欒 飛, 傅衛(wèi)平, 鄧明明， 王 雯, 來(lái)春為

(1.陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 陜西 西安 710021； 2.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 陜西 西安 710048)

0 引言

車間調(diào)度(Job-Shop Scheduling Problem，簡(jiǎn)稱JSP)主要是針對(duì)一項(xiàng)待加工任務(wù)，尋求在滿足生產(chǎn)加工的各種約束條件下，通過(guò)安排工件使用哪些設(shè)備加工的先后順序，進(jìn)而達(dá)到制造總時(shí)間最短或總成本最低[1].在理論研究中，車間調(diào)度問(wèn)題常被分為動(dòng)態(tài)車間調(diào)度問(wèn)題和靜態(tài)車間調(diào)度問(wèn)題.當(dāng)安排完工件的加工順序后，在下達(dá)執(zhí)行過(guò)程中，沒(méi)有任何突發(fā)事件發(fā)生，也就是加工前安排的順序不需要做任何修改和變動(dòng)，這種調(diào)度問(wèn)題成為靜態(tài)調(diào)度.相反，如果在加工過(guò)程中，有各種突發(fā)事件發(fā)生，進(jìn)而要重新進(jìn)行調(diào)度的問(wèn)題稱為動(dòng)態(tài)調(diào)度.

目前解決車間調(diào)度的方法主要有：滾動(dòng)窗口、規(guī)則仿真、多智能體和智能算法等[1-5].基于滾動(dòng)窗口的方法主要是將整個(gè)調(diào)度問(wèn)題分解為在各個(gè)子區(qū)間段的調(diào)度問(wèn)題，通過(guò)尋求各子區(qū)間的最優(yōu)調(diào)度結(jié)果，來(lái)達(dá)到尋求整個(gè)調(diào)度問(wèn)題最優(yōu)解的目的，其難點(diǎn)在于選擇子區(qū)間的大小不好確定；基于規(guī)則的調(diào)度方法，首先設(shè)定好的規(guī)則庫(kù).加工開(kāi)始后，根據(jù)相應(yīng)規(guī)則決定下一步操作的方案.其優(yōu)點(diǎn)是不必進(jìn)行大量的計(jì)算，方便易行.缺點(diǎn)是靈活性差，難以適應(yīng)不確定變化;基于多智能體的方法，通過(guò)把人工智能的Agent概念引入車間調(diào)度工作中，將車間生產(chǎn)的各個(gè)組成部分看作一個(gè)個(gè)具有獨(dú)立思維能力、對(duì)外協(xié)作能力和通訊能力的Agent，多個(gè)Agent相互協(xié)商來(lái)完成車間調(diào)度;基于人工智能的優(yōu)化算法，由于對(duì)于問(wèn)題模型的要求不高，且能夠利用某些機(jī)制跳出局部最優(yōu)，得到全局最優(yōu)解，使得其在求解生產(chǎn)調(diào)度等復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題中得到了廣泛的應(yīng)用，但當(dāng)調(diào)度問(wèn)題的規(guī)模達(dá)到一定程度時(shí)，其解的質(zhì)量與計(jì)算速度就得不到保障[6].

傳統(tǒng)遺傳算法，在理論上可以搜索得到最優(yōu)解，但在求解實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生大量的非法解，使得算法收斂速度大大降低，當(dāng)種群數(shù)量達(dá)到一定規(guī)模后，解域隨之增大，使得種群采樣點(diǎn)對(duì)于解域的全局覆蓋率就會(huì)降低，從而增大了算法“早熟”的概率.

因此，本文采用多色集合理論中的圍道矩陣來(lái)建立遺傳算法的約束模型，使得編碼、解碼和變異等遺傳操作在圍道布爾矩陣的范圍內(nèi)進(jìn)行，使算法的搜索過(guò)程在有效的解域內(nèi)進(jìn)行.也就是說(shuō)，改進(jìn)后的遺傳算法通過(guò)縮小解的搜索范圍，來(lái)保證所得解的有效性，并提高了算法的收斂速度.

