田 源 楊海霞

（河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，南京 210098）

斜拉橋是將斜拉索兩端分別錨固在塔和梁或其他載體上，形成塔、梁、索共同承載的結(jié)構(gòu)體系［1］.從1956年第一座斜拉橋－瑞典的Stromsund橋建成以來(lái)［2］，至今全世界已建成400多座斜拉橋，其中中國(guó)有100多座.近年來(lái)，斜拉橋因跨徑大、造型美成為橋梁工程中最具競(jìng)爭(zhēng)力橋梁之一.其中，斜拉索被稱(chēng)作是斜拉橋的生命線，可以通過(guò)調(diào)整索力來(lái)改善主梁和塔的受力，從而達(dá)到結(jié)構(gòu)受力、斜拉橋索力、線形等與設(shè)計(jì)理想狀態(tài)基本吻合的合理成橋狀態(tài)［3］.要達(dá)到斜拉橋的合理成橋狀態(tài)，首要問(wèn)題是確定其成橋索力.目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者就成橋索力優(yōu)化問(wèn)題，提出了多種切實(shí)可行的優(yōu)化方法.

1 成橋索力優(yōu)化理論

從Schmit用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法解決結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)算起，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)作為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科出現(xiàn)有40多年的歷史［4］.優(yōu)化設(shè)計(jì)概括起來(lái)主要包括兩方面內(nèi)容：一是將設(shè)計(jì)問(wèn)題的物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，二是采用適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法解答數(shù)學(xué)模型.雖然結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)在橋梁工程中起步較晚，但近些年，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，許多行之有效的橋梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法也相繼出現(xiàn).其中，對(duì)于高次超靜定結(jié)構(gòu)的斜拉橋，其索力的改變對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)力影響明顯，合理成橋狀態(tài)索力的研究成為斜拉橋設(shè)計(jì)的重點(diǎn)［5］.

斜拉橋索力優(yōu)化的概念可以通過(guò)索梁一次超靜定結(jié)構(gòu)［6］加以說(shuō)明，索梁結(jié)構(gòu)如圖1所示.

主梁彎矩方程

式中，F(xiàn)N為拉索索力，q為主梁自重集度，l為梁跨徑.如果拉索不張拉，考慮變形協(xié)調(diào)條件

圖1 索梁一次超靜定結(jié)構(gòu)

得到索力

圖2 索力優(yōu)化前主梁彎矩圖

為了優(yōu)化主梁受力，可選取主梁彎矩平方和為目標(biāo)函數(shù)

將式（3）和式（4）代入式（5），得到該目標(biāo)函數(shù)，取駐值即f＝0時(shí)的索力

圖3 索力優(yōu)化后主梁彎矩圖

斜拉橋索力優(yōu)化根據(jù)研究?jī)?nèi)容的不同可分為成橋索力優(yōu)化和施工索力優(yōu)化兩類(lèi)［7］.本文只針對(duì)合理成橋狀態(tài)索力優(yōu)化方法進(jìn)行總結(jié)和比較.從是否考慮其斜拉橋幾何非線性影響的角度，可將成橋索力確定方法分為兩大類(lèi).其中，忽略幾何非線性影響的優(yōu)化方法包括指定受力狀態(tài)法中的剛性支承連續(xù)梁法［8］、零位移法［8］和應(yīng)力平衡法［9］等，無(wú)約束索力優(yōu)化法中的彎矩平方和最小法［10］和彎曲能量最小法［11］等，有約束索力優(yōu)化法中的用索量最小法［12］等，還有較綜合的方法如影響矩陣法［13］.考慮幾何非線性影響的優(yōu)化方法有凝聚函數(shù)法［14］、一階分析法［15］、序列二次規(guī)劃法［16］等.

2 忽略幾何非線性影響的成橋索力優(yōu)化方法

斜拉橋成橋索力最先的確定方法都是從中小跨徑斜拉橋開(kāi)始的，從最初的剛性支承連續(xù)梁法到較為完備的影響矩陣方法，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種成橋索力優(yōu)化方法.

