關(guān) 棟，楊小輝，劉 更，佟瑞庭，馬尚君

(西北工業(yè)大學，陜西西安710072)

0 引 言

隨著航空、航天等領(lǐng)域?qū)τ来烹姍C功率重量比和體積等要求的不斷提高，日益通過提高轉(zhuǎn)速的方式達到縮小體積、省去傳動裝置的目的［1-2］。電機轉(zhuǎn)速提高不可避免加劇轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動，甚至可能接近或達到其臨界轉(zhuǎn)速而降低可靠性。因此，對高速永磁電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速分析就成為設(shè)計時的重要內(nèi)容［3-8］。準確計算出高速電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，給出提高其臨界轉(zhuǎn)速的工程措施就顯得尤為重要。

鐘一諤［9］、聞邦椿［10］、虞烈［11］等學者在軸承 -轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、臨界轉(zhuǎn)速、響應計算等方面做了大量的研究工作，對旋轉(zhuǎn)機械的工程設(shè)計提供了豐富的理論基礎(chǔ)。但是這些研究主要集中于壓縮機、水輪機、汽輪發(fā)電機等轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，而對中小功率的電機轉(zhuǎn)子研究較少。文獻［3］～［5］、［8］、［12］～［17］采用有限元法分別研究了開關(guān)磁阻電機和永磁電機轉(zhuǎn)子的動力學特性。劉闖［3，13］和王鳳翔［8，15-16］分別研究了陶瓷滾動軸承和磁力軸承支撐結(jié)構(gòu)對電機轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速和軸心軌跡等的影響。其中王鳳翔［15-16］等人進一步分析了轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)對電機臨界轉(zhuǎn)速的影響，并采用樣機振動實驗驗證其計算方法的正確性。文獻［17］建立3D有限元模型計算永磁無刷電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率，并考慮陶瓷軸承剛度對高速電機固有頻率的影響。

由于工作原理的差別，文獻［3］、［13］所研究的開關(guān)磁阻電機轉(zhuǎn)子工作原理和結(jié)構(gòu)形式上與本文探討的永磁電機轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)形式有所不同，故其動力學特性也有所差別。而文獻［15］～［17］所研究磁力軸承和陶瓷滾動軸承的支撐結(jié)構(gòu)形式在航空航天領(lǐng)域較少采用。本文在分析滾動軸承支撐特性的基礎(chǔ)上，采用有限元法對電機轉(zhuǎn)子進行動力學建模，模型中考慮轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時的陀螺效應。針對某航天用永磁電機轉(zhuǎn)子進行動力學仿真分析，并采用數(shù)值計算的方法對仿真結(jié)果進行驗證和分析。最后研究了采用滾動軸承支撐時不同支撐剛度對永磁電機臨界轉(zhuǎn)速的影響，給出提高電機臨界轉(zhuǎn)速的工程措施。

1 滾動軸承－轉(zhuǎn)子動力學模型

1.1 模型示意圖

永磁電機磁鋼所采用的燒結(jié)釹鐵硼材料具有較好的抗壓能力。如圖1所示，一般在磁鋼表面安裝非導磁材料的護環(huán)，護環(huán)與磁鋼之間采用過盈配合，這樣可以保證永磁轉(zhuǎn)子在高速下的安全運行。

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學模型

由圖1可知，轉(zhuǎn)軸兩端由2個滾動軸承支撐并考慮軸承的彈性支撐及阻尼效應。同時考慮轉(zhuǎn)子上的質(zhì)量和磁拉力產(chǎn)生的不平衡效應。電機轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時，由于上述兩項不平衡力的激勵作用將促使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生橫向振動。圖中，m為轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量;e為偏心距;C1、K1、C2、K2分別表示轉(zhuǎn)子與前后兩個軸承連接處的阻尼和支撐剛度;Fx1、Fy1為前端軸承的支撐反力;Fx2、Fy2為后端軸承的支撐反力;o1、o2為轉(zhuǎn)子的幾何中心和轉(zhuǎn)子質(zhì)心。

1.2 動力學方程

航空航天用高速永磁電機的主要特點是高速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子圓周速度可達200 m/s以上，是定子中繞組電流和鐵心磁通具有很高的頻率。由于電機轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時具有強烈的自穩(wěn)定能力即陀螺效應，而且高速旋轉(zhuǎn)時的陀螺效應對其固有頻率、臨界轉(zhuǎn)速等特性影響很大。為了更好地分析此轉(zhuǎn)子動力學特性，在考慮陀螺效應的情況下其動力學方程如下［15，18］:

式中:M、C、K、X、Y分別是轉(zhuǎn)子的質(zhì)量、阻尼、剛度和節(jié)點在x、y兩個方向的位移矩陣(向量);Fc和Fb分別表示旋轉(zhuǎn)時不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的離心力和電機工作時轉(zhuǎn)子所受的不平衡磁拉力;G是反對稱陣，為考慮慣性力的陀螺矩陣。轉(zhuǎn)子所受離心力，陀螺矩陣和轉(zhuǎn)速矩陣如下:

