張 鹿， 李 迪， 王希圓， 于金鳳， 薛小平

(1.哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150080;2.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都610065;3.哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，黑龍江哈爾濱150001)

0 引 言

設(shè)X 是一個(gè)Banach 空間，本文考慮如下系統(tǒng):

其中，F(xiàn)，G:T ×X →2X是一多值函數(shù)，T =［0，b］，t ∈T.{A(t)}t∈T是一族線性算子，它生成一發(fā)展算子:U :△= {(t，s)∈T × T:0 ≤s ≤t ≤b}→L(X). 控制函數(shù)u(·)∈L2(T，U )，B:U →X 是一有界線性算子.L2(T，U)是一個(gè)Banach 空間，其上的范數(shù)定義為

近幾年來，微分包含可控性理論受到廣泛關(guān)注，結(jié)果也層出不窮，在文獻(xiàn)［1］中，Benchohra 與Ntouyas 使用Martella 不動(dòng)點(diǎn)定理證明了Banach 空間二階微分包含的可控性;在文獻(xiàn)［2］中，李國(guó)成和薛小平用Kakutani 不動(dòng)點(diǎn)定理和Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理給出了具有非局部條件發(fā)展包含的可控性;本文作者在這方面也取得了一些成果，參見［3～5］.本文利用最近不動(dòng)點(diǎn)定理(文獻(xiàn)［8］)給出了一類積分微分包含的可控性的充分條件.

1 基本概念和假設(shè)

在這一部分將介紹本文要用到的集值分析和泛函分析的一些符號(hào)、定義和結(jié)論. 詳細(xì)論述參見文獻(xiàn)［6］.

設(shè)X 是Banach 空間，Pb，cl(X)表示X 中所有有界閉子集的全體，Pcp，cv(X)表示X 中所有緊凸子集的全體，Pbcc(X)表示X 中所有有界閉凸子集的全體.C(T，X)表示從T 到X 的連續(xù)函數(shù)全體組成的Banach 空間，其上范數(shù)定義為‖y‖ = sup{| y(t)|:t ∈T}.L1(T，X)表示從T 到X 的Bocher 可積函數(shù)類所成的Banach 空間.

設(shè)集值映射G:X →2X，若存在x ∈X 使得x ∈Gx 則 稱G 有 不 動(dòng) 點(diǎn). 定 義 函 數(shù)H:Pb，cl(X)×Pb，cl(X)→R+為:

設(shè){A(t):t ∈T}是一族線性算子，生成線性發(fā)展系統(tǒng){U(t，s):0 ≤s ≤t ≤b}，且{U(t，s):0 ≤s≤t ≤b}，當(dāng)t - s ＞0 時(shí)是一個(gè)緊算子(關(guān)于這方面的理論參見文獻(xiàn)［7］).

定 義11: 設(shè)N:X →Pb，cl(X)是一個(gè)多值映射，如果存在一個(gè)常數(shù)ε ∈(0，1)使得對(duì)于每一個(gè)x，y ∈X 都有H(N (x)，N(y))≤ε| x–y|，則N稱為一個(gè)多值壓縮映射，常數(shù)ε 稱為N 的一個(gè)壓縮常數(shù).

引理1.2［8］: 設(shè)B(0，r)和B［0，r］分別表示Banach 空間X 的以圓點(diǎn)為圓心，以r 為半徑的開、閉球，并且設(shè)A:X →Pbcc(X)和B:B［0，r］→Pcp，cv(X)是兩個(gè)多值算子且滿足:

(I)A 是多值壓縮映射，且

(II)B 是上半連續(xù)

則下面二者之一成立:

(a)算子包含x ∈Ax + Bx 在B［0，r］中有一個(gè)解，

(b)存在一個(gè)v ∈X 且‖v‖ = r，使得對(duì)于δ＞1，δv ∈Av + Bv.

2 主要結(jié)果

為了證明主要結(jié)果，需要如下假設(shè):

(F1)當(dāng)t - s ＞0 時(shí)，U(t，s)是一個(gè)緊算子并且存在一個(gè)常數(shù)M0＞0 使得‖U (t，s)‖≤M0，0 ≤s ≤t ≤b.

(F2)G:J × X →Pcp，cv(X);滿足對(duì)于任意y ∈X，(t，y)→G(t，y)關(guān)于t 是可測(cè)的，對(duì)于任 意t ∈J，關(guān)于y 是上半連續(xù)的，且對(duì)于任意的y ∈C(J，X)，下面的集合是非空的:

且存在函數(shù)q ∈L1(J，R+)和一個(gè)非降的函數(shù)ψ:R+→(0，+∞)對(duì)于幾乎處處的t ∈J，所有的y ∈X，有

(F3)存在常數(shù)LG＞0，使得

且b2M0LG＜1.

(F4)F:J ×X →Pcp，cv(X);對(duì)于任意y ∈X，(t，y)→F(t，y)關(guān)于t是可測(cè)的，對(duì)于任意t∈J，關(guān) 于y 是上半連續(xù)的，對(duì)于每一個(gè)固定的y ∈C(J，X)，下面的集合是非空的:

(F5)線性算子W:L2(T，U )→X，定義

具有取值于L2(T，U )/ ker W 逆算子W-1，并且存在常數(shù)M1和M2使得‖B ‖≤M1，‖W-1‖≤M2.

定義3.1: 若函數(shù)x(·)∈C(T，X)，滿足對(duì)任意t ∈T

其中f ∈S1F，g ∈S1G，x(0)= x0，則x(.)稱為系統(tǒng)(1)的mild 解.