1 車間調(diào)度問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型[7]

在描述JSP問(wèn)題時(shí)，假設(shè)M代表設(shè)備數(shù)量，N代表工件數(shù)量，P為工序數(shù)量，I為所有設(shè)備的集合.Ieg表示工件e的第g道工序的可選設(shè)備集合，Ieg?I；Je為工件e需要加工的工序數(shù).X表示工件的加工順序，Segk為工件e的第g道工序在設(shè)備k上的開(kāi)始加工時(shí)間；Eegk為工件e的第g道工序在設(shè)備k上的完工時(shí)間；Tegk為工件e的第g道工序在設(shè)備k上的加工時(shí)間，且k∈Ieg，則有Eegk=Segk+Tegk；Ep為最后加工工序的完工時(shí)間；MS為所有工件的最后完工的時(shí)間.

當(dāng)工件e的第g道工序和工件i的第j道工序在同一臺(tái)設(shè)備上執(zhí)行，同時(shí)工序j僅先于工序g加工時(shí)，Qijeg=1，否則Qijeg=0；若工件e的第g道工序在設(shè)備k上執(zhí)行，則Xegk=1，否則Xegk=0.

若某調(diào)度問(wèn)題共有S種加工順序，要求總的流通時(shí)間最短的加工順序，先求取每個(gè)加工順序x(x∈{1,…,S})對(duì)應(yīng)的工件流通時(shí)間.顯然，順序x中最后加工工序的完工時(shí)間即是所有工件的最后完工時(shí)間.

MS=Ep

(1)

目標(biāo)函數(shù)F(x)為

F(x)=min(MSx)=min((Ep)x)

(2)

X=1,…,S

S.T.Segk-Ee(g-1)n≥0

e=1,…,N;g=1,…,Je;Xegk=1,Xe(g-1)n=1

(3)

Segk-Eigk≥0

e=1,…,N;g=1,…,Je;Xijk=1,Xegk=1,Qijeg=1

(4)

在本文的車間調(diào)度問(wèn)題中，假設(shè)有5種不同類型的工件，工件的最大工序數(shù)為6，各工件的批量分別為5，4，3，2，1，則共有工件15件，且每道工序可以加工的設(shè)備有多臺(tái)，加工設(shè)備共有6類.調(diào)度的目標(biāo)是針對(duì)待加工任務(wù)尋找一個(gè)合理的加工順序方案，使得總的加工流程時(shí)間最短.

2 基于多色集合的車間調(diào)度約束模型

2.1 多色集合理論簡(jiǎn)介

多色集合理論是一種新的系統(tǒng)理論和信息處理的數(shù)學(xué)工具.它的核心思想就是使用相同的數(shù)字模型仿真不同的對(duì)象(產(chǎn)品、設(shè)計(jì)過(guò)程、工藝過(guò)程和生產(chǎn)系統(tǒng)等)，描繪元素間的層次結(jié)構(gòu)和復(fù)雜關(guān)系，在集合層和邏輯層組織和處理信息，在數(shù)量層解決底層數(shù)量大小問(wèn)題[8-10].

圍道，即是多色集合中的顏色，在應(yīng)用中代表被仿真對(duì)象的性質(zhì)、屬性、特性等，是系統(tǒng)技術(shù)概念的抽象和概括.一般用多色集合和多色圖對(duì)復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)或機(jī)械產(chǎn)品進(jìn)行仿真時(shí)，常常用“圍道”這一概念替換“顏色”這一術(shù)語(yǔ)[11].

