張凱

（南京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210016）

單電磁矢量傳感器便可以實(shí)現(xiàn)入射電磁波信號(hào)的DOA和極化參數(shù)估計(jì)，具有經(jīng)濟(jì)、簡單、安裝方便、節(jié)省空間等優(yōu)點(diǎn)，近年來，利用單個(gè)電磁矢量傳感器進(jìn)行DOA和極化參數(shù)估計(jì)問題成為陣列信號(hào)參數(shù)估計(jì)的研究熱點(diǎn)之一，受到學(xué)術(shù)界的高度重視。

在眾多高分辨DOA估計(jì)算法中，基于特征分解的MUSIC算法是空間譜估計(jì)理論的標(biāo)志性算法，標(biāo)志著空間譜估計(jì)進(jìn)入了繁榮階段。以往的任何算法，如MVM和CPF等都是對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行直接的處理，而MUSIC算法的思想是將接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣按特征分類。它將觀測空間分解為相互正交的信號(hào)子空間和噪聲子空間，利用這兩個(gè)空間的正交性來估計(jì)信號(hào)的參數(shù)（DOA、極化參數(shù)等）。

文中研究在有電磁波信息鏈的條件下，基站發(fā)射的測控電磁波的極化橢圓率不隨坐標(biāo)系變化而變化，即在發(fā)射端和接收端是一致的，飛行器通過單電磁矢量傳感器估計(jì)DOA和極化角。

1 旋轉(zhuǎn)矩陣的指數(shù)表示

在三維中，旋轉(zhuǎn)可以通過單一的旋轉(zhuǎn)角θ和所圍繞的單位方向向量 v=（x，y，z）來定義。 三維空間任意旋轉(zhuǎn)矩陣[1]為：

式（1）可由單一矩陣的指數(shù)函數(shù)形式來表示：

證明：記矩陣

對(duì)于任意的n階矩陣A，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=J為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型[2]。其中，

把（4）（5）帶入（6）經(jīng)過化簡計(jì)算得式（1）結(jié)果。 證畢。稱式（2）為旋轉(zhuǎn)矩陣的生成元表達(dá)方式。其中，

稱作旋轉(zhuǎn)向量。下面介紹旋轉(zhuǎn)向量的求解。

表示 （1） 式中任意一個(gè)三維旋轉(zhuǎn)矩陣，mij，i=1，2，3；j=1，2，3表示旋轉(zhuǎn)矩陣的第i行j列的每一個(gè)元素。

任意旋轉(zhuǎn)矩陣 M（v，θ）的跡滿足

因此由（7）（10）（12）可得到旋轉(zhuǎn)向量 φ。

2 單電磁矢量傳感器信號(hào)接收模型

電磁波信號(hào)s（t）沿-u方向傳播，如圖1所示。電磁波空間到達(dá)方向用方位角和仰角（φ，θ）表示，φ∈=[0，2π]，θ∈[0，π]。時(shí)諧平面電磁波波達(dá)平面內(nèi)電場和磁場矢量呈橢圓狀旋轉(zhuǎn)，極化狀態(tài)用極化橢圓描述子（γ，η）表示，γ∈[-π/2]，η∈[-1π/4，π/4]，如圖2所示。當(dāng)η=0時(shí)，極化橢圓壓縮為長軸所在的直線，η=±π/4時(shí)，極化橢圓為圓形。在測控應(yīng)用中，極化橢圓率η可設(shè)定為一個(gè)或幾個(gè)固定值，這樣信號(hào)空域-極化域的四個(gè)參數(shù)中有一個(gè)明確。本文正是考慮在測控應(yīng)用中的信號(hào)參數(shù)估計(jì)。

圖1 接收信號(hào)的正交矢量Fig.1 Orthonormal vector triad

設(shè) XE（t），XH（t）分別為接收信號(hào)的 3×1 維電場分量和 3×1 維磁場分量，NE（t）和 NH（t）分別為 3×1 維電場噪聲矢量和3×1維磁場噪聲矢量。假設(shè)噪聲均為零均值的復(fù)高斯白噪聲，電場噪聲功率和磁場噪聲功率分別為和。對(duì)于所有的t和s，以下兩式成立：

