?？肆?， 陳貴景

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同037009)

0 引 言

Tibshirani 和Hastie 在(1993)1 提出了變系數(shù)模型，由于“維數(shù)禍根”產(chǎn)生很多不便，人們?cè)诓煌闆r下進(jìn)行了改進(jìn)，參看文獻(xiàn)［2 ～5］. 張和盧(2004)［6］對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)提出了如下模型

稱(chēng)為比例函數(shù)線性模型. 其中Y 是響應(yīng)變量，X =(X1，X2，…，Xp)T和Z = (Z1，Z2，…，Zp)T是為解釋變量，X 與Z 可能相互獨(dú)立也可能不相互獨(dú)立;ε 獨(dú)立于X 和Z，且E(ε)= 0，Var(ε)= 1;σ(·，·)是從R2p到R 的一個(gè)已知可測(cè)函數(shù);g(·)是從R 到R的一個(gè)未知可測(cè)函數(shù);Cα(γ)，(α = 1，…，p)是參數(shù)γ 的已知函數(shù)，γ = (γ1，γ2，…，γp)T的可知性不確定，我們來(lái)考慮在假設(shè)γ 已知的條件下，討論系數(shù)函數(shù)積分估計(jì)及其漸近正態(tài)性，我們記Cα=Cα(γ)(α = 1，…p).

1 估計(jì)和漸近正態(tài)性

設(shè){Yi，Xi，Zi，i = 1，…，n}是從模型(1)中取得的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中X1= (Xi1，Xi2，…，Xip)T，Zi= (Zi1，Zi2，…，Zip)T.假設(shè)g(·)的二階導(dǎo)數(shù)保持Lipschitz 連續(xù)性，可知在g(Xα)的支撐內(nèi)的一點(diǎn)xα周?chē)厝荒苡靡粋€(gè)線性函數(shù)來(lái)逼近，即:，其中，aα= g(xα)，bα= hαg'(xα).

對(duì)下式

關(guān)于{aα，α = 1，…，p}和{bα，α = 1，…，p}極小化，設(shè)(x)是使(2)式達(dá)到極小化的解的前p 個(gè)值，由最小二乘思想，可得

其中，x = (x1，x2，…，xp)T，eα，2p是第α 個(gè)分量為1的2p 維單位向量，U 是一個(gè)n ×2p 的矩陣，它的第i 行是

W = diag(W11，W22，…，Wpp)，它的第i 個(gè)對(duì)角線元素是Wii= Khα(Xiα-xα)，Xiα是Xα的第i 個(gè)觀測(cè)值，Ziα是Zα的第i 個(gè)觀測(cè)值，Khα(·)= h-1αK(·/hα)，K(·)是一個(gè)具有緊支撐而且關(guān)于0 對(duì)稱(chēng)并且有界非負(fù)的Lipschitz 連續(xù)的概率密度函數(shù)，hα= hnα＞0 稱(chēng)作窗寬.

令x-1= (x2，…，xp)T，假設(shè)Q-1(x-1)是一個(gè)權(quán)重函數(shù)，且滿足∫dQ-1(x-1)= 1. 設(shè)q-1(x-1)是Q-1(x-1)的概率密度函數(shù)，而且要求Q-1(·)的支撐在X-1的取值范圍內(nèi).

在(3)式的前提下，采用積分方法定義g(·)的積分估計(jì):

條件:

A1.X 的聯(lián)合密度p(x)以及Xα的邊際密度pα(xα)是存在緊支撐的，有界的，Lipschitz 連續(xù)的;

A2. 條件期望E(Zα，Zα'，σ2(X，Z)| X = x)，E(Zλα1Zλα2σ2(X，Z)| X = x)是Lipschitz 連續(xù)的，其中:λ1+λ2= 2 或4，λ1≥0，λ2≥0，α，α' = 1，…，p.

定理: 假設(shè)A1 和A2 都成立，窗寬滿足hα→且h1= Bn-1/5，nh5α'→0，α' = 2，…，p，B 是一個(gè)常數(shù)，有

C = diag(C1，C2，…，Cp)，p-1(x-1)是x-1= (x2，…，xp)的邊際密度.

證明: (參考文獻(xiàn)5).

2 結(jié) 論

用積分方法得到系數(shù)函數(shù)的積分估計(jì)，并且討論了估計(jì)的漸進(jìn)正太性.

［1］ Hastie，T. andTibshirani，R. Varying - coefficient models［J］.Statist.Soc.B，1993，55(4):757 -796.

［2］ Cai，Z.，F(xiàn)an，J. Avreage regression surface for dependent［J］.Multivaraiate Anal，2000，75:112 -142.

［3］ Cai，Z.，F(xiàn)an，J，Yao，Q. Function-coefficient models for nonlinear time series［J］.American Statist，Assoc. 2000.95(451).

［4］ Fan，J，Zhang，J.Two-step estimation of functional lineat models with applications to longitudinal data［J］.R.Statist，2000，B62，303 -322.

［5］ Zhang，R.Q.andLi，G.Y. Avreage estimation of Function-coefficient regression models with different smoothing variables［J］.Statistics ＆ Probability，2007，77:455 -461.

［6］ 張日權(quán)，盧一強(qiáng).變系數(shù)模型［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

［7］ ?？肆?，陳貴景.參數(shù)已知下比例函數(shù)線性模型的平均估計(jì)［J］.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，30(6):917 -919.