楊 磊 董 晶 李要輝（中國建筑材料科學(xué)研究總院，北京 100024）

1 概述

隨著航空工業(yè)的迅速發(fā)展，對航空飛行器用的透明材料也提出了更高的要求，尤其在強度方面由于涉及飛行器安全問題特別重要，要求飛行中遇到誤撞飛鳥或其他撞擊情況下至少有一層玻璃不能結(jié)構(gòu)性破壞，更不能穿透。同時，鑒于飛行器總體性能的要求，對航空透明件的設(shè)計提出了輕質(zhì)、高強度和高透明性的綜合要求。所以，在結(jié)構(gòu)設(shè)計開發(fā)階段，在降低重量、提高透光性的前提下，往往就要通過大量破壞性試驗確定結(jié)構(gòu)設(shè)計的安全性。由于多層結(jié)構(gòu)的飛機玻璃工藝復(fù)雜、成本高昂，按照一般統(tǒng)計技術(shù)要有足夠量的樣品數(shù)據(jù)才能評價材料的抗沖擊強度，這樣就會使開發(fā)成本大大增加。

本文介紹一種比較簡潔實用的強度評價方法，可以大大減少試驗所需的樣本量，而同樣獲得相當(dāng)?shù)脑囼灳扰c準確性，省工省料、方便快捷。其基本原理是：根據(jù)第一個試樣的結(jié)果來推測下一個試樣的試驗條件，也叫“升降法”，以此類推，數(shù)據(jù)就會自動集中在試樣的平均值附近，用適用的統(tǒng)計技術(shù)可以方便地統(tǒng)計出需要的結(jié)果，做出結(jié)構(gòu)強度預(yù)測。此方法比傳統(tǒng)統(tǒng)計技術(shù)一般要節(jié)約試樣樣本量大約30~40%，適合于試樣制備昂貴、變量不連續(xù)變化的數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理。

2 “升降法”原理分析

“升降法”也稱“臺階法”，這種方法是在1943年由美國Bruceton炸藥研究實驗室首先用在了炸藥感度研究中。其最大特點在于對于特定一個重量的沖擊體以一定高度自由落下撞擊炸藥時，觀察炸藥爆與不爆來確定下一個自由落下高度是應(yīng)該升高還是降低，然后統(tǒng)計出此炸藥的平均高度作為其炸藥感度。我們也借用此方法用來統(tǒng)計透明材料抗鳥撞沖擊能力。

航空透明件的抗鳥撞沖擊試驗一般是采用特定重量的雞，以海平面巡航速度Vc撞擊模擬安裝角度的透明材料上，并要求最內(nèi)層透明材料不破碎或呈現(xiàn)安全破碎。我們可以假定每個被測樣件本身都有一個臨界破壞強度，若能得到每個樣件的臨界破壞值，則可簡單地通過一組子樣本的簡單算術(shù)平均值來估計總體樣本的數(shù)學(xué)期望。由于每塊材料在沖擊試驗時只能進行一次，下一次沖擊試驗設(shè)定的沖擊強度/高度又不是連續(xù)變化，所以一次沖擊試驗根本無法確定該材料的臨界破壞速度，傳統(tǒng)的方法就要用足夠大的樣本量，在不同速度下觀察破壞的頻度來估計平均臨界破壞值，數(shù)據(jù)處理量大，計算煩瑣，需要大量樣品，不僅耗時，而且樣品制備昂貴、費用巨大。

因此，需要重新設(shè)計簡潔有效的試驗程序，采用“升降法”則可大量節(jié)約樣本量和試驗時間。該方法的試驗思路是：首先固定沖擊體的重量，則沖擊能與沖擊體的速度平方成正比，進一步把沖擊速度轉(zhuǎn)換成當(dāng)量（自由落體高度）來表示速度和沖擊能量，則自由落體基本原理。

