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        《高等數(shù)學(xué)》中的“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”及其應(yīng)用

        2013-02-26 04:53:10張冬燕劉纘武孫銘娟
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2013年5期
        關(guān)鍵詞:變形思想數(shù)學(xué)

        張冬燕, 劉纘武, 孫銘娟

        (解放軍信息工程大學(xué)理學(xué)院,河南鄭州 450000)

        1 引 言

        匈牙利數(shù)學(xué)家路莎·彼得說(shuō):“數(shù)學(xué)中最主要的成分始終是思想方法,而這確實(shí)是人類(lèi)共同的思想源泉,即使作家或藝術(shù)家也可從中汲取營(yíng)養(yǎng).”[1]誠(chéng)如其言,數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓和靈魂,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從某種意義上講就是要獲得用以指導(dǎo)工作和生活的數(shù)學(xué)的思想和方法.因此,深入探究和挖掘數(shù)學(xué)各門(mén)學(xué)科所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,并在教學(xué)中注重這些思想方法的滲透,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí),提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義.

        高等數(shù)學(xué)是理工科院校普遍開(kāi)始的一門(mén)公共基礎(chǔ)課,它內(nèi)容豐富,影響面廣,蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)此不少學(xué)者都曾進(jìn)行過(guò)詳細(xì)總結(jié)[2-4].但是,人們從高等數(shù)學(xué)里梳理出的種種思想方法中,有一種數(shù)學(xué)思想?yún)s鮮為人注意,它就是著名的“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”所闡述的幾何不變量思想.

        “愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”系指:《關(guān)于現(xiàn)代幾何學(xué)研究的比較考察—1872年在愛(ài)爾蘭根大學(xué)評(píng)議會(huì)及哲學(xué)院開(kāi)學(xué)典禮上提出的綱要》.這是德國(guó)大數(shù)學(xué)家克萊因(Felix Klein)為其教授就職發(fā)表的一篇著名演說(shuō),因文中首次提出了統(tǒng)一幾何學(xué)的綱領(lǐng)性結(jié)論,而被世人稱(chēng)為“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”.在綱領(lǐng)中,克萊因認(rèn)為每一種幾何學(xué)都對(duì)應(yīng)一個(gè)變換群,幾何學(xué)所要做的就是研究某種變換群下的幾何不變量.按照這個(gè)觀點(diǎn),我們研究幾何圖形,其實(shí)就是研究圖形在某種變換群下的那些不變的性質(zhì)和量以及保持這些性質(zhì)不變的變換.這種以變換群為工具討論幾何學(xué)的思想,化靜為動(dòng),將當(dāng)時(shí)所有的幾何學(xué)都統(tǒng)一了起來(lái),并由此引領(lǐng)了其后50年間幾何學(xué)家的研究方向,對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展尤其是幾何、群論的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響,同時(shí)還對(duì)物理學(xué)尤其是狹義相對(duì)論產(chǎn)生了積極影響.

        2 《高等數(shù)學(xué)》中的“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”思想

        時(shí)至今日,“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”雖然已不能涵蓋所有的幾何學(xué),但它所闡述的不變量思想仍是數(shù)學(xué)史上一筆寶貴的思想財(cái)富.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,如能結(jié)合相關(guān)內(nèi)容,適時(shí)介紹、滲透這種思想,對(duì)開(kāi)闊學(xué)生視野,提升對(duì)幾何更高層次上的認(rèn)識(shí),以及對(duì)學(xué)生后續(xù)物理等課程的學(xué)習(xí)都大有裨益.那么高等數(shù)學(xué)中哪些內(nèi)容體現(xiàn)了“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”的思想呢?

