徐 冬， 張 蕾

(1.臨沂職業(yè)學(xué)院，山東 臨沂276017;2.臨沂大學(xué)理學(xué)院，山東 臨沂276005)

0 引 言

研究孔邊彎折問(wèn)題具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值.關(guān)于彎折裂紋的研究已引起許多學(xué)者的興趣，有學(xué)者曾利用保角映射來(lái)逼近無(wú)限體中彎折裂紋問(wèn)題［1］.也有使用有限元、邊界元等數(shù)值方法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算［2～5］.用分布位錯(cuò)來(lái)模擬裂紋的方法計(jì)算時(shí)，裂紋位置可以任意［6］. 相關(guān)研究工作，可見(jiàn)文獻(xiàn)［7 ～9］. 本文擬采用上述方法對(duì)圓邊界上的彎折裂紋進(jìn)行研究. 由裂紋邊界條件，建立了相應(yīng)的奇異積分方程. 通過(guò)熟知的數(shù)值公式，將得到的方程化為代數(shù)方程數(shù)值求解位錯(cuò)分布，由此，得到裂紋尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子值. 這是一種解析、數(shù)值相結(jié)合求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法，各裂紋位置可以是任意的.為了行文方便，文中我們沿用了文獻(xiàn)［7 ～9］部分符號(hào)和公式.

1 理論分析

在反平面彈性問(wèn)題的中，應(yīng)力G、位移w(x，y)和合力f(x，y)可用復(fù)勢(shì)φ(z)［6］表示為

其中τxz，τyz是縱向剪應(yīng)力.

無(wú)限平面時(shí)強(qiáng)度為H 的點(diǎn)位錯(cuò)的復(fù)勢(shì)記為沿z0的有向斜線布置分布位錯(cuò)密度為h(s)的連續(xù)時(shí)復(fù)勢(shì)函數(shù)為

其中a 為斜線l 的長(zhǎng)度，α 為x 軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到l正向所成的角度.在以上研究的基礎(chǔ)上，可利用位錯(cuò)疊加來(lái)模擬裂紋，以求解彎折裂紋的問(wèn)題.

若φp為無(wú)限大域中彎折裂紋的復(fù)勢(shì)，則有

這里N 為裂紋分支數(shù)，zc為位錯(cuò)放置點(diǎn)，zcj為第j 條分支端點(diǎn)，aj為第j 條分支長(zhǎng)度，hj(sj)為沿第j 條分支分布位錯(cuò)密度函數(shù).

由(1)式和(2)式，可得

要對(duì)無(wú)限大域中的彎折裂紋問(wèn)題進(jìn)行求解，需要通過(guò)在(2)式中加一項(xiàng)來(lái)消除其在圓孔周界上的作用力以滿足圓孔周界自由條件.取

其中p 和h 分別表示主要部分和輔助部分.由圓孔自由條件可以得到φ(t)-= 0，應(yīng)用鏡像原理得

設(shè)含圓孔無(wú)限大域中，在無(wú)限遠(yuǎn)處作用縱向載荷，裂紋表面自由. 求裂紋端點(diǎn)處的應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí)，問(wèn)題可化為圓孔周界自由問(wèn)題的求解，此時(shí)裂紋上下表面作用可有大小相等、方向相反的分布載荷. 因此，若已知各裂紋表面上的分布載荷((Tk(sk)(k = 1，2… N)，可在裂紋處布置密度為hk(s)位錯(cuò)，即

裂紋面上的縱向剪應(yīng)力σnz，k(sk)可表示為

其中z = zck+skeiαk，α 為裂紋面與x 軸正向的夾角.應(yīng)用(2)式、(4)式到(6)式，再根據(jù)(5)式可得到一組奇異積分方程

其中

解上面的方程組可得分布位錯(cuò)密度hk(s)，裂紋尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子值可由下式確定

下面給出方程組(7)中Tk(sk)的具體表達(dá)式.設(shè)無(wú)限域中有一半徑為R 的圓孔，孔邊有一彎折裂紋，表面自由，在遠(yuǎn)處作用載荷.則相應(yīng)的復(fù)勢(shì)為

由疊加原理，裂紋端的應(yīng)力強(qiáng)度因子值等于裂紋上下表面作用有分布載荷.裂紋上下表面作用的分布載荷大小等于遠(yuǎn)處作用有縱向載荷p，無(wú)裂紋時(shí)，裂紋位置處應(yīng)力的反向值. 由(6)式可得，裂紋第k 條分支(k = 1，2，…，N)上作用的分布載荷為

(8)式代入(7)式，采用半開(kāi)型積分公式［10］對(duì)方程組進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，數(shù)值積分公式為

其中

若

則可將方程(7)和條件(3)化為一組代數(shù)方程.求解代數(shù)方程組得到Dj(sj)，從而得到裂紋尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子值

2 算 例

最后，我們用一個(gè)具體的算例來(lái)說(shuō)明問(wèn)題..設(shè)含圓孔無(wú)限大域中彎折裂紋的圓孔半徑為R，彎折點(diǎn)為B，各裂紋長(zhǎng)度均為a = R/3，裂紋彎折角度為α.把裂紋端C 的應(yīng)力強(qiáng)度因子寫(xiě)成無(wú)量綱形式

裂紋尖端C 的F3，C值見(jiàn)表1.

表1 圓孔邊緣彎折裂紋的值

［1］ Y. Z. Chen，Z. X. Wang. Solutions of Multiple Crack Problems of a Circular Region with Free or Fixed Boundary Condition in an Antiplane Elasticity［J］. Int. J. Fracture，2004，36(4):501 -506.

［2］ C.P.Jiang，Y.K.Cheung.A Special Bending Crack Tip Finite Element［J］.International Journal of Fracture，2004，71:57 -69.

［3］ Z.H.Tong，C.P.Jiang，S.H.Lo，et al.A Closed Form Solution to the Antiplane Problem of Doubly Periodic Cracks of Unequal Size in Piezoelectric Materials［J］. Mechanics of Materials，2006，38:296 -286.

［4］ J.Z.Chen ，W. C. Shen，W. An -Chien. Null-field Integral Equations for Stress Field around Circular Holes under Antiplane Shear［J］. Engineering Analysis with Boundary Elements，2006(30):205 –217.

［5］ X. L. Han，F(xiàn)ernand Ellyin，XIA Zi - hui. Interface Crack between Two Different Viscoelastic Media［J］. Int. J. Solids and Structures，2001(38):7981 -7997.

［6］ Y. Z. Chen，N. Hasebe H. New Integration Scheme for the Branch Crack Problem［J］. Engng Fracture Mech，1995，52:791 -801.

［7］ 杜紅珊，石少?gòu)V，張蕾.彈性圓域中Ⅲ型分叉裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2007(9):101 -106.

［8］ 李福林.反平面彈性中半平面多邊緣裂紋問(wèn)題的奇異積分方程解法［M］.江蘇大學(xué)碩士論文，2005.

［9］ 王鐘羨，張蕾. 反平面彈性圓形域邊緣裂紋奇異積分方程方法［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007(3):266 -269.

［10］ A. V. Boiko，L. N. Karpenko. On Some Numerical Methods for the Solution of Plane Elasticity Problem for Bodies with Cracks by Means of Singular Integral Eqution［J］. Int. J. Fracture，1981，17:381 -388.