◆胡曉雯

(杭州市長河高級中學)

1 案例背景

2012 年12 月，筆者參加了校內舉行的“聚焦課堂 高效教學研究月”的活動，開設了一節(jié)公開課——“正切函數(shù)的性質與圖象”。課后通過專家點評、與同行交流，對學生的主體性地位有了更為深入的認識，對新課程理念有了更為具體的理解，對以“教給學生什么、怎樣教給學生”為立足點開展的有效教學活動很受啟發(fā)。下面是筆者對這次活動的心得體會，希望引起同行的關注。

2 教學過程

在研究正弦函數(shù)的圖像與性質時，我們借助于單位圓中的正弦線，通過平移、描點作出了正弦函數(shù)的圖像，再結合圖像研究性質并解決相關問題。因此在教學中，很多同行都會采用類比思想，先大致作出正切函數(shù)圖像，再通過圖像研究其性質并解決相關問題。本著新課改理念，新課程不僅僅利用類比思想來研究正切函數(shù)，而且在此基礎上做了更大的突破。它換了一個新視角來研究正切函數(shù):先根據(jù)已有的知識研究正切函數(shù)的相關性質，結合性質作出圖像，再由圖像去驗證已有的性質并挖掘其它性質，最后利用圖像和性質解決相關問題。這樣既為合理作出正切函數(shù)的圖像奠定了理論基礎，同時也傳遞給學生一個訊息，研究函數(shù)的相關問題時，數(shù)形結合不僅僅是從形到數(shù)的研究，也可以從數(shù)到形來進行研究。這樣既拓寬了學生的思維，又使學生研究問題的方法更上了一個臺階。在此思想的指導下，筆者在教學中收到了很好的效果?，F(xiàn)將本次活動的課堂教學案例梳理如下，如有不足，懇請斧正。

教學過程如下:

2.1 復習并引入新課

練習:畫出下列各角的正切線

設計意圖:借助于單位圓讓學生作出正切線，既是復習也為后面用類比的思想作出正切曲線埋下了伏筆。教師就是引導學生聯(lián)系原有的知識，為學習新知做好鋪墊。這時教師可選擇一些有代表性的作圖結果，然后用實物投影展示，這樣哪怕教師不點撥，學生就清楚了自己的問題所在，充分體現(xiàn)了以學生為主體的思想。

2.2 主動探究，解決問題

2.2.1 研究正切函數(shù)的性質

設計意圖:教師先設計好學案，讓學生利用在單位圓中作出的正切線，自己去研究正切函數(shù)的相關性質。教師利用幾何畫板做出角的終邊在各個象限時正切線的動畫演示。讓學生通過幾何的畫板演示直觀感知正切函數(shù)的“兩域三性”。(這里也可利用其它知識研究正切函數(shù)的性質，如用三角函數(shù)的定義去研究定義域和值域，結合誘導公式研究周期性、奇偶性…)這樣不僅發(fā)揮了學生的能動性，而且發(fā)散了學生的思維。因為學生在收集、整理性質過程中又是一次思維的整合，對如何研究函數(shù)性質又更進了一步。教師在巡視過程中及時匯總學生意見，引導學生形成正確的知識和方法。同時教師事先要估計學生學習中會遇到的困難，想方設法幫助學生突破難點。避免教師對學生喋喋不休的低效灌輸，這既是對學生主體性地位的尊重，也是踐行新課程“以學生的發(fā)展為本”理念的需要。)

2.2.2 結合性質，小組合作探究，作出函數(shù)的圖像

類比y=sinx 圖象的由來，你能通過單位圓的正切線作y=tanx，x ∈的圖象嗎?

