☉新疆石河子第五中學(xué) 謝紅英

☉石河子大學(xué)師范學(xué)院 劉 超

中外初中數(shù)學(xué)教材中“負負得正”內(nèi)容的比較研究

☉新疆石河子第五中學(xué) 謝紅英

☉石河子大學(xué)師范學(xué)院 劉 超

“負負得正”在初中數(shù)學(xué)教材中是數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的重點，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)系擴充的關(guān)鍵，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、運算能力起著關(guān)鍵作用.“負負得正”的教學(xué)，教師應(yīng)該重視內(nèi)容呈現(xiàn)的過程性，正如著名的水稻專家袁隆平院士曾說：“我最喜歡外語、地理、化學(xué)，最不喜歡數(shù)學(xué)，因為在學(xué)正負數(shù)的時候，我搞不清為什么負負得正，就去問老師，老師說：‘你記住就是’，學(xué)幾何時對一個定理有疑議去問，還是一樣的回答.我由此得出結(jié)論：數(shù)學(xué)不講道理，于是不再理會，學(xué)數(shù)學(xué)興趣一直不大，成績不好.”從他這段話中可以看出，我們在講解有理數(shù)運算法則的引入時，如果不講原因，甚至只簡單地讓學(xué)生“記住就行”，那會對剛剛系統(tǒng)接觸數(shù)學(xué)的七年級學(xué)生今后的學(xué)習(xí)產(chǎn)生多么大的不良影響!本文擬對我國8個、新加坡2個、美國加州2個、德國1個共13個不同版本的初中數(shù)學(xué)教材中的“負負得正”內(nèi)容進行比較分析，來反映此內(nèi)容的不同呈現(xiàn)方式，以及在引導(dǎo)教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變上體現(xiàn)出共性與特色，有利于學(xué)生更好地理解和掌握本節(jié)內(nèi)容的知識.

本研究中，初中教材選取北師版［1］、人教版（原來）、人教版［2］、華師版［3］、蘇教版［4］、浙教版［5］、江蘇1971年版［6］、北京1969年版［7］、新加坡版（原來）［8］、新加坡版［9］、美國加州1、美國加州3［10］及德國版［11］等13個版本.從內(nèi)容的呈現(xiàn)方式和數(shù)學(xué)認知水平兩個維度進行比較.

一、呈現(xiàn)方式的比較

1.教材呈現(xiàn)方式使用的模型刻畫

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在闡述數(shù)學(xué)課程內(nèi)容特征時，強調(diào)“它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊含的數(shù)學(xué)方法”，課程內(nèi)容的組織“要呈現(xiàn)過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系”，因此要求教材內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)體現(xiàn)過程性［12］.除江蘇1971版是直接給出正負數(shù)乘除運算法則外，其余12個版本教材的內(nèi)容呈現(xiàn)都體現(xiàn)了過程性，關(guān)注了學(xué)生對知識的認知過程.就其內(nèi)容呈現(xiàn)的不同方式，歸納概括為以下幾個模型［13］：

①歸納模型：（-3）×3=-9；

從而（-3）×（-1）=______.

通過觀察、探索、分析、推理、歸納得到當(dāng)?shù)诙€因數(shù)依次減少為1時，積增加3，進而從符號和絕對值兩個方面總結(jié)得到法則.在此過程中，學(xué)生不僅掌握了知識，還發(fā)展了合情推理的能力，探究意識也得到了強化.

②分配律模型：（-3）×（-2）=（-3）×（0-2）=（-3）×0-［（-3）×2］=0-（-6）=6.

即引入負數(shù)后，“保持”運算律從而得到法則，這與數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展相矛盾，運算應(yīng)先規(guī)定法則再驗證運算律是否成立.

③相反數(shù)模型：3×2=3+3=6；（-3）×2=（-3）+（-3）=-6.

由此得結(jié)論：將一個因數(shù)換成它的相反數(shù)，所得乘積就是原來積的相反數(shù).

所以（-3）×（-2）=6.