2.2 基于多色集合的數(shù)學(xué)模型

本文以一個(gè)5×6的JSP調(diào)度問(wèn)題為例，運(yùn)用多色集合理論來(lái)描述工藝與機(jī)床之間的約束關(guān)系,如表1所示；進(jìn)一步可以獲得工序-機(jī)床圍道布爾矩陣，如圖1，圖2，圖3, 圖4, 圖5所示，通過(guò)該圖可以清楚地看到同一類工件的工序及對(duì)應(yīng)加工機(jī)床的實(shí)時(shí)狀態(tài).

圖1 工件1的工序—機(jī)床圍道矩陣

圖2 工件2的工序—機(jī)床圍道矩陣

圖3 工件3的工序—機(jī)床圍道矩陣

圖4 工件4的工序—機(jī)床圍道矩陣

圖5 工件5的工序—機(jī)床圍道矩陣

在各類工件對(duì)應(yīng)的工序-機(jī)床圍道矩陣中，行表示加工設(shè)備的編碼；列表示對(duì)應(yīng)工件工序編碼；矩陣內(nèi)數(shù)據(jù)為1，表示橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)工序可以在縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的機(jī)床上加工，0則相反.

2.3 車間調(diào)度的約束模型

本文通過(guò)建立工序—機(jī)床圍道矩陣作為車間調(diào)度的約束模型,遺傳算法的相應(yīng)操作都在其范圍內(nèi)進(jìn)行.通過(guò)約束模型中搜索相關(guān)信息，可以得到工序隱性編碼序列如表2所示.求解時(shí)，通過(guò)搜索相應(yīng)的工序—機(jī)床圍道矩陣,找到工序的機(jī)床編碼,再根據(jù)機(jī)床的實(shí)時(shí)狀態(tài)選擇相應(yīng)機(jī)床編碼進(jìn)行染色體的顯性編碼.通過(guò)以上操作，使GA算法的所有操作都在圍道矩陣內(nèi)進(jìn)行,大大縮小了搜索的范圍,克服了傳統(tǒng)遺傳算法的各種不足.另一方面,通過(guò)采用單層隱性GA編碼,使得算法的空間與時(shí)間復(fù)雜度得到了降低，也有效地提高了GA的搜索效率.

表2 工序隱性編碼信息表

3 改進(jìn)后的GA操作設(shè)計(jì)

3.1 改進(jìn)GA的操作流程

遺傳操作的內(nèi)容包括：編碼解碼、適應(yīng)度評(píng)價(jià)、選擇、交叉和變異.就車間調(diào)度問(wèn)題而言，其屬于NP-hard問(wèn)題，在求解過(guò)程中必須要考慮解的合法性和可行性，求解的目的不僅要尋找最佳的排序方案，還要選擇最合適的加工設(shè)備.針對(duì)車間調(diào)度問(wèn)題的這種特征，使得相應(yīng)的遺傳操作過(guò)程也較為復(fù)雜.圖6為基于多色集合約束模型的遺傳算法求解JSP問(wèn)題流程圖.

圖6 基于約束模型的遺傳算法流程圖

3.2 改進(jìn)GA的編碼

車間調(diào)度問(wèn)題的遺傳編碼必須考慮其合法性和可行性，具體可按以下步驟進(jìn)行.

(1)以總工序數(shù)作為染色體的長(zhǎng)度.例如，有A、B、C、D、E類工件數(shù)量為分別為5、4、3、2、1，則首先對(duì)工件加工次序進(jìn)行隨機(jī)排序，生成顯性染色體如下.

BACDABCABACBEAD

其中：第一次出現(xiàn)的B表示B類工件的第一個(gè)，第二次出現(xiàn)的B表示B類工件的第二個(gè)，以此類推.

通過(guò)搜索相應(yīng)的工序-機(jī)床圍道布爾矩陣信息，產(chǎn)生對(duì)應(yīng)隱性染色體，如下所示.

B11…B1mA11…A1mC11…C1m…DK1…DKm

其中：A11為A類產(chǎn)品的第一個(gè)工件的第一道工序，其余以此類推.

