雷達新的信號處理流程，可以解決多普勒譜擴展和信噪比不足的問題，有效提高監(jiān)視雷達對高速微弱目標的探測能力，而且該方法在完成目標檢測的同時可以實現加速目標的參數估計，大大提高了雷達信號處理的效率.離散分數階傅里葉變換的算法復雜度同快速傅里葉變換算法，所以論文所提方法具有運算速度快，便于工程實現的特點.

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