林相剛 焦安梅（日照港集團(tuán)有限公司，山東 日照 276826）

在實(shí)際工程中，常常對梁和軸等受彎構(gòu)件的變形有一定的限制要求，準(zhǔn)確的計(jì)算梁或軸的轉(zhuǎn)角及撓度，不僅可以做到安全有保障，而且能夠最大限度的發(fā)揮材料的性能，有效降低成本。本文介紹受彎構(gòu)件任意截面處位移和轉(zhuǎn)角的常用計(jì)算方法，包括積分法、間斷函數(shù)法、疊加法和靜矩—面積法。

1 求梁位移和轉(zhuǎn)角的積分法

在計(jì)算梁或軸任意截面處的位移和轉(zhuǎn)角前，若能夠根據(jù)梁的受力特點(diǎn)，定性畫出梁撓曲線的大致形狀，可直觀的展示彎曲變形的計(jì)算結(jié)果，并有助于判斷計(jì)算結(jié)果是否正確。梁彎曲后的軸線，即梁截面形心的連線，成為梁的撓曲線。一般地，施加約束力的約束（如鉸）會限制梁在該處的線位移。而產(chǎn)生約束力偶的約束（如固定端）會同時(shí)限制梁在該處的旋轉(zhuǎn)或轉(zhuǎn)角及線位移。

彎矩-曲率關(guān)系（推導(dǎo)過程略）

其中

ρ=撓曲線上任意一點(diǎn)處的半徑

M=梁上需要確定ρ值處的截面上的彎矩

E=材料的彈性模量

I=梁橫截面對其中性軸的慣性矩

ν=f(x)梁撓曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為[1]，由高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識可得：

實(shí)際工程中多數(shù)梁或軸的撓曲線通常是一條非常平坦的曲線，于是 非常小，其平方更是遠(yuǎn)小于1，可忽略不計(jì)，所以曲率可近似的表示為

對（2）式求導(dǎo)可得

對（3）式求導(dǎo)可得

通過對上述任一微分方程多次積分，可得梁撓曲線上各點(diǎn)的撓度ν，同理可近似求得各點(diǎn)的轉(zhuǎn)角θ（推導(dǎo)過程略）

分析步驟

1）撓曲線

畫梁撓曲線大致形狀示意圖：注意固定端處轉(zhuǎn)角和位移均為零，而固定和活動鉸支座處的位移為零。

建立x,ν坐標(biāo)軸。x軸必須平行于梁變形前的軸線，原點(diǎn)為梁上任意一點(diǎn)，正向即可向右也可向左。

當(dāng)梁上作用多個不連續(xù)載荷時(shí)，可在各間斷點(diǎn)之間分段建立x坐標(biāo)軸，以便使計(jì)算過程更加簡潔。

任何情況下均要求ν坐標(biāo)軸向上為正。

2）荷載方程或彎矩方程

寫出梁在每一段中的荷載w或彎矩M隨其中x坐標(biāo)變化的函數(shù)。要特別注意利用平衡方程確定彎矩方程M=f(x)時(shí)，總是假設(shè)任意橫截面上的彎矩的符號為正。

3）轉(zhuǎn)角和撓曲線

若EI是常量，可利用含有荷載的方程EId4v/dx4=-w(x)，經(jīng)過四次積分的到撓曲線方程ν=ν(x)；或者利用含有彎矩的方程EId2v/dx2=M(x)，只需經(jīng)過兩次積分即可獲得撓曲線方程。注意每次積分過程中，不要遺漏積分常數(shù)。

積分常數(shù)由相關(guān)支座處的邊界條件（可查閱相關(guān)圖表）以及相鄰撓曲線交界點(diǎn)轉(zhuǎn)角和位移的連續(xù)條件確定。求出積分常數(shù)并帶回梁的轉(zhuǎn)角方程及撓曲線方程后，就可以計(jì)算梁上指定點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角。

可通過與撓曲線大致形狀的示意圖相比較檢查計(jì)算結(jié)果。注意：坐標(biāo)軸x取向右為正，轉(zhuǎn)角逆時(shí)針為正；坐標(biāo)軸x取向左為正時(shí)，轉(zhuǎn)角順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎５谏鲜鰞煞N情況下，梁的位移v均取向上為正。