圖2 空間極化電磁波橢圓狀旋轉(zhuǎn)電場Fig.2 Electric polarization ellipse

全電磁矢量傳感器接收信號(hào)描述為[3]：

其中I為3×3單位矩陣，u為電磁矢量傳感器接收到的指向信號(hào)源的單位向量[3]，

A=VQw為極化-空域?qū)蚴噶縖4-5]，

信號(hào)的數(shù)學(xué)描述是研究運(yùn)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)的基礎(chǔ)，傳統(tǒng)的描述表達(dá)不利于姿態(tài)估計(jì)計(jì)算的展開，將全電磁矢量傳感器接收信號(hào)極化-空域?qū)蚴噶緼=VQw演化為

這樣的導(dǎo)向矢量利用旋轉(zhuǎn)向量 φ=（φ1，φ2，φ3） 來表達(dá)便于姿態(tài)參數(shù)的計(jì)算，顯出信號(hào)中包含的三維姿態(tài)信息，也顯示出極化域的自由度只有2?？紤]以下關(guān)系：

得到（15）中電磁矢量傳感器接收模型變?yōu)?/p>

3 波達(dá)方向和極化角估計(jì)

常規(guī)MUSIC算法的基本出發(fā)點(diǎn)是對(duì)陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，而單個(gè)電磁矢量傳感器相當(dāng)于一個(gè)六元陣列，其輸出是六維的復(fù)矢量，仍能獲得這樣的“陣列”輸出協(xié)方差矩陣。所以將常規(guī)MUSIC算法應(yīng)用到單個(gè)電磁矢量傳感器中是完全可行的。

但是需要注意：這種特殊的六元陣列也和普通的陣列有所不同，在通常的陣列信號(hào)處理中，由于每個(gè)傳感器的“對(duì)等性”，常假設(shè)每個(gè)陣元（標(biāo)量傳感器）具有相同的噪聲功率σ2。以六元的普通陣列接收K個(gè)信號(hào)為例，自相關(guān)矩陣的特征值有兩部分組成[6]：前K個(gè)特征值為σ2+α2i，后6-K個(gè)特征值全部等于噪聲功率σ2。這樣只要有足夠的信噪比，就可以將前K個(gè)較大的特征值和6-K個(gè)較小的特征值區(qū)分開來。但是在單電磁矢量傳感器中，本文中假設(shè)電場噪聲功率和磁場功率不完全相等，所以以上條件并不滿足，則不能完全將陣列MUSIC算法照搬到單矢量傳感器中，需要另作討論。

假設(shè)個(gè)獨(dú)立的完全極化電磁波信號(hào)入射到單個(gè)電磁矢量傳感器上，第個(gè)信號(hào)的波達(dá)方向?yàn)?，極化傾角為，極化橢圓率=已知。定義新的測量模型：

其中，r為磁場噪聲標(biāo)準(zhǔn)差和電場噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的比值：r=σH/σE，并設(shè) σ2=。則（20）式中的噪聲模型滿足對(duì)于所有的 t和s，

這樣（25）式可以寫為：

B（φ）為導(dǎo)向矢量矩陣A（φ）的前三行元素同時(shí)乘以 r后三行元素不變所形成的等效導(dǎo)向矢量矩陣噪聲模型可以表示為：

這樣（27）（28）所示的信號(hào)模型滿足MUSIC算法的條件。

輸入數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為：

其中RS是信號(hào)協(xié)方差矩陣，對(duì)R進(jìn)行特征值分解得到

其中，US是由K個(gè)大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量張成的子空間，稱為信號(hào)子空間，而UN是由6-K個(gè)小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量張成的子空間，稱為噪聲子空間。由（10）（11）可得：