2.1 剛性支承連續(xù)梁法

剛性支承連續(xù)梁法是由德國(guó)著名橋梁專(zhuān)家F.Leonhardit提出，其基本原理是讓斜拉橋主梁的成橋恒載內(nèi)力狀態(tài)達(dá)到剛性支承連續(xù)梁的受力狀態(tài)［17］.具體計(jì)算思路：將斜拉橋提供的彈性豎向支承視為剛性豎向支承，以斜拉橋主梁在恒載作用下彎矩呈剛性支承連續(xù)梁狀態(tài)為優(yōu)化目標(biāo)，求出各支點(diǎn)反力，再利用斜拉橋豎向分力與剛性支點(diǎn)反力相等得優(yōu)化索力.因力學(xué)原理簡(jiǎn)單、目標(biāo)函數(shù)只涉及主梁，剛性支承連續(xù)梁法是最早使用的、最直觀的合理成橋狀態(tài)分析方法.又因成橋狀態(tài)接近“穩(wěn)定張拉力”，可減小混凝土徐變對(duì)成橋內(nèi)力的影響，但未顧及索和塔的內(nèi)力和位移狀態(tài)，得出的索力可能過(guò)于不均勻，對(duì)主跨與邊跨不平衡結(jié)構(gòu)［18］、密索體系等會(huì)得出不夠合理的恒載索力狀態(tài).

在剛性支承連續(xù)梁法的基礎(chǔ)上，人們提出了其他指定受力狀態(tài)或位移狀態(tài)的優(yōu)化方法［19］.如零位移法，以結(jié)構(gòu)在恒載作用下索梁交接處位移為零為目標(biāo)函數(shù).此方法對(duì)于支架一次落架的斜拉橋，因考慮索的水平分力的影響，能得到比剛性支承連續(xù)梁法更合理的結(jié)果.然而，就懸拼與現(xiàn)澆結(jié)構(gòu)而言，零位移法無(wú)意義.對(duì)于不對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)因很難考慮索塔的彎矩，零位移法并不是行之有效的方法［20］.后來(lái)提出的內(nèi)力平衡法［21］，因綜合考慮了恒載和活載的共同作用，受力狀態(tài)更合理，解決了主梁彎矩局部不合理問(wèn)題，但仍會(huì)產(chǎn)生索力不均勻問(wèn)題.

2.2 彎曲能量最小法

無(wú)約束索力優(yōu)化方法中最常用的是最小彎曲能量法［22］.其計(jì)算原理是通過(guò)取斜拉橋塔、墩和主梁的彎曲應(yīng)變能最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)來(lái)求得恒載下的合理成橋索力值［23］.在具體應(yīng)用時(shí)，讓索塔梁的軸向剛度取最大，梁和塔的的彎曲剛度不變，把全部荷載加在結(jié)構(gòu)上，所得內(nèi)力狀態(tài)即為所求.該法綜合考慮了主梁、塔、墩的受力狀態(tài)，使整個(gè)斜拉橋內(nèi)力在最大程度上均勻分布，所以求出的結(jié)果彎矩較小，索力也較均勻，但部分邊索可能索力過(guò)小.此外，彎矩能量最小法只可考慮恒載作用，無(wú)法將活載和預(yù)應(yīng)力影響考慮在內(nèi)，需與其他索力優(yōu)化方法結(jié)合才能得到更精確的索力優(yōu)化結(jié)果.與最小彎曲能量法原理一致的是彎矩平方和最小法，其目標(biāo)函數(shù)取結(jié)構(gòu)（梁、塔、墩）彎矩平方和.彎曲能量最小法與彎矩平方和最小法相比，前者可以反映抗彎剛度對(duì)彎矩的權(quán)效應(yīng).