2 求梁的轉(zhuǎn)角和位移的間斷函數(shù)法

對于受彎構(gòu)件，當(dāng)其載荷或彎矩方程在整個梁的長度上都能用一個連續(xù)的函數(shù)表示時(shí)，采用積分法可以方便的求解梁的撓曲線方程。但是梁上作用多個不同的荷載時(shí)，由于需要分別求出每一段梁上各自獨(dú)立的荷載或彎矩方程，并且還需要利用邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)，所以積分法會變得十分冗繁。本方法可只利用邊界條件確定積分常數(shù)，不涉及梁變形的連續(xù)條件，求解過程將變得十分簡潔，此方法需要用到兩個函數(shù)：

麥考利函數(shù)[3]：該函數(shù)用來描述梁上的分布荷載，其表達(dá)式為

上式中，x是梁上一點(diǎn)的坐標(biāo)，a表示梁上“間斷點(diǎn)”出現(xiàn)的位置，即分布載荷的起點(diǎn)。注意麥考利函數(shù)n中的尖括號，以區(qū)別普通函數(shù)(x-a)n。只有當(dāng)x>=a時(shí)，n=(x-a)n，否則其值為零。另外，只有當(dāng)指數(shù)n>=0時(shí)，這些函數(shù)才成立。麥考利函數(shù)的積分規(guī)則與普通函數(shù)相同，即：

奇異函數(shù)[3]：奇異函數(shù)用來描述作用于受彎構(gòu)件上一點(diǎn)的集中力或集中力偶。集中力P可以看成是一個特殊的分布載荷，其載荷集度為w=P/ε，而其分布區(qū)間趨近于零。此分布載荷與坐標(biāo)軸x所圍的面積等于P的大小，取向下為正。因此集中力P的值可用間斷函數(shù)表示為：

注意，這里取n=-1,是為了使分布荷載的集度的量綱仍然為單位長度上的力，由此函數(shù)可知，只有在力的作用點(diǎn)x=a處，其值等于P，否則為零。

同樣，對于集中外力偶M0,取逆時(shí)針為正，可以看成兩個分布區(qū)間ε均趨于零的分布載荷，集中外力偶M0的值可用奇異函數(shù)表示為：

上式中n=-2，是為了保證此分布載荷集度的量綱仍然是單位長度上的力

上述兩個奇異函數(shù)可按照算符運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行積分，并得到與麥考利函數(shù)積分不同的結(jié)果，具體結(jié)果為

其中，積分后只是指數(shù)增加1，沒有積分常數(shù)。利用上述公式，將集中力P或集中力偶M0，分別積分一次和兩次后即可獲得梁的剪力和彎矩。特別注意的是，集中力和分布載荷取下為正，集中外力偶取逆時(shí)針為正。

分析步驟

1）撓曲線

繪制撓曲線的大致形狀，明確支座處的邊界條件。

固定鉸支座及活動鉸支座處的位移為零，固定端處的轉(zhuǎn)角和位移均為零。

建立坐標(biāo)軸x,向右為正，原點(diǎn)在梁的左端。

2）載荷和彎矩方程

根據(jù)平衡方程，計(jì)算支座反力，將載荷w或彎矩M表示為x的函數(shù)，確保其中每一個載荷的符號都符合相應(yīng)的約定。

注意分布載荷應(yīng)滿布至梁的最右端，否則需用疊加法使之成為滿布分布載荷。

3）轉(zhuǎn)角和撓曲線

將荷載w的方程代入EId4v/dx4=-w(x)或?qū)澗豈的方程代入EId2v/dx2=M(x)，積分后即可獲得梁的轉(zhuǎn)角和撓曲線方程。

根據(jù)邊界條件計(jì)算積分常數(shù)，并將其值代回到轉(zhuǎn)角和撓曲線方程，獲得最終結(jié)果。

計(jì)算梁上任意一點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角和撓度時(shí)，總?cè)∞D(zhuǎn)角逆時(shí)針為正，位移向上為正。

3 求梁的轉(zhuǎn)角和位移的靜矩—面積法

靜矩—面積法提供了一種應(yīng)用圖解法求受彎構(gòu)件某指定位置轉(zhuǎn)角和位移的方法。這種方法需要計(jì)算與梁的彎矩圖有關(guān)的面積。因此當(dāng)彎矩圖比較簡單時(shí)，如梁上作用集中力或力偶時(shí)，這種方法將會十分簡潔。此種方法需要用到兩個定理（推導(dǎo)過程略）。

