宋玉坤，陳 陽，袁洪君

（1.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所，長春130012；2.承德石油高等?？茖W(xué)校 數(shù)理部，河北 承德067000）

0 引 言

考慮有界域Ω?Rn上二階非線性Schr?dinger方程的Dirichlet問題：在物理上，方程（1）描述強(qiáng)激光束通過非均勻介質(zhì)和等離子體的傳播.目前，對不同物理背景下Schr?dinger方程整體解的不存在［1－4］與存在性［5－15］研究已有很多結(jié)果.

文獻(xiàn)［5］研究了一類具非齊項(xiàng)二維方程解的局部和整體適定性；文獻(xiàn)［6］利用基態(tài)的變分特征、勢井和凹性方法給出了類似方程Cauchy問題小初值整體解存在的最佳條件；文獻(xiàn)［7－8］研究了方程

本文通過位勢井方法結(jié)合Sobolev嵌入定理，進(jìn)一步研究問題（1）－（3），得到了位勢井深度d的表達(dá)式，并討論了相關(guān)集合在流之下的不變性，得到了解的存在條件，進(jìn)一步揭示了在位勢井內(nèi)問題（1）－（3）整體解W1，2的存在性.

用‖·‖p表示‖·‖Lp（Ω），‖·‖k，p表示‖·‖Wk，p（Ω），‖·‖＝‖·‖L2（Ω），（u，v）＝∫Ωuvdx.

1 主要結(jié)果

引理2 對于u∈W（Ω），‖▽u‖為‖u‖1，2的等價(jià)模.

先考慮問題（1）－（3）W1，2解的定義，設(shè)u（x，t）是問題（1）－（3）的古典解，用任意的v（x）∈W1，2（Ω）乘以式（1），在Ω上積分，并利用格林公式可得

定義1 若u∈L∞（0，T；W（Ω）），且式（4）對任意的v（x）∈W1，2（Ω）及0≤t≤T 成立，則稱u＝u（x，t）為問題（1）－（3）在Ω×［0，T）上的W1，2解.

定義能量泛函：

由于問題（1）－（3）不具有正定能量，因此需引入位勢井理論，當(dāng)滿足條件（H）時(shí)，定義

位勢井：

先證明位勢井深度d＞0.

證明：由J（u）和I（u）的定義，結(jié)合I（u）＝0，‖▽u‖≠0及嵌入定理，有

故

證畢.

定理1 設(shè)p滿足條件（H），u0（x）∈（Ω）.若0＜E（0）＜d，I（u）＞0或‖▽u0‖＝0，則問題（1）－（3）存 在 一 個(gè) 整 體 W1，2解 u（x，t），u∈W，0≤t＜ ∞，且 u∈L∞（0，∞；（Ω）），ut∈L∞（0，∞；L2（Ω））成立.

證明：設(shè)｛ωj（x）｝為（Ω）的一個(gè)基函數(shù)系，構(gòu)造問題（1）－（3）的近似解：

其中，gjm（t）是［0，T］上的復(fù)值函數(shù)，且滿足如下非線性常微分方程組的初邊值問題：

對t從0到t積分得

由E（0）＜d知，J（u0）＜d.再由I（u0）＞0或‖▽u0‖＝0可得，u0∈W.又因?yàn)閃 是W1，2（Ω）中的開集，因此由式（6）可知，對充分大的m，有

下面證明W 在問題的流之下不變.假設(shè)式（8）不成立，則必存在某個(gè)t0＞0及充分大的m，使得um（t）∈?W，即

由式（7）可得，對充分大的m，有J（um）＜d，故J（um（t0））＝d不可能.若

則顯然有J（um（t0））≥d，這與式（8）矛盾，即對于充分大的m，有um（t）∈W.又由式（6）可得

從而

由于｛ws｝在W1，2（Ω）中稠密，故由式（9）可得式（4）成立.又由式（6）可得u（x，0）＝u0（x）.所以u（x，t）是問題（1）－（3）在Ω ×［0，∞）上的整體W1，2解.

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