定義3.2: 問題(1)稱為可控的是指:對(duì)?x0，x1∈X，存在一個(gè)控制u(.)∈L2(T，U )，使得(1)的一個(gè)mild 解滿足x(b)= x1.

定理3.1: 設(shè)(F1)–(F5)成立，且存在一個(gè)實(shí)數(shù)r ＞0 使得

則問題(1)在T 上是可控的，這里

證明: 由假設(shè)F(5)，對(duì)于任意x(·)∈C(T，X)，定義控制函數(shù)如下:

其中f ∈S1F，x，g ∈S1G，y，定義集值映射R(·):C(T，X)→2C(T，X)如下:

其中，f ∈S1F，X，g ∈S1G，y，則R 的不動(dòng)點(diǎn)即為(1)的

解，且顯然有x1∈R(y)(b).

則R = A + B

為了證明定理3.1，我們將分以下幾步完成:

Step1:對(duì)于每一個(gè)y ∈C(J，X)，由于S1F，x是凸的，故A 算子在C(T，X)上具有閉凸值. 此外，A在有界集上是有界的. 設(shè)Bq= {y ∈C(T，X):‖y‖≤q}，則由F(1)和F(2)的假設(shè)，有

故A 把有界集映成有界集.

Step2:A 是一個(gè)壓縮映射. 設(shè)x，y ∈C(J，X)，由定義1.1、H(1)及H(2)有

由(F3)知，A 是壓縮映射.

Step3:B 在C(T，X)的有界集上是有界的，設(shè)Bq= {y ∈C(J，X):‖y‖≤q}.對(duì)于任意的y ∈Bq，h ∈B(X)存在使得對(duì)任意的t ∈T，有

注意到‖W-1‖ ≤M2，‖B‖ ≤M1，‖U(b，0)‖≤M0，f(s)≤p(s)φ(q)和H(2)的假設(shè)

由上面的不等式，對(duì)任意的t ∈T ，有

則對(duì)于任意的h ∈B(Bq)，有

類似于文獻(xiàn)［10］可以證明B 把有界集映成等度連續(xù)集和相對(duì)緊集，故B 是全連續(xù)的集值映射.

Step4:B 具有閉圖像.

設(shè)xn→x*，hn∈B(xn)，hn→h*，我們將要證明h*∈B(x*)，hn∈B(xn)意味著存在，使得

其中

這里必須證明存在f*∈S1F，x，使得

這里

當(dāng)n →∞.下面考慮線性連續(xù)算子γ:L1(T，X)→C(T，X)

注意到

故γ 是連續(xù)的.由文獻(xiàn)［9］引理2.2，γ ?SF是一個(gè)有閉圖的算子，因此有

因此多值映射B 是具有閉凸值的上半連續(xù)算子.

Step5:在B［0，r］中算子包含x ∈A(x)+B(x)有一個(gè)解.

設(shè)B(0，r)是C(T，X)中一個(gè)開球，這里實(shí)數(shù)r滿足定理1.1 給定的不等式.從以上1 -7 的步驟，可看出算子A 和B 滿足所有的引理1.2 條件.現(xiàn)在證明引理1.2 的第二個(gè)結(jié)論不成立. 設(shè)ν ∈C(T，X)是δν ∈A(ν)+ B(ν)的一個(gè)解，這里δ ＞1 且‖v‖ = r，則有

這里

因此由H(1)，H(2)，H(4)，H(5)有

對(duì)于t 取上確界得到

即

這里M = M0| x0| +bM0M1M2)(| x1| +M0| x0|)，這與定理3.1 的假設(shè)矛盾，所以x ∈A(x)+ B(x)在B［0，r］中有一個(gè)解，故系統(tǒng)(1)在C(T，X)中有一個(gè)mild 解x(·)且滿足x1∈(A + B)x(b)，即系統(tǒng)(1)是可控的.

［1］ M. Berchohra，S. K. Ntouyas. Controbility of Second - Order Differetial Inclusion in Banach Spaces with Nonlocal Conditions［J］. J . Opt. Theory Appl，107:559 -571.

［2］ Cuocheng Li，Xiaoping Xue. Controllability of Evolution Inclusions with Nonlocal Conditions［J］.Ap- plied Mathematics and Computation，141:375 -384.

［3］ Yu. Jinfeng. Li，Shiqiang. Controllability of Evolution Inclusion in Banach Space.Proc.Chin. Contrlo. Conf.CCC，2011，603 -60.

［4］ 于金鳳，陳安妮. 帶有非局部條件二階微分包含的可控性［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，53(5):871 -880.

［5］ 于金鳳，薛小平，Banach 空間發(fā)展包含解的存在性［J］. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2012，32(1):126 -136.

［6］ Hu S，Papageorgiou N S.Handbook of Multivalued Analisis. Volume I:Theory. Netherlands:Kluwer Dordrechet，2000.

［7］ W.E.Fitzgibbon，Semilinear Functional Differential Equations in Banach Spaces［J］.erential Equa- tions 29，1 -14.

［8］ B. C. Dhage，A Boucheif，S. K. Ntouyas. On Periodic Boundary Value Problems of first -Order Perturbed Impulsive Differential Inclusions，Electron［J］.erential Equations，2004，84:1 -9.

［9］ J. R. Kang，Y. C. Kwun and J. Y. Park.Controllability of the Second- Order Differential Inclusion in Banach Spaces［J］.Math. Anal. Appl，285:537 -550.

［10］ 張鹿，于金鳳，Banach 空間帶有非局部條件發(fā)展包含的可控性［J］.哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2010，26(4):61 -65.