        典型案例一是利用伸縮變換,由特殊二次曲面的方程和形狀推導(dǎo)一般二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程和形狀.在高等數(shù)學(xué)教材[5]中,討論一般二次曲面方程時(shí)介紹了將幾何圖形伸縮變形的方法:在xOy面上,把點(diǎn)M(x,y)變?yōu)辄c(diǎn)M′(x,λy),從而把點(diǎn)M的軌跡C變?yōu)辄c(diǎn)M′的軌跡C′,稱(chēng)為把圖形C沿y軸方向伸縮λ倍變成圖形C′.這里通過(guò)伸縮變形將一種圖形變成另一個(gè)幾何圖形的過(guò)程就是伸縮變換.在伸縮變換下,幾何圖形的形狀、面積、體積等性質(zhì)都發(fā)生了變化,但值得注意的是,有些幾何特性在伸縮變換下卻具有不變性,如圖形上點(diǎn)與曲線的結(jié)合關(guān)系不變,點(diǎn)在曲線上的順序不變.這就使得圖形上共線點(diǎn)變?yōu)楣簿€點(diǎn),共點(diǎn)線變?yōu)楣颤c(diǎn)線,而且點(diǎn)與點(diǎn)、線與線之間的相對(duì)位置保持不變.于是,借助伸縮變換下的這些不變性,我們就可以由特殊到一般,將空間中的橢球面、橢圓錐面、橢圓拋物面等分別看作是球面、圓錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面等特殊曲面的伸縮變形,進(jìn)而根據(jù)伸縮變形中曲面方程未知量的變化規(guī)律,推導(dǎo)出一般二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        典型案例二是利用伸縮變形中物體質(zhì)量的不變性推導(dǎo)物體的質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式.質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物理學(xué)中的兩個(gè)重要概念,在重積分應(yīng)用一節(jié)中,教材[6]利用積分元素法來(lái)求它們的計(jì)算公式.將物體分割成有限個(gè)小物體,由于每個(gè)小物體的質(zhì)量分布近似均勻,且在壓縮變形中質(zhì)量保持不變,因此每個(gè)小物體的質(zhì)量可想象成濃縮到物體內(nèi)的一點(diǎn)上,于是求整個(gè)物體質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí),就可把整個(gè)物體視為是由有限個(gè)質(zhì)點(diǎn)所構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系來(lái)處理.上述過(guò)程中,利用變形下物體質(zhì)量的不變性,把物體抽象成有限質(zhì)點(diǎn)系,巧妙實(shí)現(xiàn)了無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化,這是物理學(xué)上解決問(wèn)題的一種常用方法.

        事實(shí)上,在高等數(shù)學(xué)教材中,除以上兩處體現(xiàn)了“變換下的不變量”思想外,還有很多內(nèi)容蘊(yùn)含著這種思想,現(xiàn)在我們舉例說(shuō)明它在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

        3 “愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”的不變量思想在積分學(xué)中的應(yīng)用

        首先我們給出有關(guān)旋轉(zhuǎn)體體積和表面積的簡(jiǎn)單計(jì)算方法.

        定理1 設(shè)旋轉(zhuǎn)體(如圖1所示)由xOy坐標(biāo)面上的圖形A繞坐標(biāo)軸x軸(或y軸)旋轉(zhuǎn)一周而成,如果圖形A的質(zhì)心為(ˉx,ˉy),面積為S,則該旋轉(zhuǎn)體的體積

        證 體密度μ=1的物體的體積在數(shù)值上等于它的質(zhì)量M.為此,視所求旋轉(zhuǎn)體為體密度μ=1的物體,求旋轉(zhuǎn)體的體積就相當(dāng)于求該物體的質(zhì)量.由已知,旋轉(zhuǎn)體由平面圖形A繞坐標(biāo)軸x軸(或y軸)一周無(wú)限疊加而成.把面A看成一張薄片,它的質(zhì)量m=μ·S=S.想象把薄片A濃縮成一個(gè)點(diǎn),濃縮到它的質(zhì)心點(diǎn)上,使質(zhì)量全部集中于它的質(zhì)心),這樣利用伸縮變換,旋轉(zhuǎn)體就變成了由質(zhì)量為S的質(zhì)點(diǎn)A繞x軸(或y軸)旋轉(zhuǎn)而成的一條圓心在x軸(或y軸)上,半徑為(或)的圓鏈.圓鏈的線密度ρ=m=S,所以圓鏈的質(zhì)量,從而旋轉(zhuǎn)體的體積

        這個(gè)定理實(shí)際是著名的帕普斯—古爾丁定理,國(guó)內(nèi)很多學(xué)者曾給出過(guò)它的證明[7].這里我們另辟蹊徑,采用不變量思想,抓住物體在伸縮變換下的質(zhì)量不變性,把物體變形為“鏈條”,再根據(jù)質(zhì)量與體積的轉(zhuǎn)化關(guān)系求出旋轉(zhuǎn)體的體積.