2.3 用索量最小法

用索量最小法是有約束索力優(yōu)化方法中的一種，以斜拉橋的拉索用量（張拉力×索長(zhǎng)）為性能指標(biāo)函數(shù)，以主要截面內(nèi)力、位移限制為約束條件來(lái)優(yōu)化索力.由于該法的目標(biāo)函數(shù)是斜拉橋受力的次要目標(biāo)，所以對(duì)約束條件的要求相對(duì)較高.此法可考慮恒活載的共同作用，但僅以拉索量為目標(biāo)函數(shù)不盡合理，合理約束方程的確定需考慮多方面因素.

有約束索力優(yōu)化方法還包括最大偏差最小法［24］，一種以可行域中參量與期望值偏差為目標(biāo)函數(shù)，如以斜拉橋梁和塔的最大應(yīng)力最小為目標(biāo)對(duì)索力進(jìn)行優(yōu)化.這種目標(biāo)函數(shù)下得到的梁和塔應(yīng)力分布均勻且最小，又因該法針對(duì)應(yīng)力，結(jié)果比較直觀，但目標(biāo)函數(shù)不能顯式表達(dá)，對(duì)優(yōu)化方法有一定要求.

2.4 影響矩陣法

影響矩陣法綜合了指定受力狀態(tài)優(yōu)化法、無(wú)約束優(yōu)化法和有約束優(yōu)化法3類(lèi)優(yōu)化方法，是較為完備的索力優(yōu)化理論［25］.該法取斜拉橋關(guān)心截面的內(nèi)力、應(yīng)力、位移為受調(diào)向量｛D｝，斜拉索索力為施調(diào)向量｛X｝，通過(guò)影響矩陣［C］建立受調(diào)向量與施調(diào)向量的關(guān)系，將索力優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程

同濟(jì)大學(xué)的肖汝誠(chéng)給出了整個(gè)結(jié)構(gòu)彎曲能量最小時(shí)最優(yōu)索力與彎曲影響矩陣的關(guān)系［13］，并指出方程中各個(gè)變量在不同情況下的意義，同時(shí)導(dǎo)出恒、活載共同作用下的索力優(yōu)化情形［26］.因?yàn)橛绊懢仃嚪ㄓ?jì)入了各種因素的影響，不以單一目標(biāo)來(lái)表示，所以優(yōu)化結(jié)果更加合理.但是僅僅采用影響矩陣法，難以綜合考慮恒活載共同作用下梁、塔和索受力要求的受調(diào)向量.

3 計(jì)入幾何非線性影響的成橋索力優(yōu)化方法

隨著蘇通大橋以及香港Stonecutters大橋的建設(shè)，斜拉橋的跨徑記錄突破了1 000m.隨著斜拉橋的跨度不斷增大，其成橋索力優(yōu)化設(shè)計(jì)有必要考慮其幾何非線性的影響［27］.究竟多大跨徑的斜拉橋才需考慮幾何非線性，沒(méi)有明確的界定，一般根據(jù)橋梁結(jié)構(gòu)的整體剛度而定，對(duì)于整體剛度較柔的鋼斜拉橋和結(jié)合梁斜拉橋跨徑較大時(shí)需考慮幾何非線性.就混凝土斜拉橋而言，跨徑大于200m或剛度較柔時(shí)應(yīng)計(jì)入非線性影響［8］.由于大位移、梁柱效應(yīng)、斜拉索垂度等非線性因素［28］的影響，其目標(biāo)函數(shù)和約束條件很難用索力的顯式形式表達(dá)，屬于非線性規(guī)劃范疇.此時(shí)，可采用的索力優(yōu)化方法有凝聚函數(shù)法、一階分析法、序列二次規(guī)劃法等.