經(jīng)歷了特殊——一般——特殊，得到法則的過程滲透了歸納推理和演繹推理，這對提高學(xué)生的邏輯思維能力大有益處.

④兩組具有相反意義的量的模型：今天氣溫記為0℃，每天下降3℃（上升為正，下降為負），昨天記為-1，前天記為-2（今天之前為負，之后為正），（-3）×（-2）就是前天的氣溫，即6.因此（-3）×（-2）=6.

水位變化，小蟲爬，蝸牛爬皆可視為此模型.

用學(xué)生感興趣的生活情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，但在實際問題中引入兩組具有相反意義的量并且產(chǎn)生運算關(guān)系，學(xué)生理解起來比較困難.

⑤數(shù)軸模型：規(guī)定數(shù)軸的正方向為東，負方向為西.一個人在數(shù)軸的原點處，-2看作向西運動2米，（-3）×（-2）看作沿反方向（東）運動2次，結(jié)果向東運動了6米，所以（-3）×（-2）=6.

此模型結(jié)合了相反意義的量的實際情況，自然且易于理解，能使乘法法則的學(xué)習(xí)與加法相一致，做到了知識的順應(yīng)，有利于學(xué)生知識的架構(gòu).

說明：這些模型的作用不是推導(dǎo)、證明法則，只是對法則的合理性進行有效的說明，滲透數(shù)系擴充的兩條主要途徑［14］（元素添加和等勢抽象），為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定良好的思維基礎(chǔ).

2.教材呈現(xiàn)方式使用的模型比較分析

12個版本教材中，有10個版本使用單一模型呈現(xiàn)，2個版本使用兩種模型呈現(xiàn).

使用單一模型呈現(xiàn)的情況如表1：

表1

補充描述：相反數(shù)模型中，人教版（原）以水位升降作為生活情境，華師版以小蟲爬作為生活情境；兩組具有相反意義的量的模型中，人教版以蝸牛爬作為生活情境，蘇教版、浙教版以水位升降作為生活情境.

使用兩種模型呈現(xiàn)的情況如表2：

表2

補充描述：新加坡版（原來）先用歸納模型得到猜想，再用相反數(shù)模型進行驗證，而美國加州3版本先用相反數(shù)模型得到猜想，再用歸納模型進行驗證.

3.教材呈現(xiàn)方式使用的情境比較分析

數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題情境有數(shù)學(xué)情境和生活情境，由此12個版本教材使用情境情況如表3：

表3

不難看出，國外教材都使用了數(shù)學(xué)情境，用數(shù)學(xué)的視角、數(shù)學(xué)的思維解決數(shù)學(xué)問題，更關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，生活情境只作為引入而已，而我國教材多數(shù)用生活情境，利用生活經(jīng)驗給出合理解釋，幫助學(xué)生理解法則的合理性即可.

由以上比較得出：課改后的所有教材都關(guān)注內(nèi)容呈現(xiàn)的過程性，且使用的模型和問題情境呈多樣化，關(guān)注學(xué)生對知識的認知過程，在引導(dǎo)教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變上體現(xiàn)出共性與特色.

二、認知水平的比較

顧泠沅等通過“青浦實驗”和相關(guān)理論研究將數(shù)學(xué)認知水平分為4個層次［15］：水平1：計算——操作性記憶水平；水平2：概念——概念性記憶水平；水平3：領(lǐng)會——理解性記憶水平；水平4：分析——探究性理解水平；在這4個層次中，水平1、2為較低認知水平，水平3、4為較高認知水平.

本文根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)“負負得正”法則所需要達到的數(shù)學(xué)認知水平層次，對此內(nèi)容的數(shù)學(xué)認知水平層次作出如下界定：

水平1：計算——操作性記憶水平；該層次的認知水平只需學(xué)生記住“負負得正”，不需要理解；只體驗解決問題的過程.

水平2：概念——概念性記憶水平；該層次的認知水平要求學(xué)生通過相關(guān)模型的呈現(xiàn)能夠接受“負負得正”的事實；體驗簡單分析、解決問題的過程.

