鮑俊艷，高春霞，葛志英

（1.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002；2.河北大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，河北 保定 071002；3.河北工程大學(xué) 理學(xué)院，河北 邯鄲 056038）

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，在生物、物理及工程應(yīng)用等技術(shù)領(lǐng)域出現(xiàn)了具有脈沖影響的非線性微分系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.這種數(shù)學(xué)模型描述的是在某個(gè)時(shí)刻狀態(tài)會突然發(fā)生改變的動力過程，因此脈沖微分方程更具有一般性和應(yīng)用性，吸引了國內(nèi)外很多學(xué)者從事脈沖微分方程的研究工作，并得到了很多脈沖微分方程解的穩(wěn)定性及存在性結(jié)果［1－10］.

另外，近年來集值微分方程的理論得到了快速發(fā)展.Wang等學(xué)者在文獻(xiàn)［11－14］中得到了集值微分系統(tǒng)解的存在性結(jié)果.Bhaskar及其他學(xué)者得到了集值微分系統(tǒng)解的穩(wěn)定性結(jié)果［15－19］.然而，Bao在文獻(xiàn)［15］中利用Lyapunov直接方法得到的嚴(yán)格穩(wěn)定性結(jié)果在實(shí)際應(yīng)用中有一定的困難，因?yàn)長yapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定號性條件要求較強(qiáng).本文采用Lyapunov函數(shù)和比較原理，在較弱的條件下得到了脈沖交互集值微分系統(tǒng)的嚴(yán)格穩(wěn)定性，發(fā)展了文獻(xiàn)［15］中的方法，并克服了其在應(yīng)用中存在的困難.

1 預(yù)備知識

2 比較原理

［1］LAKSHMIKANTHAM V，LIU X Z.Stability criteria for impulsive differential equations in terms of two measures［J］.J Math Anal Appl，1989，137：591－604.

［2］SHEN Jihai.Razumikhin techniques in impulsive functional differential equations［J］.Nonlinear Anal，1999，36：119－130.

［3］WANG Peiguang，LIAN Hairong.Stability in terms of two measures of impulsive integro－differential equations via variation of the Lyapunov method［J］.Appl Math Comput，2006，177：387－395.

［4］WANG Peiguang，LIU Xia.φ0－Stability of hybrid impulsive dynamic systems on time scales［J］.J Math Anal Appl，2007，334：1220－1231.

［5］AHMAD B，SIVASUNDARAM S.Dynamics and stability of impulsive hybrid setvalued integro－differential equations with delay［J］.Nonlinear Anal，2006，65：2082－2093.

［6］AHMAD B，SIVASUNDARAM S.Existence results and monotone iterative technique for impulsive hybrid functional differential systems with anticipation and retardation［J］.Appl Math Comput，2008，197：515－524.

［7］ZHANG Yu，SUN Jitao.Strict stability of impulsive functional differential equations［J］.J Math Anal Appl，2005，301：237－248.

［8］LAKSHMIKANTHAM V，LEELA S.Differential and integral inequalities［M］.New York：New York Academic Press.1969.

［9］LAKSHMIKANTHAM V，MOHAPATRA R N.Strict stability of differential equations［J］.Nonlinear Anal，2001，46：915－921.

［10］LIU Kaien，YANG Guowei.Strict stability criteria for impulsive functional differential systems［J］.J Ineq Appl，2008，Aricle ID 243863：1－8.

［11］GALANIS G N，BHASKAR T G，LAKSHMIKANTHAM V，et al.Set valued functions in Frechet spaces：continuity，Hukuhara differentiability and applications to set differential equations［J］.Nonlinear Anal，2005，61：559－575.

［12］WANG Peiguang，GAO Wei.Quasilinearization of an initial value problem for a set valued integro－differential equation［J］.Compu Math Appl，2011，61：2111－2115.

［13］AHMAD B，SIVASUNDARAM S.The monotone iterative technique for impulsive hybrid set valued integro－differential equations［J］.Nonlinear Anal，2006，65：2260－2276.

［14］王培光，高瑋.一階集值微分方程初值問題擬線性化方法［J］.河北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，31（1）：1－6.

WANG Peiguang，GAO Wei.Quasilinearization of an initial value problem for set differential equations［J］.Hebei University：Natural Science Edition，2011，31（1）：1－6.

［15］BAO Junyan，ZHOU Caili，GAO Chunxia.Strict stability of impulsive set valued differential equations［J］.Anna Diff Equa，2011，27（2）：127－131.

［16］PHU N，QUANG L T，TUNG T T.Stability criteria for set control differential equations［J］.Nonlinear Anal，2008，69：3715－3721.

［17］TU N N，TUNG T T.Stability of set differential equations and applications［J］.Nonlinear Anal，2009，71：1526－1533.

［18］BHASKAR T G，DEVI J V.Stability criteria for set differential equations［J］.Math Cop Model，2005，41：1371－1378.

［19］BHASKAR T G，DEVI J V.Set differential systems and vector Lyapunov functions［J］.Appl Math Comput，2005，165：539－548.