定理1[3]撓曲線上任意兩點(diǎn)的切線之間的夾角大小等于該兩點(diǎn)M/EI圖所圍的面積。

定理2[3]撓曲線上任意一點(diǎn)A處切線相對于另-任意點(diǎn)B處切線的垂直方向偏差tA/B,等于這兩點(diǎn)M/EI圖所圍面積對點(diǎn)A的靜矩。

分析步驟

M/EI圖

確定梁的約束反力，作梁的M/EI圖。若梁上只作用集中力，則M/EI圖將由若干個直線段組成，應(yīng)用兩個靜矩—面積定理，所需計(jì)算的圖形面積和靜矩將比較簡單。當(dāng)梁上作用若干個分布載荷時(shí)，M/EI圖將由拋物線或更復(fù)雜的高階曲線組成，此時(shí)建議查材料力學(xué)相關(guān)附錄計(jì)算圖形的面積和形心。

2）撓曲線

畫撓曲線的大致形狀。注意，梁上固定端的轉(zhuǎn)角和位移均為零，固定和活動鉸支座處的位移為零。

當(dāng)直接繪制撓曲線的大致形狀比較難時(shí)，可借助彎矩圖。切記，梁橫截面上作用正彎矩時(shí)，撓曲線為向下凸的曲線；當(dāng)作用負(fù)彎矩時(shí)，撓曲線為向上凸的曲線；在彎矩等于零的地方，撓曲線有拐點(diǎn)。

將需要求解的轉(zhuǎn)角和位移標(biāo)在撓曲線上。

靜矩—面積定理只是用來確定撓曲線上任意兩點(diǎn)切線間的夾角和偏差。因此，為了利用兩切線間的夾角和位移求解問題，應(yīng)注意首先選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)作切線。通常支座處的位移或轉(zhuǎn)角位零，所以應(yīng)選擇支座處作切線。

3）靜矩—面積定理

利用定理1求撓曲線上兩點(diǎn)切線間的夾角，利用定理2求切線間的相對偏差。

根據(jù)撓曲線示意圖上的夾角和偏差，校核結(jié)果的符號是否正確。

正的θB/A值說明B點(diǎn)切線相對于A點(diǎn)為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，正的tB/A值說明撓曲線上B點(diǎn)位于由A點(diǎn)所作切線的上方。

4 求梁的轉(zhuǎn)角和位移的疊加法

當(dāng)構(gòu)件上作用多個荷載時(shí)，可用疊加法求其變形。若由某載荷單獨(dú)作用時(shí)引起的位移為v1,另一載荷單獨(dú)作用時(shí)引起的位移為v2,則在這兩個載荷共同作用下的位移等于這兩個載荷單獨(dú)作用時(shí)位移的代數(shù)和v1+v2。受彎構(gòu)件在各種單獨(dú)載荷作用下的變形可由以上三種方法予以求解，亦可查閱相關(guān)工程設(shè)計(jì)手冊。當(dāng)梁承受多個載荷時(shí)，可以將每個力單獨(dú)作用的結(jié)果進(jìn)行代數(shù)疊加，求得梁上某指定點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和位移。

5 結(jié)語

本文介紹的四種求靜定梁的轉(zhuǎn)角和位移的方法，在機(jī)械、土木、水利等行業(yè)均有很強(qiáng)的實(shí)用性，只是不同的行業(yè)，對梁的轉(zhuǎn)角和位移的控制精度不同，采用的材料也不盡相同，也就是說材料的彈性模量不同，但是解決問題的思路是一樣的。

[1] 高等數(shù)學(xué) 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編 高等教育出版社，1998重印，218-221

[2] 鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與計(jì)算 包頭鋼鐵設(shè)計(jì)研究院，中國鋼結(jié)構(gòu)協(xié)會房屋建筑鋼結(jié)構(gòu)協(xié)會編著.北京-機(jī)械工業(yè)出版社，2000.3,474

[3] 材料力學(xué) 希伯勒 著； 汪越勝等譯.- 北京：電子工業(yè)出版社，2006.8 481-491