3.1 凝聚函數(shù)法

凝聚函數(shù)法是一種求解非線性極大極小值的有效方法［29］.Templeman［30］、李興斯等學(xué)者利用最大熵［31］原理，通過(guò)加權(quán)求和法導(dǎo)出一個(gè)可微函數(shù)，即為凝聚函數(shù).相關(guān)文獻(xiàn)也分別對(duì)凝聚函數(shù)法進(jìn)行收斂性分析［32］及穩(wěn)定性分析［33］.將此算法借用于斜拉橋索力優(yōu)化中時(shí)，以不變形預(yù)張力［24］為基礎(chǔ)，將斜拉橋合理成橋狀態(tài)索力確定問(wèn)題歸結(jié)于一個(gè)多目標(biāo)、多約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，再借用改進(jìn)的基于熵原理凝聚函數(shù)法將多個(gè)目標(biāo)、多個(gè)約束分別等價(jià)成一個(gè)光滑可微的目標(biāo)和約束函數(shù).

在此基礎(chǔ)上，采用乘子懲罰函數(shù)法［4］進(jìn)行求解，將有約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，再采用變尺度法［4］進(jìn)行求解.凝聚函數(shù)法避免了傳統(tǒng)方法求解規(guī)模大，收斂速度慢的缺點(diǎn)，但需結(jié)合其他優(yōu)化算法如乘子懲罰函數(shù)法、變尺度法等，計(jì)算步驟比較復(fù)雜.

3.2 一階分析法

在優(yōu)化過(guò)程中，需使用目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù)因而稱(chēng)為一階分析法［35］.其基本原理是以斜拉橋主梁和索塔的彎曲應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)，以各斜拉索的索力為設(shè)計(jì)變量，結(jié)構(gòu)應(yīng)力和索力約束條件為狀態(tài)變量，形成有約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題.也可通過(guò)目標(biāo)函數(shù)添加罰函數(shù)，將有約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題.該算法在每次迭代中，需選擇合適的搜索方向以及找到沿搜索方向合適的步長(zhǎng).搜索方向可由最速下降法或共軛方向法［4］確定，步長(zhǎng)可通過(guò)黃金分割法［4］和最小二乘法［36］來(lái)確定.因?yàn)橐浑A分析法是基于目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的敏感程度，所以更能得到精確的優(yōu)化分析結(jié)果.該法適用于因變量很大，設(shè)計(jì)空間也相對(duì)較大，在大型有限元計(jì)算軟件ANSYS中有較好的運(yùn)用［37］.但該法在每次迭代過(guò)程中還有子迭代，如搜索方法以及梯度計(jì)算，使得一次優(yōu)化迭代有多次分析循環(huán)，導(dǎo)致計(jì)算速度稍慢.

3.3 序列二次規(guī)劃法

序列二次規(guī)劃法是20世紀(jì)80～90年代發(fā)展起來(lái)的一種全局收斂且快速收斂的優(yōu)化方法，該法是把非線性規(guī)劃化為一系列二次規(guī)劃來(lái)求解［4］.近幾年，簡(jiǎn)金寶又提出了適當(dāng)條件下超線性和二次收斂的強(qiáng)次可行序列二次規(guī)劃法［38］.該法通過(guò)建立索力優(yōu)化的非線性規(guī)劃模型，以斜拉橋主梁和索塔的彎曲應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)，以各斜拉索的索力為設(shè)計(jì)變量，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和索力為約束條件，采用強(qiáng)次可行序列二次規(guī)劃法進(jìn)行優(yōu)化求解，確定斜拉橋合理成橋狀態(tài)的索力.強(qiáng)次可行序列二次規(guī)劃法計(jì)算量小，具有全局收斂性、強(qiáng)收斂性、超線性、二次收斂性的優(yōu)點(diǎn).并且該算法的初始點(diǎn)可任取，無(wú)需使用某種函數(shù)作線性搜索，這樣需要的計(jì)算次數(shù)有限，同時(shí)可考慮結(jié)構(gòu)的非線性影響，可計(jì)入斜拉橋調(diào)索過(guò)程中對(duì)索力、應(yīng)力、彎矩等不同性態(tài)的約束，適用于多單元、多工況、多設(shè)計(jì)變量斜拉橋合理成橋狀態(tài)確定問(wèn)題.當(dāng)然，序列二次規(guī)劃法對(duì)算法設(shè)計(jì)、程序編制要求很高.

