劉成華

（江蘇省前黃高級中學(xué)，江蘇 常州 213161）

物理教與學(xué)的過程都離不開數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，借助物理知識滲透考查數(shù)學(xué)能力是高考命題的永恒主題，平面幾何知識是在物理教學(xué)過程中是應(yīng)用較廣泛的數(shù)學(xué)知識之一.應(yīng)用幾何方法求解物理問題時(shí)，常用到的有“對稱點(diǎn)的性質(zhì)”、“平行四邊形對角線互相平分”、“直角三角形中斜邊大于直角邊”以及“全等、相似三角形的特性”等相關(guān)幾何知識.

1 運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)巧解物理問題

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.有時(shí)解決物理問題可以運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)：① 平行四邊形兩組對邊分別平行且相等；② 平行四邊形的兩組對角分別相等；③ 平行四邊形的對角線互相平分等.

圖1

例1.如圖1所示，一質(zhì)量為m的小球套在光滑豎直桿上，輕質(zhì)彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與該小球相連.現(xiàn)將小球從A點(diǎn)由靜止釋放，沿豎直桿運(yùn)動到B點(diǎn)，已

知OA長度小于OB長度，彈簧處于OA、OB兩位置時(shí)彈力大小相等.在小球由A到B的過程中

（A）加速度等于重力加速度g的位置有兩個(gè).

（B）彈簧彈力的功率為零的位置有兩個(gè).

（C）彈簧彈力對小球所做的正功等于小球克服彈簧彈力所做的功.

（D）彈簧彈力做正功過程中小球運(yùn)動的距離等于小球克服彈簧彈力做功過程中小球運(yùn)動的距離.

圖2

解析：如圖2所示，取OC⊥AB，O E＝l0（l0為彈簧原長）.小球在C、E兩處的加速度等于重力加速度g，小球在A、C、E3處功率為0，故（A）正確（B）錯(cuò)誤；小球處于A處時(shí)，彈簧被壓縮，處于B處時(shí)彈簧被拉長，OA的壓縮量等于OB的伸長量，即小球在A、B兩位置彈簧的彈性勢能相等，故（C）正確.

本題關(guān)鍵在于彈力對小球做正功與負(fù)功的過程中小球運(yùn)動距離大小的判斷，小球由A到C過程中彈力做負(fù)功，由C到E的過程中彈力做正功，由E到B的過程中彈力做負(fù)功，即是比較AC＋EB與CE的大小.在AB桿上取關(guān)于OC對稱的D點(diǎn)，因AC＝CD，則只要比較DE與EB的大小.由題意可知，lOD＝l0－x，lOB＝l0＋x，過D、B分別作OB、OD的平行線交于G點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形ODGB，連接OG交DB于F點(diǎn)，由平行四邊形對邊相等且對角線互相平分的知識可得DF＝FB，lOB＋lBG＞lOG＝2lOF，而lOB＋lBG＝2l0，即lOF＜l0，而lOE＝l0，則彈簧原長點(diǎn)E應(yīng)該在F 點(diǎn)下方，又因?yàn)镈F＝FB，不難得出DE＞EB，故題中選項(xiàng)（D）是錯(cuò)誤的.

解決本題時(shí)巧妙地運(yùn)用了平行四邊形對邊相等及對角線互相平分的性質(zhì).再如江蘇省的一道高考題也可運(yùn)用此類方法.

圖3

例2.如圖3所示，固定的光滑豎直桿上套著一個(gè)滑塊，用輕繩系著滑塊繞過光滑的定滑輪，以大小恒定的拉力F拉繩，使滑塊從A點(diǎn)起由靜止開始上升.若從A點(diǎn)上升至B點(diǎn)和從B點(diǎn)上升至C點(diǎn)的過程中拉力F做的功分別為W1、W2，滑塊經(jīng)B、C兩點(diǎn)時(shí)的動能分別為EkB、EkC，圖3中AB＝BC，則一定有

（A）W1＞W(wǎng)2. （B）W1＜W2.

（C）EkB＞EkC. （D）EkB＜EkC.

圖4

解析：如圖3所示，滑塊從A點(diǎn)上升至B點(diǎn)和從B點(diǎn)上升至C點(diǎn)的過程中拉力F作用點(diǎn)的位移大小分別為（OA－OB）和（OB－OC），則W1＝F（OA－OB），W2＝F（OBOC）.過A、C分別作OC、OA的平行線交于D點(diǎn)，則四邊形OADC為平行四邊形，如圖4所示，由平行四邊形性質(zhì)得：OB＝BD、AB＝BC.在△OAD中有OA＋AD＞OD，因AD＝OC，OB＝BD則有OA＋OC＞2OB，即OAOB＞OB－OC，得W1＞W(wǎng)2，故選項(xiàng)（A）正確.