水平3：領(lǐng)會——理解性記憶水平；該層次的認知水平要求學(xué)生通過相關(guān)模型的呈現(xiàn)順利接受“負負得正”的事實，并能用自己的語言進行說明；體驗分析問題、解決問題的過程.

水平4：分析——探究性理解水平；該層次的認知水平需要學(xué)生理解算理，并能構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦M行說明；學(xué)生在探究的過程中完整地體驗發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程.

各版本教材需要學(xué)生達到的數(shù)學(xué)認知水平層次如表4.

表4

由此標(biāo)準(zhǔn)來看這13個版本的教材，可以發(fā)現(xiàn)，有5個版本對學(xué)生的要求是低認知水平，8個是高認知水平.如：使用歸納模型和相反數(shù)模型的幾個版本教材，均從觀察和問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而歸納概括解決問題，這體現(xiàn)出教材注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，符號感，觀察能力，合情推理能力，歸納概括能力，強化探究的意識和運用數(shù)學(xué)的意識，以求達到較高認知水平，這種要求無疑促進了教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變.此外，從教材使用的情境表格分析也能發(fā)現(xiàn)，國外教材在此內(nèi)容上對學(xué)生高認知水平能力的培養(yǎng)甚于國內(nèi).

與此同時還發(fā)現(xiàn)，我國和美國的各版本教材在敘述法則時用文字語言，而版本的教材用符號語言，如下：

“兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘”

Words，The product of two integers with the same sign is positive.

Examples 2×5=-2×（-5）=10（美國加州2版）

Ingeneral，（-a）×（-b）=a×b Where a and brepresent positive integers.（新加坡版）

這個區(qū)別說明，新加坡版教材非常重視培養(yǎng)學(xué)生的符號感和抽象能力.

由此可見，在高認知水平能力的培養(yǎng)上，我國教材有加強的傾向，而國外教材在此方面強于我國.使用時可根據(jù)學(xué)生的個體差異，力求中等學(xué)生達到水平3，基礎(chǔ)較弱學(xué)生達到水平2，較強學(xué)生達到水平4.

通過以上對13個版本初中數(shù)學(xué)教材“負負得正”內(nèi)容的比較，可以得出以下結(jié)論：

（1）課改后的所有教材都關(guān)注內(nèi)容呈現(xiàn)的過程性，且使用的模型和問題情境呈多樣化，關(guān)注學(xué)生對知識的認知過程，在引導(dǎo)教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變上體現(xiàn)出共性和特色.

（2）課改后的所有教材均注重培養(yǎng)學(xué)生較高認知水平.

三、對教學(xué)的啟示和思考

（1）教學(xué)中不能為了“創(chuàng)設(shè)情境”而創(chuàng)設(shè)情境，如果選擇的生活情境學(xué)生不易理解，那就應(yīng)該考慮從數(shù)學(xué)本身出發(fā)，尋求直接的、更接近數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法來解決問題.所以筆者認為兩組具有相反意義的量的模型不宜選擇.

（2）在使用模型說明“負負得正”時，要選擇符合學(xué)生已有認知水平的模型，培養(yǎng)學(xué)生高認知水平也要適度，不能有過高的要求，它的培養(yǎng)是一個長期的、循序漸進的過程，教師應(yīng)選擇合適的內(nèi)容適時、適度訓(xùn)練，一而貫之，方能有效.

（3）多數(shù)教師在呈現(xiàn)“負負得正”法則時，使用有些模型會用到乘法的交換律和結(jié)合律，認為與數(shù)學(xué)自身體系“先規(guī)定運算法則，然后研究運算律是否成立”相矛盾，產(chǎn)生疑問，筆者認為應(yīng)在遵循數(shù)學(xué)體系的同時遵循學(xué)生的認知規(guī)律，所以選擇相反數(shù)模型、數(shù)軸模型、歸納模型比較適合.當(dāng)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與學(xué)生的可接受性產(chǎn)生矛盾時，就需要我們數(shù)學(xué)教師展示智慧，兩者兼顧地化解矛盾.

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