4 多種成橋索力優(yōu)化方法比較

從斜拉橋這種橋型出現(xiàn)起，成橋索力優(yōu)化方法的確定一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者反復(fù)研究的課題.到現(xiàn)在為止，已出現(xiàn)了多種方法.方法的多樣性，一方面說(shuō)明了人們對(duì)斜拉橋的認(rèn)識(shí)比較深刻，比較全面；另一方面也說(shuō)明了每一種方法都有其適用范圍，還沒(méi)能找到解決斜拉橋成橋索力優(yōu)化問(wèn)題的一種統(tǒng)一方法.現(xiàn)對(duì)合理成橋索力優(yōu)化問(wèn)題的相關(guān)分析方法進(jìn)行優(yōu)缺點(diǎn)、適用情況總結(jié)，結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 合理成橋狀態(tài)索力優(yōu)化方法比較分析

由表1可見(jiàn)，對(duì)于不需考慮幾何非線性影響的斜拉橋結(jié)構(gòu)，可采用剛性支承連續(xù)梁法、彎曲能量最小法及影響矩陣法等.當(dāng)斜拉橋活載內(nèi)力占截面總內(nèi)力15%～25%時(shí)［39］，需同時(shí)考慮活載作用，此時(shí)可采用內(nèi)力平衡法、用索量最小法等.對(duì)于邊跨與主跨不對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)不宜采用零位移法.當(dāng)設(shè)計(jì)對(duì)象為大跨度斜拉橋時(shí)，幾何非線性作用明顯，則需采用凝聚函數(shù)法、一階分析法及序列二次規(guī)劃法等.

5 成橋索力優(yōu)化方法的發(fā)展方向

確定斜拉橋合理成橋狀態(tài)索力的方法多種多樣，就每一種方法而言，總存在一些不足，如彎曲能量法只能計(jì)算恒載作用下的，影響矩陣法只能采用線性疊加等.因此，各種綜合方法也不斷出現(xiàn).唐密、左德中［40］采用最小彎曲能量法初定成橋狀態(tài)，再用力平衡法確定主梁的彎矩可行域，使指定受力狀態(tài)法與無(wú)約束優(yōu)化方法得到很好的結(jié)合.楊俊［39］將主梁視作剛性支承連續(xù)梁，并引入索力對(duì)主梁彎矩的影響矩陣，將影響矩陣法做了一定改進(jìn).張文獻(xiàn)等［41］增加主梁合理彎矩可行域的約束條件，以彎曲能量最小法計(jì)算，在假定主梁彎矩基本不變的前提下，用影響矩陣法調(diào)勻，有效地將3種優(yōu)化方法綜合，避免了各種單一方法的缺點(diǎn)，利用了各自的優(yōu)點(diǎn).謝支鋼、趙擁軍［42］先根據(jù)零位移法初定索力，再考慮恒活載的共同作用的應(yīng)力平衡法確定主梁彎矩的合理恒載可行域.當(dāng)然也有一些新穎方便的優(yōu)化方法出現(xiàn).吳軼雄［43］借用了拱橋設(shè)計(jì)的假載法，取準(zhǔn)永久活載值的某系數(shù)值作為假載作用于結(jié)構(gòu)，一般取車(chē)輛荷載滿布且均布于全橋，以恒荷載和假載共同作用下的梁彎曲應(yīng)變能最小為優(yōu)化目標(biāo).郭鐘群等［6］采用了可行域法對(duì)斜拉橋索力進(jìn)行調(diào)整并用Matlab進(jìn)行編程計(jì)算.陳素君等［44］提出在索力常規(guī)迭代法的基礎(chǔ)上，從迭代初值的選取和迭代加速的超松弛法兩方面加速迭代的初始平衡構(gòu)型確定法.李文［45］將虛擬溫度迭代法引入斜拉橋空間模型中，并考慮幾何非線性的影響進(jìn)行調(diào)索計(jì)算.