由于滑塊在A點(diǎn)由靜止出發(fā)，可以肯定最初滑塊是加速上升的，也就是說剛開始繩對滑塊拉力的豎直分力要大于滑塊的重力，但由于繩對滑塊拉力的豎直分力是逐漸減小的，B到C的過程繩對滑塊拉力的豎直分力與重力的大小關(guān)系不清楚，所以滑塊的運(yùn)動可能是加速的，也可能是減速的，還可能是先加速后減速的，所以無法確定滑塊在B、C位置的動能大小，故選項(xiàng)（C）、（D）錯(cuò)誤.

2 運(yùn)用相似三角形性質(zhì)巧解物理問題

對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.有時(shí)解決物理問題可以運(yùn)用相似三角形的一些性質(zhì)：① 對應(yīng)角相等；② 對應(yīng)邊成比例；③ 對應(yīng)的垂線、中線、角平分線成比例.

例3.一個(gè)重為G的小環(huán)套在豎直放置的半徑為R的光滑大圓環(huán)上，一個(gè)勁度系數(shù)為k，原長為l0（l0＜2R）的輕彈簧，一端固定在大圓頂點(diǎn)A，另一端與小環(huán)相連，小環(huán)在大圓環(huán)上無摩擦滑動，小環(huán)靜止于B點(diǎn)時(shí)，如圖5所示，求彈簧與豎直方向的夾角θ.

圖5

圖6

在對物體受力分析過程中，若各力之間沒有特殊角度但邊長關(guān)系知道的情況下，可以考慮運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)來解決，再如下一個(gè)動態(tài)平衡問題.

例4.如圖7所示，在半徑為R的光滑半球面上高h(yuǎn)處懸掛一定滑輪，重力為G的小球用繞過滑輪的繩子被站在地面上的人拉住.人拉動繩子使小球在與球面相切的某點(diǎn)緩緩運(yùn)動，到接近頂點(diǎn)的過程中，試分析小球?qū)Π肭蛎娴膲毫屠K子拉力如何變化（小球可以看著質(zhì)點(diǎn)）.

圖7

圖8

解析：受力分析如圖8所示，依然可以依據(jù)相似三角形性質(zhì)解決本題，分析過程不再贅述，不難得出：壓力N不變、拉力T逐漸變小.

3 運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)巧解物理問題

有時(shí)解決物理問題可以運(yùn)用圓的性質(zhì)，例如：① 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧；② 直徑所對的圓周角是直角；③ 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑等等.

圖9

例5.在共點(diǎn)力合成的實(shí)驗(yàn)中橡皮筋一端固定于P點(diǎn)，另一端連接兩個(gè)彈簧秤，并使該端拉至O點(diǎn)，兩個(gè)彈簧秤的拉力分別為F1、F2（α＋β＜90°），如圖9所示.現(xiàn)使F2大小不變地沿順時(shí)針轉(zhuǎn)過某一角度，要使結(jié)點(diǎn)仍在O處，相應(yīng)地使F1的大小及圖中β角發(fā)生變化.則相應(yīng)的變化是

（A）F1一定增大. （B）F1可能減少.

（C）β角一定減小. （D）β角可能增大.

圖10

解析：由于F2大小不變，則可以運(yùn)用圓的性質(zhì)來解決本題.以O(shè)點(diǎn)為圓心，F(xiàn)2的長度為半徑畫圓，如圖10所示，F(xiàn)2在沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動過程中，合力的大小、方向不變，兩個(gè)分力與合力構(gòu)成一個(gè)矢量三角形，在轉(zhuǎn)到圖中F2′的位置（此時(shí)F1與圓相切，即F1′⊥F2′）過程中，β角增大到最大，F(xiàn)1增大，繼續(xù)轉(zhuǎn)到圖中F2″的位置，β角減小到與原來相等，F(xiàn)1繼續(xù)增大，可見F2繞O點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動過程中，F(xiàn)1一直增大，而β角是先增大后減小，故選項(xiàng)（A）、（D）正確.

例6.一條寬度為d的河，水流速度為為v水，已知船在靜水中的航速v船，那么（1）怎樣渡河時(shí)間最短？（2）若v水＜v船，怎樣渡河位移最??？（3）若v水＞v船，怎樣渡河船漂向下游的距離最短？

解析：（1）、（2）兩問比較簡單，這里不再贅述；對于（3）問v水＞v船，不論船的航向如何，總要被水沖向下游，怎樣才能使船的航程最短呢？如圖11所示，設(shè)船頭（v船）與河岸成θ角，合速度（v）與河岸成α角，可以看出：α角越大，船到下游的距離x越短.那么，在什么條件下α角最大呢？

圖11

圖12

高中物理教學(xué)中離不開平面幾何知識，特別是物體的平衡問題、運(yùn)動的合成與分解、帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動、光的反射折射等問題，都常會用到平面幾何知識，故我們在求解有關(guān)問題時(shí)如能確當(dāng)運(yùn)用平面幾何知識往往會收到意想不到的效果.