選擇某個沖擊速度V0作為起始速度，利用公式（1）可得到相應(yīng)的初始當(dāng)量自由落體高度h0，觀察材料在這個速度下的破壞與否來決定下一個試驗樣品的沖擊速度和當(dāng)量高度，這樣在h0以上就有h1、h2、h3……，以下就有h-1,、h-2、h-3……，如果初始試驗樣品破壞，則第二個樣品就在一個低一級的高度h-1上進行，否則就在高一級的高度h1高度上進行，這樣，我們就可以得到一系列升降試驗數(shù)據(jù)?！吧捣ā币话銜x擇一個等間隔高度作為“臺階高度d=（hi+1-hi）作為恒定值”，這樣可以簡化計算方法，而臺階高度值的選擇往往會影響到估計值的準確性。這種方法最大的優(yōu)點是試驗數(shù)據(jù)會自動集中在總體樣本的數(shù)學(xué)期望附近，比傳統(tǒng)方法要節(jié)約樣本量大約30~40%左右。

脆性材料的抗沖擊強度分布若用落差高度表征，試驗結(jié)果表明并不完全是符合正態(tài)分布的，而是其高度的對數(shù)值服從正態(tài)分布，這樣按照對數(shù)高度，即使強度很低，也不可能出現(xiàn)實際高度為零甚至負數(shù)的不符合實際情理的現(xiàn)象出現(xiàn)。但在實際應(yīng)用中，選擇對數(shù)正態(tài)高度對試驗過程和計算比較煩瑣，只要初試高度與臺階高選擇得合適，不會出現(xiàn)負數(shù)高度現(xiàn)象，使得試驗過程和計算簡化。

假定試驗樣品材料的臨界初始沖擊高度為h0，作為第一次試驗的高度，其他試驗高度等間隔取值，取為d，則上面的高度分別有h0+d=h1、h0+2d=h2……，下面的高度分別有h0-d=h-1、h0-2d=h-2……，通過這組測試就有N個隨機數(shù)據(jù)：

式中N表示子樣本總數(shù)。

我們假定最臨近的一對失敗和成功數(shù)據(jù)作為這對數(shù)據(jù)的平均值，那么就有（hi+1+hi）/2或（hi-1+hi）/2可以得到N對“平均”數(shù)據(jù)，每對平均數(shù)據(jù)平均作為單獨一個變量，就可以計算出這組子樣本的綜合平均值 ，通過轉(zhuǎn)換可推導(dǎo)出計算公式：

A表示各個沖擊高度出現(xiàn)的頻度總和；ni表示出現(xiàn)的頻度；加或減0.5取決于選取成功還是失敗的數(shù)據(jù)而定。

利用上述（2）、(3)和（4）我們可以方便地計算出子樣本的平均當(dāng)量自由落體沖擊高度，再通過式（1）換算成速度V。

由于每次試驗都是獨立進行的，每個數(shù)據(jù)是獨立隨機變量，所選擇的每對平均數(shù)據(jù)也是一樣，這樣，我們就可以認為這N/2對數(shù)據(jù)都是獨立隨機變量，利用傳統(tǒng)統(tǒng)計技術(shù)就可計算出標準離差，但是又要一對一對地取數(shù)據(jù)算平均值，然后再計算標準離差非常繁瑣，可通過數(shù)據(jù)處理總結(jié)出了一個近似公式來計算：

用這些公式可以很方便地得出這組隨機變量的標準離差，根據(jù)平均值、標準離差，可以進一步估計出總體樣本在置信度為1-α的單側(cè)置信區(qū)間。

3 置信區(qū)間討論

在實際試驗中都是用子樣本均值來估計總體樣本的數(shù)學(xué)期望，而總體方差S2是未知的，可用樣本標準離差來估計，即樣本方差的估計量代替總體方差。對于由此帶來的數(shù)據(jù)可信度，可以通過置信區(qū)間的分析來解決。

3.1 雙側(cè)置信區(qū)間

利用數(shù)理統(tǒng)計知識，對于給定的置信水平α，可由t分布的分位點性質(zhì)得到隨機變量T落入該區(qū)域的概率為1-α，用數(shù)學(xué)表達式為：