結(jié)合圖1，上述方程中m為轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量，e表示偏心距，ρ表示密度，N為單元形函數(shù)矩陣。式(1)的系數(shù)矩陣是由單元矩陣組集合而成，由于永磁直流電機在高速下旋轉(zhuǎn)，公式考慮了電機工作時轉(zhuǎn)子慣性力的作用，能夠更加精確地模擬其真實的工作情況。

2 永磁電機滾動軸承－轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速計算

2.1 模型建立及邊界條件的設(shè)定

2.1.1 轉(zhuǎn)子相關(guān)參數(shù)

本文以某電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為例，其結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。兩端采用普通深溝球軸承支撐，轉(zhuǎn)子相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 電機參數(shù)

2.1 .2模型轉(zhuǎn)換及邊界條件設(shè)置

電機轉(zhuǎn)子在滾動軸承連接處的模型如圖2所示。

軸頸與軸承配合處采用旋轉(zhuǎn)副，轉(zhuǎn)子軸頸在旋轉(zhuǎn)副的約束下僅有一個旋轉(zhuǎn)自由度，如圖2中速度 v所示。與軸頸配合的旋轉(zhuǎn)副四周采用彈簧-阻尼單元模擬滾動軸承支撐。旋轉(zhuǎn)副外側(cè)與彈簧連接點添加軸向約束，彈簧另一端全約束。因此設(shè)定軸承剛度時，可以僅考慮軸承的徑向剛度，忽略其軸向剛度。由表1完成相關(guān)仿真參數(shù)的設(shè)定。

圖2 轉(zhuǎn)子支撐簡化模型

2.2 臨界轉(zhuǎn)速計算

轉(zhuǎn)子的固有頻率除了與轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)和支撐參數(shù)有關(guān)外，還隨轉(zhuǎn)子渦動轉(zhuǎn)速和自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速的變化而變化［19］。因為不平衡力的存在，轉(zhuǎn)子通常作正同步渦動。當其渦動轉(zhuǎn)速和固有頻率相等時即出現(xiàn)共振，與之對應的轉(zhuǎn)速即為臨界轉(zhuǎn)速。

本文采用有限元法對轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速進行計算時出現(xiàn)正進動和反進動兩種狀態(tài)。考慮到陀螺效應的影響，正進動的固有頻率隨著轉(zhuǎn)速的升高而增大，反進動的固有頻率將隨著轉(zhuǎn)速的升高而下降。在對永磁電機轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速進行分析時應只分析其正進動的固有頻率。

圖3、圖4分別為電機轉(zhuǎn)子的坎貝爾圖和其1階固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化圖。圖中橫坐標表示轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，縱坐標表示轉(zhuǎn)子的固有頻率。圖3給出了轉(zhuǎn)子前四階固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化趨勢。其中第2階為反進動的狀態(tài)，可以不予考慮。第1、3、4階為轉(zhuǎn)子的正進動，結(jié)合圖4可以看出，正進動時轉(zhuǎn)子的固有頻率隨著其轉(zhuǎn)速的升高而增大。其中第1階固有頻率的增幅較小，而3、4階增速變化明顯。與轉(zhuǎn)子1階固有頻率相交于521.48Hz處，由nc=60f可知，其臨界轉(zhuǎn)速約為31 289 r/min。為保證永磁電機良好的運轉(zhuǎn)性能，避免轉(zhuǎn)子發(fā)生共振，要求電機的實際轉(zhuǎn)速滿足如下條件:

圖3 坎貝爾圖

圖4 轉(zhuǎn)子1階固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化圖

此處，0.75Nc1為 23 466.6 r/min。由表1 知，電機的額定轉(zhuǎn)速為16 000 r/min，計算得到的1階臨界轉(zhuǎn)速遠大于其額定轉(zhuǎn)速，故電機轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子，而且在額定轉(zhuǎn)速工作時不會因轉(zhuǎn)子本身運轉(zhuǎn)而發(fā)生共振現(xiàn)象。

2.3 結(jié)果驗證

為驗證仿真結(jié)果的可信性，本文對電機轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速進行理論計算，相關(guān)公式如下［20］:

式中:E為轉(zhuǎn)子軸的楊氏模量;Gi表示軸上不同截面的自重及其所受載荷;l為支撐跨度;式(6)中J的表達式:

式中:di表示軸上的不同截面直徑。將轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)代入式(6)、式(7)可計算其1階臨界轉(zhuǎn)速。仿真值與理論值對比如表2所示。

