肖潤梅

摘要層流流動穩(wěn)定性的研究主要在于數(shù)學(xué)模型的建立以及求數(shù)值解.以Poiseuille流動為例，運(yùn)用譜方法對二維不可壓縮層流模型OrrSommerfeld方程進(jìn)行了展開與數(shù)值計(jì)算，得到了相應(yīng)的層流穩(wěn)定性數(shù)值條件．計(jì)算結(jié)果表明，譜方法具備較高的數(shù)值精度和較少的計(jì)算時間．

關(guān)鍵詞OrrSommerfeld方程；穩(wěn)定性；數(shù)值計(jì)算；譜方法

中圖分類號O357.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼A 文章編號10002537（2012）05002004

層流流體穩(wěn)定性問題的研究長期以來一直倍受數(shù)學(xué)家的關(guān)注．當(dāng)雷諾數(shù)在某個特定范圍內(nèi)逐步增大時，流體將經(jīng)歷一個由層流向紊流轉(zhuǎn)換的特殊過程［1］，即由一個穩(wěn)定的、亞臨界的層流流體轉(zhuǎn)化成為一個超臨界的紊流流體．為此，通過對流體雷諾數(shù)和波長的計(jì)算來預(yù)測層流的穩(wěn)定性問題變得尤為重要．目前，人們通過對層流流體加入微小外部擾動來預(yù)測層流流體穩(wěn)定性的方法已被廣泛地接受［2］．如果在此過程中，外部擾動能夠逐漸減弱直至消失，那么流體將繼續(xù)保持穩(wěn)定．反之，如果這些外部的擾動隨著時間的推移逐漸增大，那么流體將經(jīng)歷一個由層流向紊流流動轉(zhuǎn)化的過渡過程．

層流流體的穩(wěn)定性問題可歸結(jié)為OrrSommerfeld方程求解問題，該方程的求解在數(shù)學(xué)界引起了廣泛的興趣．Davey［3］通過有限元的方法來求解OrrSommerfeld方程，取得了良好的結(jié)果．然而由于有限元方法本身的局限性，運(yùn)算精度會受到很大的限制．如在計(jì)算誤差（Δx）p漸進(jìn)減小的過程中，運(yùn)用有限元方法只能得到一些有限的p值，同時計(jì)算時間過長，不適合廣泛運(yùn)用于求解此類問題．切比雪夫多項(xiàng)式在逼近理論中有重要的應(yīng)用．第一類切比雪夫多項(xiàng)式的根（被稱為切比雪夫節(jié)點(diǎn)）可以用于多項(xiàng)式插值．相應(yīng)的插值多項(xiàng)式能最大限度地降低龍格現(xiàn)象，并且提供多項(xiàng)式在連續(xù)函數(shù)的最佳一致逼近．Orszag［4］運(yùn)用切比雪夫多項(xiàng)式以及QR矩陣特征值算法所計(jì)算的結(jié)果有著較高的計(jì)算精度以及較少的計(jì)算時間．

當(dāng)前，譜方法已成為計(jì)算流體力學(xué)領(lǐng)域的三大主流數(shù)值方法之一，并受到廣大學(xué)者的關(guān)注．它是上世紀(jì)70年代發(fā)展起來的一種數(shù)值求解偏微分方程的方法，該方法在理論上具有“無窮階”收斂性，可采用快速算法，現(xiàn)已被廣泛用于氣象、物理、力學(xué)等諸多領(lǐng)域，成為繼差分法和有限元法之后又一種重要的數(shù)值方法［57］．由于譜方法的“無窮階”收斂性且具備高的計(jì)算精度，相對于有限元方法和切比雪夫多項(xiàng)式的方法，它能夠?qū)φ`差形成指數(shù)型收斂，提高了計(jì)算精度并縮短了計(jì)算時間，為求解OrrSommerfeld方程提供了新的思路.

本文運(yùn)用譜方法的數(shù)值分析，以Poiseuille流動為例對OrrSommerfeld方程進(jìn)行了展開與數(shù)值計(jì)算，并利用計(jì)算結(jié)果對層流流體的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析討論，并驗(yàn)證了譜方法的高精度性和快速收斂性．

圖1Poiseuille流動穩(wěn)定性計(jì)算圖求解方程（12）的特征值c，需要給定α和Re值．如果ci<0，那么層流流動將保持穩(wěn)定，相反地，如果ci>0，那么層流流體就會向紊流進(jìn)行轉(zhuǎn)化，ci=0表示臨界穩(wěn)定狀態(tài)．圖1表示了ci隨Re和α值變化的曲線（具體計(jì)算程序見附錄1）．

圖中分別顯示了ci=0.0，ci=0.04，ci=006的等值線．從圖中可以看出由等值線ci=00所包圍的中間區(qū)域?yàn)椴环€(wěn)定區(qū)，也就是說當(dāng)Re和α的值在這個范圍內(nèi)時，層流流體是不穩(wěn)定的，極易向紊流進(jìn)行轉(zhuǎn)化．等值線ci=0.0外圍被視為穩(wěn)定區(qū)域．同時可以得到臨界的雷諾數(shù)值為Recrit=5773，也就是說如果當(dāng)流體的雷諾數(shù)小于5773時，無論α取值多少，流體始終保持層流流動．同時在臨界雷諾數(shù)處，首先產(chǎn)生不穩(wěn)定流體的αc=1.02．對于本文得到的臨界數(shù)值可以與其他文獻(xiàn)所得到的值進(jìn)行比對，Thomas［9］運(yùn)用有限元的方法得到Recrit≈5780，αc=1.026．Orszag［4］通過切比雪夫多項(xiàng)式的方法得到Recrit≈5772，αc=1.021．由此驗(yàn)證了通過譜方法求解OrrSommerfeldequation有著很高的計(jì)算精度以及較少的計(jì)算時間，為解決此類方程提供了新的思路．

參考文獻(xiàn)：

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