        用類(lèi)似的方法還可求旋轉(zhuǎn)體的表面積.旋轉(zhuǎn)體的表面可看作一張由曲線C(如圖1)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周織成的面密度為1的網(wǎng)面,若設(shè))為曲線C的質(zhì)心,L為C的弧長(zhǎng),想象把該網(wǎng)面濃縮為一條線密度為L(zhǎng)的細(xì)絲,則它的質(zhì)量也即旋轉(zhuǎn)體的表面積S=·L.由此得:

        定理2 設(shè)旋轉(zhuǎn)體由xOy坐標(biāo)面上的以連續(xù)曲線C為曲邊的圖形A繞坐標(biāo)軸x軸(或y軸)旋轉(zhuǎn)一周而成,如果曲線C的質(zhì)心為(),弧長(zhǎng)為L(zhǎng),則該旋轉(zhuǎn)體的表面積為S=·L.

        下面再舉兩個(gè)用“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”的不變量思想解題的例子.

        例1[8]求星形線x=acos3θ,y=asin3θ所圍圖形D的面積.

        分析 正如伸縮變形不會(huì)改變圖形各部分位置的相對(duì)次序,對(duì)圖形作非線性的扭曲、拉伸變形(不包括撕開(kāi)、接合),圖形各部分位置的相對(duì)次序仍然保持不變,為此,我們?cè)O(shè)想星形線所圍圖形D由圓面經(jīng)拉伸變形而來(lái),若能找到變形前后圖形面積的變化規(guī)律,就可利用圓的面積來(lái)求解未知面積.

        圖1

        解 作變換

        則有w2+v2=1.變換(1)可看作從直角坐標(biāo)平面wOv到直角坐標(biāo)平面xOy的一種變換,在此變換下,半徑為的圓所圍區(qū)域D變形為星形線所圍區(qū)域D′.用平行坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)對(duì)區(qū)域D′進(jìn)行分割,任取其中一小塊區(qū)域△σ′,設(shè)其經(jīng)變換(1)變?yōu)閰^(qū)域D的一塊小區(qū)域△σ,可以證明在不計(jì)高階無(wú)窮小的情況下,兩塊小區(qū)域的面積呈如下關(guān)系(詳細(xì)證明參考[9]):

        解 作旋轉(zhuǎn)變換(2),則xOy坐標(biāo)系下的區(qū)域D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°即是uOv坐標(biāo)系下的區(qū)域D′,如圖2所示.

        圖2

        因?yàn)樾D(zhuǎn)變換下,積分區(qū)域的形狀、大小未發(fā)生變化,以區(qū)域?yàn)榈酌娴那斨w的體積不變,因此

        不變量思想對(duì)20世紀(jì)的整個(gè)數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了廣泛而深刻的影響.從某種意義上說(shuō),現(xiàn)代數(shù)學(xué)就是研究各種不變量的科學(xué)[10].高等數(shù)學(xué)中很多內(nèi)容蘊(yùn)含“不變量思想”,在教學(xué)中適時(shí)引入它,無(wú)疑有益于開(kāi)闊學(xué)生眼界,增進(jìn)對(duì)現(xiàn)代經(jīng)典數(shù)學(xué)思想的了解和應(yīng)用.

        [1]路莎·彼得.無(wú)窮的玩藝:數(shù)學(xué)的探索與旅游[M].朱梧槚譯.南京:南京大學(xué)出版社,1985.

        [2]郭慧瑩,張國(guó)志.數(shù)學(xué)思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)證研究[J].邊疆經(jīng)濟(jì)與文化,2006,32(8):127-129.

        [3]馬秀梅,林距華.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)途徑的探討[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005,21(4):73-75.

        [4]宋衛(wèi)信,趙有益,張鋒.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的探索[J].當(dāng)代教育論壇,2011,25(2):91-93.

        [5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2007:316.

        [6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2007:111-114.

        [7]節(jié)存來(lái).求旋轉(zhuǎn)體體積的一種新方法[J].河北農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2004,27(5):117-119.

        [8]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2007:280.

        [9]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2007:91-93.

        [10]李躍武,趙云.代數(shù)不變量理論歷史演變[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,39(1):160-164.

        [11]邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海:上海教育出版社,2009.

        [12]鄧明立,張紅梅.群論統(tǒng)一幾何學(xué)的歷史根源[J].自然辨證法通訊,2008,30(1):75-80.

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