表2 仿真和計算值對比

由表2可以看出，在不考慮陀螺效應的情況下仿真值與理論值比較接近，誤差僅為1.32%。但是考慮陀螺效應后，采用仿真方法計算出的臨界轉(zhuǎn)速明顯大于理論計算結(jié)果，誤差達到10.39%。出現(xiàn)這樣的結(jié)果可以用轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的陀螺效應解釋。由于式(6)在計算臨界轉(zhuǎn)速時未考慮陀螺效應的作用，所以其計算的臨界轉(zhuǎn)速無論是否考慮陀螺效應均為同一值。如圖4所示，隨著電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速升高，其1階固有頻率逐步上升，在采用考慮陀螺效應的有限元仿真方法計算時，其值明顯大于傳統(tǒng)理論計算結(jié)果。因此在計算高速永磁電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速時必須將陀螺效應考慮在內(nèi)。

3 軸承剛度對臨界轉(zhuǎn)速的影響

通常情況下高速永磁電機可采用滾動軸承、磁力軸承等方式支撐其軸系。但是綜合考慮可靠性等方面的因素，目前航空航天用永磁電機支撐結(jié)構(gòu)大多仍采用滾動軸承。

軸承剛度是表征軸承動態(tài)特性的重要參數(shù)，其大小及變化特性將直接影響軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。因此，研究軸承剛度的支撐特性對永磁電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來說是非常必要的。本文主要考慮滾動軸承支撐對電機轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響，結(jié)合前面所建模型主要考慮滾動軸承徑向剛度改變時電機前兩階臨界轉(zhuǎn)速的變化趨勢。

采用前文所述永磁電機轉(zhuǎn)子作為算例，取初始軸承剛度為7.5×107N/m，忽略阻尼對臨界轉(zhuǎn)速的影響，計算出其1、2階臨界轉(zhuǎn)速分別為31 289 r/min和55 462 r/min。在一定范圍內(nèi)逐漸提高滾動軸承的支撐剛度，所得到的電機轉(zhuǎn)子1、2階臨界轉(zhuǎn)速如圖5所示。從圖中可知，隨著支撐剛度的提高臨界轉(zhuǎn)速明顯升高，而且轉(zhuǎn)子的2階臨界轉(zhuǎn)速增速明顯大于其1階臨界轉(zhuǎn)速。

圖5 軸承剛度對臨界轉(zhuǎn)速的影響

為進一步探究這種變化趨勢，繼續(xù)加大軸承支撐剛度，如表3所示。由表3知，當滾動軸承的支撐剛度在7.5×107～5×109N/m范圍內(nèi)變化時，其前兩階固有頻率增速較為明顯。而當軸承剛度大于5×109N/m以后，固有頻率增速放緩。

表3 軸承剛度對固有頻率的影響

由上述理論分析可知，提高永磁電機臨界轉(zhuǎn)速可通過增加軸承支撐剛度實現(xiàn)。目前航空航天領(lǐng)域采用普通滾動軸承支撐的電機臨界轉(zhuǎn)速具有較大的提升空間。對于同型號的滾動軸承，可通過適當增加軸承預緊力的方式提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。同時還可在設(shè)計階段采用較大型號或?qū)捪盗械妮S承提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支撐剛度，以達到提高系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的目的。但是加大軸承尺寸或?qū)挾韧瑫r又將降低其極限轉(zhuǎn)速，與提高永磁電機的轉(zhuǎn)速產(chǎn)生矛盾，因此需要電機設(shè)計人員在設(shè)計階段根據(jù)需要進行取舍。當普通軸承剛度不能滿足轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對臨界轉(zhuǎn)速的要求時可采用陶瓷滾動軸承取代，這樣可以大幅度提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，使電機轉(zhuǎn)子在更高轉(zhuǎn)速下能夠穩(wěn)定運轉(zhuǎn)。

4 結(jié) 語

通過對考慮陀螺效應的高速永磁電機滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行動力學建模和有限元仿真分析，可得到如下結(jié)論:

(1)由于航空航天用高速永磁電機滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)固有的特性，在對其進行臨界轉(zhuǎn)速計算時必須考慮陀螺效應的影響，尤其是高階臨界轉(zhuǎn)速更不能忽略。

(2)提高滾動軸承剛度可大幅度增加永磁電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。所以目前航空航天領(lǐng)域在用永磁電機可以通過增加軸承剛度的方式達到提高臨界轉(zhuǎn)速的目的。

(3)對于航空航天用永磁電機的設(shè)計可以通過增加軸承預緊力、增大軸承尺寸、采用寬系列軸承或高可靠性的陶瓷滾動軸承取代普通滾動軸承等方式增加其臨界轉(zhuǎn)速。但是增大軸承尺寸或?qū)挾扔钟绊懙捷S承極限轉(zhuǎn)速的提高，不利于提高永磁電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。因此需要設(shè)計人員根據(jù)高速永磁電機的應用場合在增加軸承剛度和提高臨界轉(zhuǎn)速間折中取舍。

(4)隨著軸承支撐剛度的增加，永磁電機轉(zhuǎn)子前兩階固有頻率之間的工作區(qū)域逐步變大。這為航空航天用永磁電機繼續(xù)提高工作轉(zhuǎn)速而在前兩階臨界轉(zhuǎn)速間工作提供了可能性。

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