高優(yōu)靜，謝 榮

（陜西省機(jī)械研究院，陜西西安 712000）

一維階梯桿有限元建模與誤差分析?

高優(yōu)靜，謝 榮

（陜西省機(jī)械研究院，陜西西安 712000）

在Ansys、Pro／Mechanica、Cosmos環(huán)境下創(chuàng)建了一維階梯桿的有限元模型，采用不同有限元算法計(jì)算出一維階梯桿的應(yīng)力、應(yīng)變、位移。將真實(shí)結(jié)果與有限元軟件得出的近似解進(jìn)行求差，通過誤差分析對(duì)這三種有限元算法在靜力學(xué)分析方面的求解精度進(jìn)行比較，以此來評(píng)估這三種算法在處理同一問題時(shí)的優(yōu)劣性，為解決實(shí)際工程問題時(shí)選擇一種合適的有限元算法提供參考和依據(jù)。

有限單元法；一維階梯桿；靜態(tài)分析；誤差分析

1 引 言

目前，有限單元法已被廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)，已成為了工程設(shè)計(jì)和研究人員的重要工具。實(shí)踐表明，有限單元法是工程分析中重要的數(shù)值算法，工程中許多復(fù)雜的問題，以及計(jì)算難度大的問題，都可通過有限單元法獲得很好的計(jì)算結(jié)果［1］。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，加上相關(guān)專業(yè)領(lǐng)域的不斷進(jìn)步，關(guān)于有限單元法的一些數(shù)值算法也在不斷推陳出新，同時(shí)也產(chǎn)生了一些基于不同算法的有限元分析應(yīng)用軟件，如Ansys、Nastran、Abaqus、Marc、Cosmos等都是業(yè)界很優(yōu)秀的分析工具。

對(duì)于實(shí)際工程問題，選擇一種合適、快捷、計(jì)算精度能滿足要求的有限元分析工具，不僅可有效保證研究對(duì)象的安全性和可靠性［2］，同時(shí)也可提高分析問題和解決問題的效率。筆者以一維階梯桿為研究對(duì)象，通過三種不同算法的有限元分析軟件（Ansys、Pro／Mechanica、Cosmos）對(duì)其進(jìn)行靜力學(xué)分析，通過誤差分析對(duì)3種不同有限元算法在計(jì)算同一問題時(shí)的優(yōu)劣性進(jìn)行了比較，為處理實(shí)際工程問題時(shí)選擇一種合適的有限元分析工具提供了參考和依據(jù)。

2 一維階梯桿結(jié)構(gòu)

以一維階梯桿結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，通過有限單元法分析其在外力載荷作用下的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。一維階梯桿的結(jié)構(gòu)如圖1所示，左端鉸支，右端承受軸向載荷F，由桿1和桿2兩部分構(gòu)成，其材料屬性相同。已知相應(yīng)的彈性模量、泊松比、結(jié)構(gòu)尺寸及載荷分別為：E1＝E2＝2×107Pa，λ1＝λ2＝0.3，A1＝2，A2＝2 cm2，L1＝L2＝10 cm，F(xiàn)＝10 N。

圖1 1D階梯桿結(jié)構(gòu)

3 有限元分析

3.1 有限元建模

根據(jù)圖1信息，分別在 Ansys、Pro／Mechanica、Cosmos環(huán)境下創(chuàng)建一維階梯桿的有限元模型，如圖2所示。為使計(jì)算結(jié)果具有可比性，建模過程中邊界條件的處理及載荷施加位置均保持一致，同時(shí)采用相同的單元類型（即網(wǎng)格形狀均為四面體結(jié)構(gòu)），并通過網(wǎng)格控制保證3種環(huán)境下有限元模型具有相同的單元數(shù)量和自由度。有限元模型相關(guān)信息如表1所列。

圖2 1D階梯桿有限元模型

表1 有限元模型相關(guān)信息

3.2 靜力學(xué)分析結(jié)果

采用不同的有限元算法對(duì)1D階梯桿進(jìn)行靜力學(xué)分析，獲得了應(yīng)力、應(yīng)變和位移的圖解結(jié)果，如圖3～5所示。

圖3 Ansys計(jì)算結(jié)果

圖4 Mechanica計(jì)算結(jié)果

圖5 Cosmos計(jì)算結(jié)果

根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，可以統(tǒng)計(jì)獲得一維階梯桿結(jié)構(gòu)中桿1、桿2的應(yīng)力與應(yīng)變，以及點(diǎn)A、B、C處的位移，具體數(shù)值如表2所列。

