陳新華
(常州市第一中學,江蘇 常州 213003)
華東師范大學出版社出版的高中物理競賽考前訓練《賽前集訓》一書第13頁第9題如下:
一個具有正方形截面的均勻長木塊浮在水中,這個木塊或以兩個相對的側面平行于水面,或以4個側面都和水面成45°角,如圖1所示,試問其平衡后的位置可能是圖中的哪一種?說明理由(設水的密度為ρ0,木塊的密度為ρ).
圖1
原書所給的參考解法如下:
圖2
點評:這是一個比較物體穩(wěn)度的計算題,一般來說,穩(wěn)度跟物體的重心高度和支面大小有關,重心越低、支面越大時穩(wěn)度越高.本題就是根據重心的高低來判斷物體的穩(wěn)定程度.其關鍵就在于判斷ha和hb的大小.參考解法的(2)、(3)兩問中,分別算出了ha,hb,比較兩者大小時,用了極限法比較,但極限法討論的重要前提是函數(shù)必須是單調變化的,實際上,由第(2)問的數(shù)據,k增大,ha,hb都增大,單從k=1這一特殊點來比較兩者的大小,顯然是不夠嚴密,而筆者通過以下運算,發(fā)現(xiàn)(2)、(3)兩問的條件下并非單調函數(shù),用特殊點的運算來代表整個過程顯然是不嚴密的.
以上是筆者對此題解法嚴密性的一些補充.仔細分析,不難發(fā)現(xiàn)用幾何方法解決此題更為便捷.
如圖3,按1、2、3三條虛線所示的位置來考慮.
圖3
圖4
圖5
圖6
圖7
反思:這是一個關于穩(wěn)度問題的討論題,但卻向我們展示了求極值和比較大小問題的一般處理方法:作差求函數(shù)的極值,本題中作差所得的函數(shù)比較復雜,帶有根號,所以并沒有直接求函數(shù)的極值,而是用解不等式的方法間接求臨界值進行討論.也提醒我們除非已經很明確函數(shù)的單調性,否則用某些特殊點的值來代表整個函數(shù)進行比較,往往會失之不嚴密.
用幾何方法討論,大大減少了運算量,避免了解二次函數(shù),并且物理意義較為明晰.但幾何方法解題對物理思維的要求較高,輔以幾何圖形和輔助線則可以提高處理問題的精確性.