崔琳，李亞安，房媛媛，白曉娟

(1.西北工業(yè)大學 航海學院，陜西 西安710072;2.西安工程大學 電子信息學院，陜西 西安710048)

0 引言

波束形成是陣列信號處理的重要組成部分，它在雷達、聲納以及無線通信等領域得到了廣泛應用。隨著優(yōu)化算法的發(fā)展，最優(yōu)波束形成能夠根據接收數(shù)據不斷更新加權向量，使波束形成器具有較好的方位分辨力和較強的干擾抑制能力，但當存在任意信號陣列響應誤差和小訓練樣本數(shù)的情況下，自適應波束形成的性能將會明顯下降。因此近年來出現(xiàn)了大量的方法來提高自適應波束形成的魯棒性[1－2]。而對角加載[3](DL)就是其中一種較為流行的增強自適應波束形成魯棒性的方法。

在20 世紀90 年代初由Vapnik 等提出的支持向量機(SVM)是一種基于結構風險最小化原理的算法，它不僅可以處理雷達，遙感等方面的分類問題[4]，而且也還可以應用在信號處理方面，例如波束形成，波達角方向估計，旁瓣抑制等。隨著支持向量機的提出，很多新的提高波束形成魯棒性的方法涌現(xiàn)出來。最早是Gaudes 等在2004 年提出將SVM與波束形成中的MVDR 方法相結合，從而達到更好的抑制旁瓣的作用[5];Ramón M 等直接將SVM 應用于波束形成，根據改變損失函數(shù)的類型，重新建立數(shù)學模型，從而達到優(yōu)化的目的[6];林關成等通過采用迭代重加權最小二乘算法代替二次規(guī)劃來減小計算量，從而更高效地提高了在干擾信號數(shù)目較多的情況下的波束魯棒性[7]。本文提出一種基于SVM的DL 魯棒波束形成方法，為提高波束形成器的魯棒性提供一種新的途徑。

1 信號模型及對角加載算法的基本原理

假設一個由M 個陣元，且陣元間距為d 的均勻線列陣，則傳統(tǒng)的窄帶波束形成器的輸出可寫為

式中:w=[w1，w2，…，wM]T∈CM×1為權向量;x(k)=xk=[x1(k)，…，xM(k)]T∈CM×1為基陣觀測值的復向量，它是期望信號、干擾和噪聲的統(tǒng)計獨立分量之和。(·)T和(·)H分別表示矩陣的轉置和共軛轉置。在某一時刻k 基陣的觀測值可表示為

式中:s(k)，i(k)，n(k)分別表示期望信號、干擾信號和噪聲;Ki表示干擾的個數(shù);θs表示期望信號的到達方向，θij，j=1，…，K 表示干擾信號的到達方向，且對應的陣列流形向量分別為a(θs)和a(θij).

MVDR 波束形成加權向量設計問題表述為

式中:Ri+n為干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。MVDR 波束形成器的加權向量為

但在實際應用中，精確的噪聲與干擾協(xié)方差矩陣Ri+n是無法得到的，因此常用采樣協(xié)方差矩陣來代替，即

式中:N 表示的是快拍數(shù)。這時，(3)式可以重寫為

該問題的求解被稱為采樣矩陣求逆算法(SMI).當快拍數(shù)量較小時或存在隨機陣列信號響應誤差情況下，SMI 的性能下降很嚴重。因此，在文獻[3]中，提出一種DL 算法，它是通過在目標函數(shù)(6)式中增加一個二次補償項來調整加權值，可以表示為

式中:γ 是加載量。

這是利用DL 方法對SMI 算法進行改進，得到加載SMI(LSMI)算法，它是基于采樣協(xié)方差矩陣的DL 算法，實質就是DL 協(xié)方差矩陣代替采樣協(xié)方差矩陣

式中:I 表示單位矩陣。可得LSMI 算法的權向量為

LSMI 算法可以提高存在隨機陣列流形向量誤差的自適應波束形成算法的性能。但是該方法的主要問題是如何選擇加載量γ。通常根據經驗選擇特定的值，最典型的是10σ2，這里σ2表示單個傳感器上的噪聲功率，本文中所選定的加載量便為10σ2.