(2) 染色體的確定.本方案將工序的可用機(jī)床代碼作為遺傳操作的染色體，也就是染色體的信息可以直接從圍道矩陣中獲取，進(jìn)而可以保證解的有效性，縮小搜索范圍，提高收斂速度.

以上述5×6的多件調(diào)度問(wèn)題為例，根據(jù)圍道矩陣生成的染色體編碼，如下所示.

213412312132514

根據(jù)染色體中的工件信息，搜索相應(yīng)工件的工序-機(jī)床圍道矩陣，找出可對(duì)其加工的機(jī)床信息，產(chǎn)生隱性染色體編碼，如下所示.

443651156400134235354000126100543624131235456400546621123100131235413654320000153400651000

1～6碼位為第一個(gè)工件2的工序隱含位，完成這6道工序的加工機(jī)床為：4、4、3、6、5、1，以此類推，后面的各段連續(xù)6位碼位分別表示對(duì)應(yīng)工件的加工機(jī)床信息.

3.3 改進(jìn)GA的解碼

解碼的目的在于按照工藝約束模型來(lái)計(jì)算每道工序的開(kāi)始時(shí)間、完工時(shí)間.具體過(guò)程為：根據(jù)染色體編碼，反向搜索各工件的工序-機(jī)床圍道矩陣，從而獲得各工序在相應(yīng)機(jī)床上的加工時(shí)間，并在滿足各工件內(nèi)部工序約束的基礎(chǔ)上，按照染色體(加工機(jī)床編碼)對(duì)應(yīng)的工序，來(lái)對(duì)毎臺(tái)機(jī)床上安排的所有工序進(jìn)行排序.例如，上例的5×6的單件調(diào)度問(wèn)題所生成的一條染色體如下：

153400413654432235651000320000

根據(jù)染色體編碼序列獲取各個(gè)機(jī)床的加工信息如下：

機(jī)床1的可加工工序?yàn)椋篈的工序(1)、B的工序(2)、C的工序(3)、D的工序(3)、E的工序(3)，后續(xù)機(jī)床與此類似.

根據(jù)機(jī)床的可加工工序編寫(xiě)出染色體中的機(jī)床，找到對(duì)應(yīng)的時(shí)間，計(jì)算相關(guān)參數(shù)如下：

每道工序的開(kāi)始時(shí)間=max(機(jī)床的最早釋放時(shí)間，上到工序的最早完成時(shí)間)

每道工序的完工時(shí)間=此工序的開(kāi)始時(shí)間+工序的加工時(shí)間=完成此道工序的機(jī)床釋放時(shí)間

此時(shí)，須注意在計(jì)算時(shí)間時(shí)，還得考慮不能超過(guò)機(jī)床的最大約束時(shí)間，這在生產(chǎn)排程中是要優(yōu)先考慮的，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是求總的加工流程時(shí)間的最小值.具體過(guò)程如下：

(1)將每臺(tái)機(jī)床上各工件的第一道工序先進(jìn)行排產(chǎn)，并返回工序-機(jī)床圍道矩陣，獲取其對(duì)應(yīng)加工時(shí)間.

(2)按照工序約束與機(jī)床約束的雙重約束，依次確定各機(jī)床上各任務(wù)的開(kāi)始和完工時(shí)間.

(3)確定出每臺(tái)機(jī)床上所有任務(wù)的開(kāi)始和完工時(shí)間，即可獲所有任務(wù)的排程方案，也就完成了解碼過(guò)程.

對(duì)于多批量調(diào)度問(wèn)題的解碼方式，與上述的單件調(diào)度問(wèn)題類似.

3.4 基于約束模型的適應(yīng)度值計(jì)算[7]

在遺傳算法中，以個(gè)體適應(yīng)度的大小來(lái)確定該個(gè)體被遺傳到下一代群體中的概率.個(gè)體的適應(yīng)度越大，該個(gè)體被遺傳到下一代的概率也越大.反之則越小.個(gè)體適應(yīng)度具體計(jì)算過(guò)程如下.