綜上所述，根據(jù)斜拉橋的跨徑、結(jié)構(gòu)形式、設(shè)計(jì)要求、計(jì)算精度要求等的不同，已經(jīng)形成了多種斜拉橋成橋索力優(yōu)化實(shí)用方法.指定受力或位移狀態(tài)的索力優(yōu)化法中的內(nèi)力平衡法最適合應(yīng)用于上下對(duì)稱(chēng)截面的結(jié)構(gòu)中，充分發(fā)揮材料的性能，還可考慮恒活載的共同作用；無(wú)約束優(yōu)化方法中的彎曲能量最小法可以很好地解決不需要考慮活載作用的斜拉橋索力優(yōu)化問(wèn)題，求得的彎矩較小，索力較均勻；有約束優(yōu)化方法中的用索量最小法適用于恒活載作用下梁和塔的內(nèi)力和位移較易表達(dá)的情況；影響矩陣法可應(yīng)用于幾何非線性影響不明顯的斜拉橋索力優(yōu)化問(wèn)題中，計(jì)入各種因素影響，不以單一目標(biāo)表示；凝聚函數(shù)法、一階分析法及序列二次規(guī)劃法，可應(yīng)用于幾何非線性明顯的大跨度斜拉橋成橋索力優(yōu)化中，能適應(yīng)大設(shè)計(jì)空間計(jì)算.其中，一階分析法還在大型有限元軟件ANSYS中有所體現(xiàn)［46］，凝聚函數(shù)法及序列二次規(guī)劃法可借助相關(guān)軟件進(jìn)行編程計(jì)算.對(duì)于具體的斜拉橋成橋索力，可以選擇合適的解決方案，必要時(shí)還可將上述方法適當(dāng)結(jié)合，采用綜合法.也可考慮假載法、虛擬溫度迭代法等較易實(shí)現(xiàn)的方法.

雖然現(xiàn)已具有多種斜拉橋成橋索力優(yōu)化方法，但還未找到一種能考慮多種因素、有較大適用范圍的統(tǒng)一方法.今后的研究工作主要有兩方面：其一，在滿足斜拉橋索力均勻分布、主梁彎矩控制在可行域內(nèi)、主塔彎矩不能太大、適當(dāng)考慮活載等設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，能找到斜拉橋設(shè)計(jì)中所關(guān)心的更有效的可調(diào)目標(biāo).其二，隨著斜拉橋跨徑的增大，其幾何非線性也影響著調(diào)索結(jié)果，需結(jié)合大型商業(yè)軟件ANSYS、MIDAS等對(duì)計(jì)算模型進(jìn)行更精確的模擬以及采用編程軟件Matlab、FORTRAN等編寫(xiě)更有效的優(yōu)化算法.

6 結(jié) 語(yǔ)

本文從是否計(jì)入幾何非線性影響兩方面介紹了斜拉橋成橋索力優(yōu)化采用的基本方法，并對(duì)各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)及適用情況進(jìn)行了較為系統(tǒng)的評(píng)論，總結(jié)了一些綜合索力優(yōu)化方法及特殊優(yōu)化方法.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論的研究不斷深入以及斜拉橋成橋索力優(yōu)化方法的不斷探索，會(huì)形成計(jì)算精度更高、計(jì)算速度更快、運(yùn)用范圍更廣的合理成橋狀態(tài)優(yōu)化方法，從而進(jìn)一步滿足斜拉橋設(shè)計(jì)要求及工程實(shí)際需要，達(dá)到橋梁設(shè)計(jì)安全、經(jīng)濟(jì)、美觀的目標(biāo).

［1］ JTG／T D65－01－2007.公路斜拉橋設(shè)計(jì)細(xì)則［S］.北京：人民交通出版社，2007.

［2］ 林元培.斜拉橋［M］.北京：人民交通出版社，2004：1－4.