2 基于SVM 的對角加載方法

在LSMI 方法的基礎上通過引入附加不等式約束的價值函數(shù)來修改常規(guī)最小方差波束形成問題，由此所產生的價值函數(shù)等價于SVM 回歸的形式。這樣可以提高陣列流形向量存在失配時的魯棒性。

假定信號(包含期望信號與干擾信號)的到達方向為θl，l=1，…，P，根據SVM 的理論[8]，考慮重新建立LSMI 算法的模型:

式中:

(11)式被稱為ε－不敏感損失函數(shù)，dl表示波束形成器的期望輸出。

通過調整價值函數(shù)(10)式可以在實際陣列響應與期望陣列響應間的失配同ε 的關系和陣列輸出功率之間尋求平衡。為了使用支持向量回歸的基本方法，需要對(10)式中的第一項進行重新改寫，將協(xié)方差矩陣進行特征值分解:Rdl=UxD，波束形成器的輸出可以改寫為

下標R，I 分別代表實部和虛部。另外，對于每個DOA 波束形成器的輸出wHa(θl)可以改寫為

同理

因此，可以將支持向量回歸問題表示成實部和虛部的形式

由此，(10)式可以寫為

式中:當l=1，…，P 時，yl=Re(dl);當l=P +1，…，2P，yl=Im(dl).引入松弛變量式的最優(yōu)化問題為

滿足條件

通過分析上述支持向量機魯棒價值函數(shù)，最小化問題(24)式等價于在約束條件下尋找，使得由松弛變量ξ 和最小化。要求解帶有不等式約束的優(yōu)化問題，在約束條件中引入變量的對偶集后，尋找如下拉格朗日泛函的鞍點

將(27)式、(28)式、(29)式代入(26)式可得最優(yōu)問題的對偶形式

約束條件為0≤αl≤C，式中〈x，y〉=xTy 代表內積。通過對上式進行迭代重加權最小二乘(IRWLS)算法[9]求最大值，可以解得拉格朗日乘子，并求出.根據(13)式的反變換求出w，

3 仿真實驗及結果分析

下面分別從沒有失配的理想情況，存在方向向量失配以及存在陣元擾動的實際情況來分析證明上述方法的可行性。

考慮由M=12 個各向同性的陣元組成的均勻線列陣，且陣元間距為半波長。為了便于計算，將陣列放置于z 軸上。所有的信號及干擾都是來自遠場的平面波信號，噪聲為具有單位方差的白噪聲矩陣。信號的入射方向θs=90°，干擾的入射方向θij分別為30°，70°，130°，干擾噪聲比為10 dB，快拍數(shù)N =50.分別采用線性和二次的ε－不敏感損失函數(shù)來使用該方法來進行仿真，為了描述方便，將這種不同的損失函數(shù)對應的SVM 方法分別表示為SVM－Linear 和SVM－Quad.設SVM 的參數(shù)C=1 以及ε=0.001.

在沒有失配信息的理想情況下，仿真圖如圖1 ～圖6 所示。圖1 中信噪比為5 dB，從圖中可以看出，由于訓練數(shù)據中存在期望信號，所以使得DL 的性能有所下降。而3 種方法的主瓣方向是一致的，且SVM－Linear 和SVM－Quad 的旁瓣都比DL 方法得到的旁瓣低。DL 和SVM－Linear 方法在干擾方向都可以形成比較明顯的零陷，但SVM－Quad 方法并不十分明顯。信噪比為15 dB 時，3 種算法的波束圖對比結果如圖2 所示。此時，DL 方法基本上已經失效，而SVM－Linear 和SVM－Quad 還可以保持比較好的性能，且SVM－Linear 仍然在干擾方向產生零陷，對干擾有抑制作用。說明SVM－Linear 和SVM－Quad算法在干擾信號存在的情況下仍具有魯棒性。干擾個數(shù)與信干燥比(SINR)的關系如圖3 所示。理想情況下，DL 的性能比較穩(wěn)定，但隨著干擾個數(shù)的增加，SVM－Linear 和SVM－Quad 的輸出SINR 均會下降，而SVM－Linear 下降的幅度較大。圖4 中為快拍數(shù)量與輸出SINR 的關系圖。可以看出快拍數(shù)量的變化對SVM－Quad 的性能影響較小。

若選取SNR 為5 dB，加載量分別選取3σ2、10σ2和時，SVM－Linear 算法的波束圖如圖5 所示。SVM－Quad 算法的波束圖如圖6 所示。從圖中可以看出無論加載量的取值如何，SVM－Linear 算法和SVM－Quad 算法的性能都相對穩(wěn)定，并沒有隨加載量的變化而發(fā)生明顯變化。

圖1 信噪比為5 dB 時3 種算法的波束圖Fig.1 The beam pattern of three algorithms，when signal－to－noise ratio is equal to 5 dB

圖2 信噪比為15 dB 時3 種算法的波束圖Fig.2 The beam pattern of three algorithms，when signal－to－noise ratio is equal to 15 dB

圖3 干擾個數(shù)與SINR 的關系Fig.3 The relationship between the number of interference and SINR

圖4 快拍數(shù)與SINR 的關系Fig.4 The relationship between the number of snapshots and SINR

