宋保維，董華超，王鵬

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安710072)

0 引言

傳統(tǒng)的水下航行器(AUV)外形鰭舵設(shè)計，通常將設(shè)計變量當(dāng)成確定性變量來處理[1]，然而在AUV的設(shè)計和制造中，會出現(xiàn)人為主觀的不確定性誤差以及制造加工時的客觀不確定性誤差，這些誤差，將導(dǎo)致整個系統(tǒng)存在隨機(jī)性，必定影響AUV 的航行品質(zhì)。因此本文對AUV 全動舵設(shè)計的不確定性進(jìn)行動態(tài)分析具有重要意義。文獻(xiàn)[2 －3]提出以攝動法為基礎(chǔ)的可靠度靈敏度計算方法，只能在極限狀態(tài)函數(shù)為顯式函數(shù)的前提下，在隨機(jī)變量均值點一階展開，忽略了一階以上項，精確度不足。文獻(xiàn)[4－5]提出以二階響應(yīng)面方法構(gòu)造隱式極限狀態(tài)函數(shù)的方法，響應(yīng)面函數(shù)包含二次項、交叉項，提高了精度，但只在初始設(shè)計點處進(jìn)行了可靠度靈敏度分析，沒有進(jìn)一步在可行域內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu)。本文將不確定性引入AUV 全動舵設(shè)計中，構(gòu)造二階響應(yīng)面，以定量的概率反應(yīng)各類隨機(jī)誤差對AUV 穩(wěn)定度可靠性的影響程度，并進(jìn)一步在可行域內(nèi)對AUV 全動舵進(jìn)行可靠性優(yōu)化，在保證AUV 航行品質(zhì)的同時使得設(shè)計結(jié)果更加可靠，對水下航行器全動舵設(shè)計具有重要意義。

1 響應(yīng)面法

響應(yīng)面法[6－7]在化工，農(nóng)業(yè)，機(jī)械工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，本質(zhì)上說響應(yīng)面法是一套統(tǒng)計方法。響應(yīng)面方法的基本思想是通過近似構(gòu)造一個具有明確表達(dá)形式的多項式來表達(dá)隱式功能函數(shù)，用這種方法來尋找考慮了輸入變量值的變異或不確定性之后的最佳響應(yīng)值。二次多項式響應(yīng)面可以表示為

式中:G 是響應(yīng)值;L =(L1，L2，L3……LNR)是輸入量;a0、ai、aij是待定系數(shù);NR 是設(shè)計變量個數(shù)。

響應(yīng)面法包括試驗設(shè)計[8]和回歸分析兩部分內(nèi)容。二階響應(yīng)面設(shè)計有很多采樣方法，本文采用中心復(fù)合(CCD)試驗設(shè)計方法。CCD 法包括1 個中心點，2n 個軸線點和位于n 維超立方體定點的2n－f個分割點，其中f 為分割系數(shù)。圖1 為由3 個隨機(jī)輸入變量的樣本點位置示意圖。

圖1 中心復(fù)合設(shè)計樣本點位置Fig.1 The position of sample points by center complex design

根據(jù)(1)式利用最小二乘法，對得到的N 個樣本值(g1，g2，g3，…，gN)進(jìn)行回歸分析。通過數(shù)值計算求得各系數(shù)值。最后得到近似響應(yīng)面函數(shù)。

2 可靠性靈敏度分析

Gmax為穩(wěn)定度最大極限值，則極限狀態(tài)函數(shù)

式中:Y(L)≥0 認(rèn)為是滿意狀態(tài);Y(L)＜0 認(rèn)為是不符合指標(biāo)的狀態(tài)。已知各隨機(jī)變量相互獨立，均值為μ =[μ1，μ2，…，μN(yùn)R]，方差為D=[D1，D2，…，DNR].

極限狀態(tài)函數(shù)和方差可求出

可靠性指標(biāo)為

若Y(L)服從正態(tài)分布，可靠度為

式中，Φ(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

對可靠度求靈敏度為

3 可靠性優(yōu)化設(shè)計

基于可靠性思想的優(yōu)化設(shè)計能夠合理的處理各種不確定性信息，對設(shè)計變量隨機(jī)性所造成的影響能夠做定量的分析。參數(shù)的不確定性以可靠度或失效概率來約束是不確定性外形設(shè)計的的合理途徑之一。

可靠性優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型有兩種[9]，第一種是使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最理想值時，要求他的約束可靠度大于某一規(guī)定值，第二種是要求原目標(biāo)滿足一定約束的條件下使其約束可靠度最大。通常第一種模型更為實用。其優(yōu)化模型為

式中:P(gi(x)≤0)≥Paccept相當(dāng)于求解一個優(yōu)化子問題，在可靠性優(yōu)化中所占用時間最長。

通過可靠性靈敏度分析，得到各設(shè)計變量的靈敏度后，將靈敏度較小的設(shè)計變量當(dāng)作確定性變量處理，使可靠性優(yōu)化的尋優(yōu)迭代次數(shù)大大減少，在保證結(jié)果可靠的同時提高了優(yōu)化設(shè)計效率。

4 AUV 的全動舵優(yōu)化設(shè)計

4.1 AUV 的全動舵設(shè)計建模

AUV 是低速水下航行器，外形由主體和4 個“十”字型全動舵組成，對機(jī)動性要求不高，但對航行器穩(wěn)定度有較高的要求。因此將AUV 縱平面穩(wěn)定度Gy作為響應(yīng)值，表達(dá)式如下:

式中:μ 為AUV 的相對密度;Cxs為以最大橫截面積S 為特征面積的阻力系數(shù);分別為升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)對攻角的位置導(dǎo)數(shù)分別為升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)對角速度ω 的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)。

(14)式中的流體動力參數(shù)，是首先通過UG 三維建模，然后將幾何模型導(dǎo)入icem 進(jìn)行網(wǎng)格劃分，最后在fluent 中不同攻角和z 方向角速度情況下得到阻力系數(shù)，升力系數(shù)，俯仰力矩系，并對升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)關(guān)于攻角和角速度進(jìn)行線性擬合求出位置導(dǎo)數(shù)和旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)

圖2 水平全動舵平面參數(shù)示意圖Fig.2 Plan of horizontal All－movable audder with parameters

設(shè)主體尺寸已知，將水平全動舵的4 個參數(shù)aa1、Lh1、Lh2、Lh3作為設(shè)計變量如圖2 所示。

4.2 AUV 全動舵設(shè)計響應(yīng)面構(gòu)造

4 個設(shè)計變量aa1、Lh1、Lh2、Lh3直接影響整個AUV 的縱穩(wěn)定度，在AUV 設(shè)計制造過程中由于主客觀不確定性因素勢必導(dǎo)致設(shè)計變量存在誤差，這里將4 個設(shè)計變量的均值方差給定如表1 所示。

表1 設(shè)計變量列表Tab.1 The List of design variables

利用CCD 試驗設(shè)計方法，取4 個因子、5 個水平，在初始設(shè)計點附近區(qū)域進(jìn)行25 次采樣計算，實驗結(jié)果如表2 所示。

表2 中心復(fù)合法各樣本點及樣本值Tab.2 The sample points by center complex design and response values

續(xù)表2

4.3 AUV 全動舵設(shè)計可靠性靈敏度分析

蒙特卡洛仿真圖如下:由圖3 看出頻率分布服從正態(tài)分布;圖4 可看出累積頻率近似為一條直線可知服從正態(tài)分布。

已知AUV 穩(wěn)定度指標(biāo)為0.9，由(2)式可知狀態(tài)函數(shù)為:Y(L)=－0.9.

圖3 的頻率圖Fig.3 Frequency Diagram for

圖4 的累積頻率點圖Fig.4 Cumulative frequency for

經(jīng)計算得到極限狀態(tài)函數(shù)的均值和方差:μY(L)=0.002 3，DY(L)=9.350 9e－7.

由(10)式知可靠度指標(biāo)為β=2.378 5.

圖5 設(shè)計變量對 的影響程度Fig.5 The influence of design variable to

根據(jù)(12)式用R 分別對μ、D 求導(dǎo)得到如下結(jié)果:

影響Gy程度越大的參數(shù)同樣也會對R 有較大影響，以上得到的可靠度靈敏度分析數(shù)據(jù)和圖5 基本吻合，說明本文計算可靠度靈敏度方法具有可行性。

4.4 AUV 全動舵可靠性優(yōu)化

考慮兩個狀態(tài)極限函數(shù)

式中:Af為一塊全動舵的面積;ε 是一小量設(shè)定為0.000 2.將狀態(tài)極限函數(shù)作為可靠性約束，并考慮設(shè)計變量的可行域，根據(jù)(13)式得到如下優(yōu)化表達(dá)式:

式中:Ri和Rj為希望達(dá)到的可靠度，取為0.95，同時各尺寸參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差均為0.000 07.由(15)式可知對參數(shù)Lh1、Lh2的均值及方差的可靠度靈敏度非常低，因此Lh1、Lh2將作為確定性量，進(jìn)行可靠性優(yōu)化結(jié)果如表3.

表3 三次優(yōu)化的最優(yōu)設(shè)計結(jié)果對比Tab.3 The comparison of three optimal resualts

優(yōu)化完成后，在最有點處進(jìn)行仿真分析得到各流體動力參數(shù):Cxs為0.126，為3.44，為絕對值為0.617，計算得到Gy為差值較小，說明響應(yīng)面精度基本滿足。

結(jié)果表明，確定性優(yōu)化使穩(wěn)定度達(dá)到最大，但是沒有滿足面積可靠度大于0.95 的要求，結(jié)果不可靠;可靠性優(yōu)化的穩(wěn)定度比確定性最優(yōu)值小，但是面積Af可靠度十分理想滿足設(shè)計者愿望，缺點是迭代次數(shù)過多，效率低;通過前面的可靠度靈敏度分析，將Lh1、Lh2當(dāng)成確定性變量，其他變量為隨機(jī)變量進(jìn)行可靠性優(yōu)化，得到結(jié)果與全隨機(jī)變量可靠性優(yōu)化相近，且迭代效率提高了30%，結(jié)果滿意。

5 結(jié)論

通過對AUV 穩(wěn)定度極限狀態(tài)函數(shù)構(gòu)造二階響應(yīng)面，利用公式推導(dǎo)求得各參數(shù)均值和方差的可靠度靈敏度，可知參數(shù)aa1和參數(shù)Lh3的均值對航行器縱平面穩(wěn)定裕度可靠度影響較大，Lh1、Lh2參數(shù)影響較小;提出將靈敏度較小的參數(shù)Lh1、Lh2當(dāng)成確定性量進(jìn)行可靠性優(yōu)化，與確定性優(yōu)化結(jié)果相比更可靠，令設(shè)計者滿意;與全為隨機(jī)變量的優(yōu)化結(jié)果相比，十分接近，同時提高了30%的優(yōu)化效率。

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