1.先畫出y=tanx 在一個周期內的簡圖。

2.教師用投影儀展示作圖結果，并作出在定義域上的圖象。

3.投影儀展示完整圖像。目的是規(guī)范作圖，理順思路的作用。

教師小結:

第一步:畫出正切函數(shù)的在一個周期內的圖象;

第二步:將圖象向左、向右平移拓展到整個定義域上去;

第三步:根據(jù)圖象總結性質。

設計意圖:從教學實踐看，教師盡可大膽放手把活動、思考的時間還給學生，把觀察、歸納、概括、探究的機會讓給學生，這樣有助于學生思維的發(fā)展。教學中先讓學生自主繪圖，再投影學生的圖像，通過投影儀糾正圖像。最后再結合前面研究出的性質讓學生進一步觀察圖像。這樣學生結合定義域會明白為什么正切函數(shù)會有兩條漸近線，結合值域明白為什么函數(shù)圖像可以向上向下無限延伸，結合奇函數(shù)和單調性明白了如何正確連線成圖才能得到較精確的正切函數(shù)圖像。這樣通過學生自己動手得到圖像，使學生學會了一類周期性函數(shù)的研究方式。學生親身經(jīng)歷數(shù)學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強了學習數(shù)學的興趣，從而提升學生分析問題的能力及嚴密認真的態(tài)度。課程標準指出，教師需要合理利用信息技術輔助教學，揭示數(shù)學本質，讓學生的理解更透徹。

2.2.3 觀察圖像，小組合作討論進一步研究性質

(1)正切函數(shù)的圖像是被相互平行的直線x=kπ+π

2，k ∈Z 所隔開的無窮多支形狀完全相同的曲線組成的。

(3)正切函數(shù)的圖像關于原點對稱;(問:還有其他的對稱中心嗎?)總結出對稱中心為，無對稱軸

設計意圖:除了前面所研究的正切函數(shù)性質外，讓學生進一步觀察函數(shù)圖象。分小組根據(jù)正切函數(shù)圖象去驗證正切函數(shù)已有的性質，并挖掘出其它的性質。教師提出問題后，先讓學生自主探究，嘗試解決。教學中經(jīng)常會遇到這樣的情況，教師剛把問題提出來，就開始頭頭是道的分析起來，或者沒等學生充分思考就開始提問，剝奪了學生思維活動的時間和空間。學生的思維豐富多彩，有奇思妙想，教師可能始料未及。筆者在教學中通過四人小組合作、交流，留足夠的時間讓學生去發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)的其它性質。根據(jù)學生學習知識的發(fā)生發(fā)展成熟過程，充分體現(xiàn)了學生的主體性，讓學生活起來。小組討論過后，先讓其中一個小組成員總結、發(fā)言，其它各小組補充或更正，這樣可以培養(yǎng)學生之間的團結協(xié)作能力及勇于探索的精神。

2.2.4 類比正弦函數(shù)“五點法”作圖，如何快速作出正切函數(shù)的簡圖?

正切函數(shù)圖象的簡單作法:三點兩線法

“三點”:

“兩線”:

設計意圖:在學生自主探究、合作交流的基礎上，借助于單位圓作出了較為精確的正切函數(shù)圖像，但在利用函數(shù)圖像解決問題時，這樣作圖既費神又費力。所以教學中類比正余弦函數(shù)圖像簡圖的作法，教師引導學生利用三點兩線法快速作出正切函數(shù)的簡圖，從而解決相關問題。

2.3 通過練習，鞏固基礎

設計意圖:在課堂教學中，數(shù)學教學不是“結果”的教學，而是“思維活動過程”的教學，通過前面問題的提出過程，知識的獲取過程，結論的探究過程，認識的升華過程以及分析、解決問題的艱難曲折思維過程后，接下來讓學生借助于研究好的圖像和性質利用數(shù)形結合思想解決相關問題，及時了解學生課堂中知識掌握的情況。正是有了前面的一系列的教學過程，學生自己思考得多，通過自己探究獲取的知識掌握得很好，所以學生就能利用所學的知識，快速地解決相關的問題。