或

即

于是得到均值的 置信度為1-α的置信區(qū)間為

3.2 單側(cè)置信限

在有些實際問題中，往往只關(guān)心置信區(qū)間的下限或上限，既給出置信區(qū)間[T1,+∞]或[-∞，T2]就可以，因此轉(zhuǎn)換成了區(qū)間估計的單側(cè)置信限問題。

對于航空透明件材料的抗沖擊強度應(yīng)該是越高越好，對于這種情況下，只需要考慮沖擊強度的下限即可，這就是置信下限問題，比如合同里規(guī)定的強度不得低于下限，也就是對材料的抗沖擊性能的下限范圍有了明確的要求，只要保證產(chǎn)品能超過規(guī)定的下限，則達到要求。

進一步變換公式（7）得到：

式（8）和（10）就是雙側(cè)置信區(qū)間和單側(cè)置信區(qū)間的數(shù)學(xué)表達式，在實際應(yīng)用中根據(jù)需要選用。

4 實際應(yīng)用舉例分析

我們以具體實例來說這些公式的應(yīng)用。

例如，有一款透明材料需要進行抗鳥撞性能測試，規(guī)定要求其應(yīng)能夠抗擊1.8公斤的鳥重、以每小時500公里的速度沖擊而不結(jié)構(gòu)型破壞，即最內(nèi)層材料不得破壞。根據(jù)以往經(jīng)驗我們可選擇550公里/小時作為沖擊初始速度。利用公式（1），計算出此速度相當(dāng)于自由落體高度為1191米；我們?nèi)?0公里/小時作為速度差來決定下一次試驗的沖擊，根據(jù)d=（hi+1 - hi），轉(zhuǎn)換成當(dāng)量高度差相當(dāng)于133米，通過實驗可得到了一組試驗數(shù)據(jù)升降圖：

表1 沖擊結(jié)果升降圖

利用公式（2）、（3）及（4），分別可以求得：

取成功數(shù)據(jù)時h0為1191：

取失敗數(shù)據(jù)時h0為1058：

兩者沒有區(qū)別，這樣我們知道該批樣本的平均抗鳥狀性能為1317米當(dāng)量自由落體高度，換回沖擊速度相當(dāng)于578公里/小時。

利用（5）與（6）式，我們得到：

得出這批樣品的標準離差為115米。有了平均值和標準離差，我們可以用來來估計置信度為95%的平均值h的置信區(qū)間問題。對于α取0.05,則查相關(guān)數(shù)理統(tǒng)計數(shù)據(jù)表中的t分布表得分位點，對于雙側(cè)置信區(qū)間t0.975(8)=2.306；對于單側(cè)置信區(qū)間t0.95(8)=1.859；再利用式（8）與（9）分別計算得出：置信度為95%的雙側(cè)置信區(qū)間為[1362,1538]米，對應(yīng)速度范圍[588,625]公里/小時；單側(cè)置信區(qū)間[1379,+ ∞]米，對應(yīng)速度范圍[592,+∞]公里/小時。

根據(jù)上面的計算結(jié)果，我們知道對此批次產(chǎn)品若要求抗鳥撞結(jié)果速度不得低于500公里/小時，而我們的得到的95%置信度下的單側(cè)置信區(qū)間在592公里/小時以上，因此我們就有很大的把握認為產(chǎn)品是安全和可靠的。

5 結(jié)論

1）升降法應(yīng)用在變量是非連續(xù)性變化的統(tǒng)計分析中時，比如沖擊高度，可以用較小的樣本量來估計總體的均值，特點是數(shù)據(jù)會自動地集中在均值（數(shù)學(xué)期望）附近波動，因此比傳統(tǒng)統(tǒng)計方法可以節(jié)約樣本量大約30~40%左右，能推測均值的范圍；

2）選擇合適的升降高度和初始高度，可以用正常高度來代替對數(shù)高度，使試驗過程簡化；

3）利用有限的樣本來推斷總體的均值95%置信度下的置信區(qū)間，可以了解批產(chǎn)品的保證強度概率范圍；