這說明B（Θ）的各列向量與噪聲子空間正交，故有：

由以上噪聲特征向量和導(dǎo)向矢量的正交關(guān)系，得到MUSIC算法的空間譜函數(shù)為：

使 φ1，φ2，φ3變化，通過搜索尋求式（36）譜峰對(duì)應(yīng)的 φ1，φ2，φ3。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)考查兩個(gè)獨(dú)立的完全極化測控電磁波入射到單個(gè)電磁矢量傳感器上，兩個(gè)信號(hào)的參量分別設(shè)置為（φ1，θ1，γ1，η1） =（270°，60°，30°，15°）， （φ2，θ2，γ2，η2） =（60°，30°， -60°，15°）。信噪比SNR=10 dB，附加噪聲為高斯白噪聲，噪聲方差為σ2=1，r=2采樣點(diǎn)數(shù)N=1 000。實(shí)驗(yàn)分別考查相同入射信號(hào)，通過矩陣乘積的形式和矩陣生成元形式在估計(jì)信號(hào)參數(shù)上的性能。

圖3是在固定極化橢圓角情況下，得到的譜圖（峰值均放大100倍后圖），觀察4個(gè)譜圖上面兩個(gè)，我們知道在極化角正好為入射信號(hào)的極化角時(shí)，出現(xiàn)兩個(gè)光滑尖銳譜峰，其中最大峰對(duì)應(yīng)的方位角和俯仰角也與入射信號(hào)一致；觀察四個(gè)譜圖的下面兩個(gè)當(dāng)極化角不為入射信號(hào)的極化角時(shí)，出現(xiàn)兩個(gè)或多個(gè)最大譜峰，譜峰不光滑也不尖銳。

采用矩陣生成元方式是，由前面兩個(gè)入射信號(hào)得到的旋轉(zhuǎn)向量分別為 （φ11，φ12，φ13）=（-1.209 2，-0.442 6，-1.621 8），（φ21，φ22，φ23）=（1.200 1，0.107 2，1.200 1）， 通過使（φ1，φ2，φ3）變化搜索得到的兩個(gè)譜峰為（，）=（-1.207 0，-0.441 3，-1.643 0），（，，）=（-1.193 1，-0.108 0，-1.199 5），基

圖3 矩陣乘積形式的譜圖Fig.3 Spectrum of matrix multiplication form

圖4 矩陣生成元形式的譜圖Fig.4 Spectrum of matrix generation element form

5 結(jié) 論

文中主要介紹了單電磁矢量傳感器對(duì)測控電磁波進(jìn)行信號(hào)DOA和極化角估計(jì)的問題。將傳統(tǒng)的MUSIC算法拓展到電磁矢量傳感器中，對(duì)極化-空域?qū)蚴噶坑靡环N矩陣指數(shù)的形式來表示，簡化了參數(shù)估計(jì)，仿真實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了此方法的有效性。本文是在對(duì)電磁波信號(hào)、噪聲、傳播介質(zhì)、工作環(huán)境等都做出了合理的理想化假設(shè)基礎(chǔ)上的提出的參數(shù)估計(jì)算法，沒有考慮天線的交叉極化、散射干擾、多徑效應(yīng)、基站誤差等因素，實(shí)際應(yīng)用估計(jì)精度有所降低。

[1]Shuster M D.A survey of attitude representations[J].Journal of the Astronauti cal Scienece，1993，41（4）：439-517.

[2]戴華.矩陣論[M].北京:科學(xué)學(xué)出版社，2007.

[3]Nehorai A，Paldi E.Vector-sensor array processing for electromagnetic source localization[J].IEEE Trans.on SP，1994，42（2）:376-398.

[4]徐振海.極化敏感陣列信號(hào)處理的研究[D].長沙:國防科技大學(xué)，2004.

[5]王蘭美.極化陣列的參數(shù)估計(jì)和濾波方法研究[D].西安:西安電子科技大學(xué)，2005.

[6]張賢達(dá).現(xiàn)代信號(hào)處理[M].北京:清華大學(xué)出版社，2002.