2.4 總結思考，提高能力

學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結。

(1)學習了正切函數(shù)圖像的作法;理解了正切函數(shù)的圖像特征;掌握正切函數(shù)的基本性質。

(2)學會用類比方法研究問題，滲透數(shù)形結合的思想。

(3)體驗了成功的快樂。

設計意圖:整堂課已經(jīng)接近尾聲，筆者也想了解一下學生在這堂課中收獲和體會。筆者隨機叫了兩名同學進行了課堂小結。其中一名男生回答說:“在接觸一個新函數(shù)時，可以嘗試回憶學過的已有函數(shù)，看看能不能利用類比的思想解決一類問題，然后大膽去猜想、論證?！绷硗庖幻f:“通過這節(jié)課的學習，使她明白了合作、交流，自主探究的魅力。也明白了可以多角度地去研究函數(shù)問題:數(shù)形結合不僅僅是從形到數(shù)的研究，也可以換個角度從數(shù)到形來研究，為我們研究數(shù)學問題提供了新視角。”教室里頓時響起了雷鳴般的掌聲，這是我事先沒預料到的，也充分說明筆者這節(jié)課上得非常成功。學生通過自主思考、合作探究的成效是顯著的!

2.5 分層作業(yè)，鞏固拓展

(1)全體同學完成作業(yè)本;

(2)每位同學結合今天研究的內容，設計一道回家作業(yè)題，并完成。

3 案例反思

對相同的教學內容不同的教師處理教材的方法可能也不一樣。這些不同，緣于教師對教材的理解與處理、對學生原有認知結構的認識以及對教學實際的把握;也緣于教師教學風格的不同。這節(jié)課表面看看很簡單，內容也不多，前面又有了正余弦函數(shù)研究的鋪墊，上起來應該不難。但專家點評說這節(jié)課要把它上好是非常難的，很容易上成一節(jié)流水課，沒有什么新意。而且這堂課實際上是高中教材中很難啃的一塊骨頭。不過專家對筆者的這堂課給予了高度的肯定和贊賞，認為筆者很好的實施了新課程理念，課堂中讓學生共同探討，讓學生自己去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。對學生核心數(shù)學思想的提升有很大的幫助。同時處處保持互動，以學生為本，充分發(fā)揮和挖掘學生的潛能。同時肯定筆者具有很好的數(shù)學素養(yǎng)!通過課后與同行交流、聆聽專家點評后，筆者更深刻地認識到數(shù)學教育要彰顯出學生的主體性地位。如果教師提出問題后就講個不停，這樣只能用教師的思維，或少數(shù)幾個被提問學生的思維填補其它大多數(shù)學生的思維，這樣的結果是強迫學生接受，破壞了思維活動的自主性、獨立性，有礙于學生思維的發(fā)展。課堂教學中要充分尊重學生的思維活動過程，讓其暴露出來，即使思維過程是錯誤的甚至是可笑的，但這實際是存在的，不可以視而不見。教師需要根據(jù)不同的教學內容，指導學生靈活采用接受、記憶、模仿、練習、自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學的學習方式;在教學中，可以借助信息技術，提高課堂容量，把難以呈現(xiàn)的數(shù)學本質揭示出來，也可以用數(shù)學實驗讓學生體驗知識形成的過程。要以“教給學生什么、怎樣教給學生”為立足點，踐行新課程的教育理念，開展有效的教學活動。

感謝“聚焦課堂 高效教學研究月”的活動，使筆者從理論到實踐對數(shù)學教學都有了更新的認識。在今后的教學中，筆者將切實地尊重學生的主體地位，踐行新課程理念，扮演好引導者、組織者、合作者的角色。

［1］普通高中數(shù)學課程標準(實驗)［S］.北京:人民教育出版社，2003.

［2］李昌官.數(shù)學優(yōu)秀課成長的基礎、過程與方法.高中數(shù)學教與學，2010.