［3］ 項(xiàng)海帆.高等橋梁結(jié)構(gòu)理論［M］.北京：人民交通出版社，2001.

［4］ 任旭華.現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)方法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2009：26－103.

［5］ Zhang T，Wu Z.Dead Load Analysis of Cable－Stayed Bridge［C］／／International Conference on Intelligent Building and Management［J］.Singapore，2011，5：270－274.

［6］ 郭鐘群，謝志華，趙 奎，等.基于可行域法的斜拉橋索力優(yōu)化［J］.江西理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，33（3）：10－13.

［7］ 王永安，劉世同，譚紅梅，等.斜拉橋索力優(yōu)化理論研究［J］.公路，2006（05）：31－34.

［8］ 劉士林，王似舜.斜拉橋設(shè)計(jì)［M］.北京：人民交通出版社，2006：89－94.

［9］ 顏東煌，李學(xué)文，劉光棟，等.用應(yīng)力平衡法確定斜拉橋主梁的合理成橋狀態(tài)［J］.中國(guó)公路學(xué)報(bào)，2000，13（3）：49－52.

［10］范立礎(chǔ)，杜國(guó)華，馬健中.斜拉橋索力優(yōu)化及非線性理想倒退分析［J］.重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào)，1992，11（1）：1－12.

［11］杜國(guó)華，姜 林.斜拉橋的合理索力及其施工張拉力［J］.橋梁建設(shè)，1989（3）：11－17.

［12］陸 楸，徐有光.斜拉橋最優(yōu)索力的探討［J］.中國(guó)公路學(xué)報(bào)，1990，3（1）：38－48.

［13］肖汝誠(chéng)，項(xiàng)海帆.斜拉橋索力優(yōu)化的影響矩陣法［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，26（3）：235－240.

［14］杜蓬娟，張 哲，譚素杰.斜拉橋合理成橋狀態(tài)索力確定的優(yōu)化方法［J］.公路交通科技，2005，22（7）：82－85.

［15］張建民，肖汝誠(chéng).斜拉橋合理成橋狀態(tài)確定的一階分析法［J］.力學(xué)季刊，2004，25（2）：297－303.

［16］陶 海，沈祥福.斜拉橋索力優(yōu)化的強(qiáng)次可行序列二次規(guī)劃法［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2006，38（3）：381－384.

［17］Edward B.Basic Influence Line Equations for Continuous Beams and Rigid Frames［J］.Journal of Structural Engineering，2000，5（2）：132－139.

［18］Lee T Y，Kim Y H，Kang S W.Optimization of Tensioning Strategy for Asymmetric Cable－stayed Bridge and its Effect on Construction Process［J］.Structural and Multidisciplinary Optimization，2008，35（6）：623－629.

［19］Chen D W，Au F T K，Tham L G，et al.Determination of Initial Cable Forces in Prestressed Concrete Cable－stayed Bridges for Given Design Deck Profiles Using the Force Equilibrium Method［J］.Computer ＆Structures，2000，74（1）：1－9.

［20］Wang P，Tseng T，Yang C.Initial shape of cable－stayed bridges［J］.Computers ＆Structures，1993，47（1）：111－123.

［21］陳德偉，范立礎(chǔ).確定預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋恒載初始索力的方法［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，26（2）：120－124.

［22］Janjic D，Pircher M，Pircher H.Optimization of Cable Tensioning in Cable－Stayed Bridges［J］.Journal of Bridge Engineering，2003，8（3）：131－137.

［23］Sung Y－C，Chang D－W，Teo E－H.Optimum post－tensioning cable forces of Mau－Lo Hsi cable－stayed bridge［J］.Engineering Structures，2006，28（10）：1407－1417.

［24］Toril K，Ikeda K.Study of the Optimum design Method for Cable－stayed Bridge［J］.International conference on Cable－stayed Bridge，1987：1128－1139.