設(shè)公式(1)對(duì)應(yīng)函數(shù)值為fk，定義適應(yīng)度函數(shù)fit(k)為fk的倒數(shù)，即

fit(k)=1/fk

(5)

式中：k-染色體標(biāo)識(shí).

可知公式(5)滿足適應(yīng)度函數(shù)要求，即

(1)由fk>0，可知fit(k)>0，則滿足非負(fù)性要求.

(2)目標(biāo)函數(shù)值fk減小時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)fit(k)的值增大，而調(diào)度優(yōu)化的目標(biāo)是求得目標(biāo)函數(shù)值fk的極小值，所以目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化方向?qū)?yīng)適應(yīng)度增大的方向.

適應(yīng)度值的計(jì)算過(guò)程如下.

步驟1 計(jì)算染色體中按解碼后的順序加工的各工序的開(kāi)始時(shí)間和完工時(shí)間.

設(shè)工序i(i=1，…，n)的開(kāi)始時(shí)間為Si,完工時(shí)間為Fi，在設(shè)備j上的加工時(shí)間為Pi，則Fi=Si+Pi，所以主要是計(jì)算Si.Si的計(jì)算過(guò)程如下：

(a)根據(jù)工序i的編號(hào)，搜索工序—機(jī)床圍道布爾矩陣，確定它是所屬工件的第幾道工序.若i不是所屬工件的第一道工序，則搜索工序—機(jī)床圍道布爾矩陣，確定工序i所屬工件的上一道工序的編號(hào)i0，再根據(jù)工序編號(hào)i0確定工序i所屬工件的上一道工序的完工時(shí)間為PREFi，則要求Si≥PREFi；若i是所屬工件的第一道工序，則要求Si≥0.

(b)根據(jù)工序i的編號(hào)，確定加工工序i在設(shè)備j上加工的上一道工序的編號(hào).若工序i是設(shè)備j上的第一道工序，設(shè)備j開(kāi)始加工的時(shí)間為MSj，則要求Si≥MSj；若工序i不是設(shè)備j上的第一道加工工序，設(shè)備j上加工的上一道工序的完工時(shí)間為PREMj，則要求Si≥PREMj.

步驟2 根據(jù)公式計(jì)算fk.

步驟3 根據(jù)公式計(jì)算適應(yīng)度f(wàn)it(k).

3.5 選擇與交叉

在選擇染色體時(shí)，按照適應(yīng)度值的計(jì)算結(jié)果，將對(duì)應(yīng)適應(yīng)度值最好的染色體不經(jīng)過(guò)后續(xù)環(huán)節(jié)，直接復(fù)制進(jìn)入下一代種群，以此來(lái)保證優(yōu)良基因的傳播.

交叉是按一定的交叉概率P隨機(jī)選擇兩個(gè)染色體，然后交換兩個(gè)個(gè)體上對(duì)應(yīng)的部分基因段，產(chǎn)生兩個(gè)新個(gè)體，之后在解的空間中進(jìn)行有效搜索，以確定哪些是適應(yīng)度較高的個(gè)體，進(jìn)而進(jìn)行后續(xù)操作.對(duì)于交叉操作來(lái)，交叉算子的設(shè)計(jì)是其中的關(guān)鍵工作，一般要求既不要太多地破壞個(gè)體編碼串中的優(yōu)良模式，又要能夠有效地產(chǎn)出一些較好的新個(gè)體.交叉算子的設(shè)計(jì)包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：如何確定交叉點(diǎn)的位置；如何進(jìn)行部分基因交換.交叉的具體操作過(guò)程如下所示(其中斜體部分為交叉的片段).