表2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果 ／Pa

4 誤差分析

有限單元法在數(shù)學(xué)上是一種基于離散原理的近似數(shù)值算法，所以各種有限元分析軟件所計(jì)算出的結(jié)果與真實(shí)解之間都存在一定誤差，采用不同的算法，最終計(jì)算出的誤差大小也會(huì)有差異［3－4］。在此，筆者對(duì)1D階梯桿的有限元分析結(jié)果進(jìn)行誤差分析，即用有限元分析得出的近似解與材料力學(xué)方法計(jì)算出的準(zhǔn)確解求差，獲得計(jì)算結(jié)果的絕對(duì)誤差，通過絕對(duì)誤差的大小來衡量ANSYS、Pro／Mechanica、Cosmos這3種有限元分析軟件的求解精度，進(jìn)而得出不同有限元算法在靜力學(xué)分析方面的準(zhǔn)確性。將表2～4中的近似分析結(jié)果與文獻(xiàn)［4］中的理論準(zhǔn)確解進(jìn)行求差，分別得出3種有限元算法在計(jì)算1D階梯桿應(yīng)力、應(yīng)變、位移時(shí)的絕對(duì)誤差，如表5～7所列。

表3 應(yīng)變計(jì)算結(jié)果

表4 位移計(jì)算結(jié)果 ／m

表5 應(yīng)力計(jì)算誤差 ／Pa

表6 應(yīng)變計(jì)算誤差

表7 位移計(jì)算誤差 ／m

以理論計(jì)算準(zhǔn)確解為參考，表5～7中數(shù)據(jù)為正表示有限元分析近似結(jié)果偏大，數(shù)據(jù)為負(fù)表示近似結(jié)果偏小。對(duì)比表中數(shù)據(jù)可知，Cosmos的分析結(jié)果誤差最小，與真實(shí)解最相近，求解精度最高；Mechanica除A點(diǎn)位移之外其它物理量的求解誤差均小于An?sys，說明Mechanica的整體求解精度要高于Ansys，但是在邊界條件處理方面存在一定缺陷。由此可知，在結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析方面，Cosmos采用的快速有限元算法求解精度最高，Mechanica采用的自適應(yīng)求解算法次之，而Ansys采用的稀疏矩陣求解算法求解誤差與前兩者相比明顯偏大，所以在處理實(shí)際工程中的靜力學(xué)問題時(shí)，如果要求計(jì)算精度較高，可優(yōu)先考慮采用Cosmos進(jìn)行有限元分析。另外，由表中數(shù)據(jù)可以清晰地看出，不管是哪種有限元算法，最后計(jì)算出來的近似解與真實(shí)解之間的誤差均很小，可見一般情況下，這3種有限元分析軟件的計(jì)算結(jié)果與真實(shí)結(jié)果均很接近，只是接近的程度不同。

5 結(jié) 語

由以上分析可知，對(duì)于同一工程問題，不同的有限元算法分析結(jié)果存在明顯差異，即計(jì)算誤差有大有小。通過誤差分析，可有針對(duì)性地選擇一種計(jì)算精度較高的有限元算法來處理相關(guān)問題，以此提高計(jì)算精度，減小計(jì)算誤差。需要注意的是，這種近似誤差是不可避免的，只能盡量減小而無法消除，這也是有限元分析在工程應(yīng)用中應(yīng)該始終遵循的一個(gè)法則。

［1］ 朱伯芳.有限單元法原理與應(yīng)用［M］.第3版.北京：中國水利水電出版社，2009.

［2］ 劉國良.SolidWorks 2007完全學(xué)習(xí)寶典［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2007.

［3］ 詹友剛.Pro／Engineer中文野火版3.0快速入門教程［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

［4］ 曾 攀.有限元基礎(chǔ)教程［M］.北京：高等教育出版社，2009.

Finite Element Modeling and Error Analysis of 1D Bar

GAO You－jing，XIE Rong
（Mechanical Design Institute of Shaanxi Province，Xi′an Shaanxi 712000，China）

The finite element model of 1D bar is separately set up in Ansys，Pro／Mechanica and Cosmos software，the stress，strain and displacement of 1D bar are calculated by different finite element methods.The subtract is made between true results and approximations，then the calculate accuracy of the three finite element methods about static analysis are compared by error analysis，the advantage of the three algorithms are evaluated based on that，and a basis and reference are offered to choose an appropriate algorithm when solves engineering problem.

finite element method；1D bar；static analysis；error analysis

TS103.3

A

1007－4414（2013）04－0047－02

2013－06－04

高優(yōu)靜（1987－），女，陜西咸陽人，助理工程師，主要從事檢測(cè)與咨詢方面的工作。