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        病態(tài)線性方程組新的Jacobi迭代解法

        2013-02-26 04:53:08孔祥強
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2013年5期
        關(guān)鍵詞:方法

        孔祥強

        (菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山東菏澤 274000)

        Jacobi迭代法是解線性方程組的一種有效方法,它具有存儲量小、程序簡單的特點.但當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣為病態(tài)時,該方法不再適用.本文給出了一類全新的Jacobi迭代算法,從而改進和推廣了一些已有的結(jié)果.

        1 Jacobi迭代法

        2 新的Jacobi迭代法及收斂性證明

        設(shè)Ax=b,其中A非奇異且病態(tài).令A(yù)=D+M,則Dx+Mx=b,在兩邊同時加上ωFx,ω>0,變?yōu)?/p>

        下面研究該迭代法的收斂性.

        定義[2]設(shè)A∈Rn×n.若存在正對角矩陣D,使AD為嚴格對角占優(yōu)矩陣,則稱A為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣.

        為了判定一個矩陣是否為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣,可通過文[3]中的方法,如矩陣

        3 數(shù)值算例

        表1 初值x(0)=(000)T ,迭代9步結(jié)果

        表2 初值x(0)=(0000)T ,迭代23步結(jié)果

        若采用文[7]的方法,迭代的次數(shù)遠超過23次.從表1和表2看出,ω取不同的值時,式(4)的收斂速度不同.相同迭代步數(shù)下的誤差相差明顯.

        表3 初值x(0)=(0000)T ,迭代10611步結(jié)果

        若采用文[6]和[7]的方法,迭代的次數(shù)遠遠超過10611次,因此本文給出的新的Jacobi迭代法對于系數(shù)矩陣是Hilbert矩陣的時候也成立.

        4 結(jié)束語

        本文給出了一種求病態(tài)線性方程組解的高效迭代算法,該方法具有以下優(yōu)點:

        (i)計算效率高,一般只需迭代數(shù)次,即可求得滿足精度的近似解.

        (ii)迭代公式中ω的選取具有靈活性,當(dāng)選取的ω適當(dāng)時,會使計算簡便.

        (iii)本文方法的收斂速度,不受矩陣階數(shù)的限制.

        [1]關(guān)治,陳景良.數(shù)值計算方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2000,9.

        [2]程公鵬.矩陣論[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,1999.

        [3]徐映紅,劉建州.廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣的一組判定條件[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2005,22(4):733-736.

        [4]林勝良.病態(tài)線性方程組解法研究[D].杭州:浙江大學(xué),2005.

        [5]易大義,陳道琦.數(shù)值分析引論[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2001:305-408.

        [6]張艷英,張?zhí)O蘋,等.病態(tài)方程組的一種精確解法[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報,1995,27(6):26-28.

        [7]富明慧,張文志.病態(tài)代數(shù)方程的精細積分解法[J].計算力學(xué)學(xué)報,2011,28(4):530-534.

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