父代染色體為：

Chrom1

153400413654431235651000320000

Chrom2

423100446651164512321000120000

子代染色體為：

Chrom1′

153400446651164512321000120000

Chrom2′

153400413654431235651000320000

3.6 基于約束模型的變異

本文的變異過(guò)程也是在圍道矩陣的約束下進(jìn)行的.首先，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定變異概率Pi，再據(jù)此確定變異的基因碼位i.然后，搜索工序-機(jī)床圍道布爾矩陣，尋找對(duì)應(yīng)碼位的可替換機(jī)床編碼，進(jìn)而產(chǎn)生新個(gè)體.最后，計(jì)算新個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)Z′，并比較新舊染色體對(duì)應(yīng)的Z與Z’，如果Z′較Z優(yōu)秀，則變異，反之則不變異.

舊染色體為：

153400413654431235651000320000

需要變異的碼位為：2、8、13、16

新染色體為：

123400443654631535651000320000

4 仿真實(shí)例

以上述5×6單件調(diào)度問(wèn)題為例，在該例當(dāng)中有五種產(chǎn)品分別為：A、B、C、D、E,每個(gè)工件最多有6道工序，可供選擇的機(jī)床為6臺(tái).總工序數(shù)=工件數(shù)×max(各工件所包含的工序數(shù))，結(jié)果為5×6=30道工序.

以調(diào)度任務(wù)開(kāi)始執(zhí)行時(shí)刻為零時(shí)刻，設(shè)各臺(tái)設(shè)備相對(duì)該時(shí)刻的開(kāi)始加工時(shí)間為0.運(yùn)行參數(shù)如下：種群大小為50,交叉概率為0.6，變異概率為0.08，最大進(jìn)化代數(shù)為100.用MTILAB語(yǔ)言編寫(xiě)仿真程序，其運(yùn)行結(jié)果的遺傳曲線如圖7所示(其中，橫坐標(biāo)表示遺傳算法的迭代次數(shù)；縱坐標(biāo)表示遺傳算法每一次迭代所得到的最小完工時(shí)間).

圖7 實(shí)例仿真遺傳進(jìn)化曲線

圖8 實(shí)例仿真的調(diào)度結(jié)果甘特圖

由圖7的GA進(jìn)化曲線可知，最優(yōu)解為85 minute(最短加工時(shí)間).算法能夠在40代時(shí)，從97較快地收斂到85，且得到的結(jié)果較穩(wěn)定，對(duì)應(yīng)的調(diào)度結(jié)果甘特圖如圖8所示(其中，橫坐標(biāo)表示加工時(shí)間；縱坐標(biāo)表示對(duì)應(yīng)的加工設(shè)備；矩形圖表示工件在對(duì)應(yīng)機(jī)床上的加工時(shí)間跨度).例如，C-1表示，工件C的第一道工序在M1上加工，起止時(shí)間為0～9 minute.

5 總結(jié)

由于車間調(diào)度問(wèn)題屬于復(fù)雜的NP-hard問(wèn)題,受到了多種因素約束，運(yùn)用傳統(tǒng)遺傳求解確實(shí)可以得到一些較優(yōu)解，但是在求解過(guò)程難免會(huì)出現(xiàn)諸如“早熟”、“非法解”、“收斂過(guò)慢”等問(wèn)題，使得其在實(shí)際車間作業(yè)調(diào)度領(lǐng)域的應(yīng)用受到極大的限制.

針對(duì)這種不足，本文引入多色集合理論的圍道矩陣來(lái)建立車間調(diào)度問(wèn)題的多重約束模型，使得建模方式大大簡(jiǎn)化.另外，采用了單層遺傳編碼方法，使得遺傳編碼的空間和時(shí)間復(fù)雜度得到了降低，進(jìn)而使搜索過(guò)程更加簡(jiǎn)單明了.因此，改進(jìn)后的遺傳

算法能有效地克服傳統(tǒng)遺傳算法的諸多缺點(diǎn)，使得遺傳算法在車間調(diào)度領(lǐng)域的應(yīng)用更加廣泛.最后，還通過(guò)具體實(shí)例的仿真，驗(yàn)證了該算法的優(yōu)勢(shì).

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