圖5 不同加載量的SVR－Linear 算法波束圖Fig.5 The beam pattern of SVR－Linear algorithm for the different loading value

圖6 不同加載量的SVR－Quad 算法波束圖Fig.6 The beam pattern of SVR－Quad algorithm for the different loading value

在波達方向上存在2°失配的實際情況下(即實際波達方向為88°)，仿真中所用的其余參數(shù)與之前的情況保持一致，依然以信噪比為5、15 dB 為例，如圖7 和圖8 所示。圖中在90°的方向上均畫了條直線，由此可以便于觀察主瓣方向的偏差程度。從圖7 可以發(fā)現(xiàn)，由于波達方向的失配，3 種方法在主瓣方向上都有所偏差，但是SVM－Quad 主瓣方向的偏差最小。DL 和SVM－Linear 方法在干擾方向同樣具有抑制的作用，而SVM－Quad 的抑制作用很小。信噪比為15 dB 時，如圖8 所示。SVM－Quad 主瓣方向的偏差雖然比SVM－Linear 方法略小，但是該方法仍然做不到抑制干擾。圖9 中表示的是干擾個數(shù)與輸出SINR 的關系?？梢钥闯?，隨著干擾數(shù)量的增加，DL 的性能迅速下降，而SVM－Linear 和SVMQuad 方法雖在干擾個數(shù)為1 到2 時，下降迅速，但隨后性能便趨于穩(wěn)定。圖10 中為快拍數(shù)量與輸出SINR 的關系圖?？梢钥闯霎敳ㄟ_方向向量存在失配的情況下，快拍數(shù)量很少時DL 的性能很差，而此時SVM－Linear 的優(yōu)勢比較明顯。

圖7 波達方向失配、信噪比為5 dB 時3 種算法的波束圖Fig.7 The beam pattern of three algorithms，when signal－tonoise ratio is equal to 5 dB and DOA mismatch

圖9 干擾個數(shù)與SINR 的關系Fig.9 The relationship between the number of interference and SINR

圖10 快拍數(shù)與SINR 的關系Fig.10 The relationship between the number of snapshots and SINR

圖11 擾動的標準偏差為0.01λ 時3 種算法的波束圖Fig.11 The beam pattern of three algorithms，when standard deviation is equal to 0.01λ

對于存在陣元擾動的實際情況下，還同樣使用上述參數(shù)。同時假設陣列在y 和z 方向上的位置有隨機的擾動，擾動為統(tǒng)計獨立的零均值高斯隨機變量，標準偏差分別為0.01λ 和0.05λ，如圖11，圖12所示。從圖11 可以看出，盡管陣元的擾動很小，但是DL 和SVM－Linear 方法的主瓣方向已經與理想情況相差甚遠，而SVM－Quad 方法雖然旁瓣級很高，但主瓣方向的誤差不是很大，而且在干擾方向可以形成零陷。當陣元擾動的標準偏差為0.05λ，如圖12所示。在此情況下，SVM－Quad 的主瓣方向誤差依舊不是很大，但是已經不存在抑制干擾的能力。干擾個數(shù)與SINR 的關系如圖13 所示。DL 的性能受干擾個數(shù)的影響很大，而SVM－Linear 與SVM－Quad的性能則比較穩(wěn)定。與圖9 結合可以看出，對于存在失配的情況，基于SVM 的波束形成算法在干擾數(shù)量較多時，更具有魯棒性。圖14 所示的是快拍數(shù)與輸出SINR 的關系。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，快拍數(shù)量的變化對SVM－Quad 的性能影響較小，體現(xiàn)出了SVMQuad 對于快拍數(shù)的魯棒性。

圖12 擾動的標準偏差為0.05λ 時3 種算法的波束圖Fig.12 The beam pattern of three algorithms，when standard deviation is equal to 0.05λ

圖13 干擾個數(shù)與SINR 的關系Fig.13 The relationship between the number of interference and SINR

4 結論

圖14 快拍數(shù)與SINR 的關系Fig.14 The relationship between the number of snapshots and SINR

在討論傳統(tǒng)的對角加載算法對波束形成器魯棒性的改善的基礎上，將支持向量機算法應用于魯棒波束形成。通過對沒有失配，存在方向向量失配以及存在陣元擾動的這3 種情況，分別對DL，SVMLinear 和SVM－Quad 這3 種方法進行仿真分析。仿真結果發(fā)現(xiàn):在無失配的理想情況和有失配的實際情況下，基于支持向量機的波束形成技術相比傳統(tǒng)的魯棒波束形成技術而言，不僅避免了加載量選取困難的問題，而且增加了陣列響應誤差的魯棒性，尤其是在干擾數(shù)量較多和快拍數(shù)較少時，效果更為明顯。

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