［25］張峻峰，丁志威，羅學(xué)成.基于影響矩陣法的斜拉橋成橋索力優(yōu)化［J］.交通科技，2011，246（3）：4－6.

［26］肖汝誠(chéng)，項(xiàng)海帆.斜拉橋索力優(yōu)化及其工程應(yīng)用［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，1998，15（1）：118－126.

［27］Hassan I A，Hegab.Parametric Investigation of Cable－Stayed Bridge［J］.Journal of Structure Eng，1998，114（8）：784－792.

［28］Ren W X.Ultimate Behavior Of Long－Span Cable－Stayed Bridges［J］.Journal of Bridge Engineering，1999，4（1）：30－37.

［29］李興斯.解非線性極大極小問(wèn)題的凝聚函數(shù)法［J］.計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其應(yīng)用，1991，8（1）：85－92.

［30］Andrew B T，Li X.A Maximum Entropy Approach to Constrained Nonlinear Programming［J］.Engineering Optimization，1987，12（3）：191－205.

［31］宋協(xié)武，王海軍.約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的區(qū)間極大熵方法［J］.徐州工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，20（1）：69－72.

［32］唐煥文，張立衛(wèi).凸規(guī)劃的極大熵方法［J］.科學(xué)通報(bào)，1994，39（8）：682－684.

［33］張玉忠，周廣路，王長(zhǎng)鈺.非線性規(guī)劃中凝聚函數(shù)法的穩(wěn)定性［J］.運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào)，1997，1（1）：54－58.

［34］鐘萬(wàn)勰，劉元芳，紀(jì) 崢.斜拉橋施工中的張拉控制和索力調(diào)整［J］.土木工程學(xué)報(bào)，1992，25（3）：10－15.

［35］趙 秋，邢 昕，翟慧娜.基于一階優(yōu)化方法的鋼－混凝土組合索塔錨固區(qū)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)［J］.石家莊大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，23（4）：26－31.

［36］Zhang H，R.Com A，Scheinberg K.A Derivative－Free Algorithm for Least－Squares Minimization［J］.Society for Industrial and Applied Mathematics，2010，20（6）：3555－3576.

［37］Zhang T，Bai H F.Analysis of Cable－Stayed Bridge for APDL－Based Optimization［J］.Advanced Materials Research，SAS IP，Inc，2011，243－249：1567－1572.

［38］簡(jiǎn)金寶，張可村.不等式約束最優(yōu)化的一個(gè)具有強(qiáng)收斂性的強(qiáng)次可行方向法［J］.西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，33（8）：88－92.

［39］楊 俊.基于影響矩陣的大跨橋梁合理成橋狀態(tài)與施工控制研究［D］.武漢：武漢理工大學(xué)，2008：54－55.

［40］唐 密，左德中.綜合法初定斜拉橋合理成橋狀態(tài)［J］.交通科技，2010（2）：30－32.

［41］張文獻(xiàn)，劉旭光，李東煒，歐丹.斜拉橋成橋及施工階段的索力優(yōu)化［J］.東北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，30（8）：1201－1204.

［42］謝支鋼，趙擁軍.基于“零位移法＋應(yīng)力平衡法”確定疊合梁斜拉橋的合理成橋索力［J］.中國(guó)市政工程，2012（2）：36－41.

［43］吳軼雄.獨(dú)塔單索面斜拉橋索力優(yōu)化研究［D］.大連：大連海事大學(xué)，2010：21.

［44］陳素君，張國(guó)剛，唐盛華，等.斜拉橋初始平衡構(gòu)形的確定方法［J］.公路交通科技，2011，28（2）：58－69.

［45］李 文.虛擬溫度迭代法在斜拉橋調(diào)索計(jì)算中的應(yīng)用［J］.廣東公路交通，2012，121（2）：31－34.

［46］Zhang J，Zhong J，He L，et al.An Improved Method of Structural Optimization Based on ANSYS［C］／／2010 Second International Conference on Computer Modeling and Simulation.Ieee，2010：300－306.