朱洪濤,徐宜敏,吳維軍,2

(1.南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,南昌 330031；2.江西日月明鐵道設(shè)備開(kāi)發(fā)有限公司,南昌 330029)

工程測(cè)量時(shí)，全站儀需在測(cè)量前先行設(shè)站以確定全站儀的自身位置，即站點(diǎn)坐標(biāo)。全站儀設(shè)站的首要工作是將全站儀精密置平，電子氣泡居中，使全站儀內(nèi)部平面坐標(biāo)系X-Y與大地坐標(biāo)系中的水準(zhǔn)平面X′-Y′平行。在置平狀態(tài)下，可通過(guò)內(nèi)置算法把斜距、水平角及垂直角(通常采用天頂距法)等測(cè)量信息映射到大地坐標(biāo)系中。當(dāng)全站儀設(shè)站不滿(mǎn)足置平要求，將導(dǎo)致測(cè)量成果偏離真值。以準(zhǔn)確度等級(jí)為Ⅱ級(jí)的全站儀為例，當(dāng)斜距為100 m，水平偏差為0.001°條件下，其點(diǎn)位誤差可達(dá)1.74 mm。因此全站儀正確設(shè)站和測(cè)量的先決條件是全站儀必須處于置平狀態(tài)。

全站儀的精密置平需要人工完成，其置平效果很大程度上依賴(lài)于操作者的經(jīng)驗(yàn)與技能。我國(guó)的高速鐵路無(wú)砟軌道平順性主要是通過(guò)各級(jí)精測(cè)網(wǎng)聯(lián)測(cè)進(jìn)行控制[1]，其設(shè)站間距為60～120 m[2]。頻繁換站并置平將降低測(cè)量作業(yè)效率，增加人力和時(shí)間成本。研究全站儀在非置平狀態(tài)下的自由設(shè)站和三維測(cè)量技術(shù)，對(duì)于充分發(fā)揮全站儀的作用，提高全站儀的使用效能，保證高速鐵路運(yùn)營(yíng)的安全性、舒適性，具有顯著的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

1 全站儀免置平自由設(shè)站

全站儀自由設(shè)站的實(shí)質(zhì)是后方交會(huì)，因置站于非已知點(diǎn)，站點(diǎn)位置的選擇比較自由而得名，它通過(guò)對(duì)2個(gè)及以上已知點(diǎn)的聯(lián)測(cè)，快速確定設(shè)站點(diǎn)坐標(biāo)[3]；在此基礎(chǔ)上，以設(shè)站點(diǎn)為已知點(diǎn)，對(duì)待測(cè)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量[4]。

如前所述，由于全站儀在置平狀態(tài)下其內(nèi)部坐標(biāo)系X-Y平面與大地水準(zhǔn)平面X′-Y′平行，此時(shí)測(cè)量得到的水平角和天頂距都是以大地水準(zhǔn)平面為參考水平面。全站儀在非置平狀態(tài)下直接測(cè)量得到的水平角和天頂距是基于其內(nèi)部坐標(biāo)系X-Y平面，由于全站儀內(nèi)部坐標(biāo)系X-Y平面與大地水準(zhǔn)平面X′-Y′之間存在夾角，全站儀在置平和非置平狀態(tài)下測(cè)量得到的水平角和天頂距是不同的。傳統(tǒng)的一邊一角后方交會(huì)，雙邊單角后方交會(huì)等自由設(shè)站方法[5]都是以全站儀置平為前提的，這些設(shè)站算法及其測(cè)量方法在非置平狀態(tài)下將不再適用。

1.1 全站儀免置平自由設(shè)站站點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算模型

根據(jù)全站儀測(cè)距原理可知，無(wú)論全站儀在置平或者非置平狀態(tài)下，斜距測(cè)量精度基本相當(dāng)。所以全站儀在非置平狀態(tài)下完成自由設(shè)站，要充分利用全站儀在非置平狀態(tài)下的斜距測(cè)量信息。

如圖1所示，設(shè)已知基準(zhǔn)點(diǎn)P1、P2、P3的大地坐標(biāo)分別為(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)、(x3，y3，z3)，并已知全站儀站點(diǎn)P與各基準(zhǔn)點(diǎn)的斜距分別為s1、s2、s3，設(shè)全站儀站點(diǎn)P在大地坐標(biāo)系上的坐標(biāo)為(x0，y0，z0)，則有方程

(1)

圖1 全站儀自由設(shè)站示意

1.2 全站儀免置平自由設(shè)站的多值問(wèn)題

可通過(guò)解析方法或數(shù)值計(jì)算方法求解非線(xiàn)性方程組(1)。由于非線(xiàn)性方程組(1)中每個(gè)方程關(guān)于未知量x0，y0，z0的結(jié)構(gòu)形式相同，只有x1，y1，z1，s1…x3，y3，z3，s3等常量不同，所以可以通過(guò)消元法進(jìn)行求解，即使相鄰的2個(gè)方程相減消去方程組中次數(shù)為二次的未知量。

由于方程組(1)是三元二次方程組，所以方程組(1)可能存在多解問(wèn)題。最簡(jiǎn)單的方法是通過(guò)第4個(gè)大地基準(zhǔn)點(diǎn)P4(x4，y4，z4)進(jìn)行如下判斷：根據(jù)第4個(gè)大地基準(zhǔn)點(diǎn)P4的坐標(biāo)與方程組的某個(gè)解，反算第4個(gè)大地基準(zhǔn)點(diǎn)與全站儀站點(diǎn)之間的距離，與實(shí)際測(cè)量得到的距離s4進(jìn)行比較，如果反算得到的距離與測(cè)量得到的距離s4相等或者誤差在一定范圍內(nèi)，則認(rèn)為該組解就是全站儀的站點(diǎn)坐標(biāo)P(x0，y0，z0)。如果反算得到的距離與測(cè)量得到的距離s4誤差超差，則認(rèn)為該組解不是設(shè)站點(diǎn)坐標(biāo)，將該解剔除。如果可利用的大地基準(zhǔn)點(diǎn)多于4個(gè)，可通過(guò)全站儀對(duì)多余的基準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行多余測(cè)量，通過(guò)平差計(jì)算[6]以提高全站儀設(shè)站的站點(diǎn)坐標(biāo)精度。

在選擇第4個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)有困難的情況下，可充分利用全站儀免置平測(cè)量方法中的方向余弦矩陣，方向余弦矩陣中的元素為全站儀坐標(biāo)軸X軸、Y軸、Z軸在大地坐標(biāo)系中的方向余弦。在實(shí)際工程測(cè)量中，全站儀即使沒(méi)有置平其坐標(biāo)軸Z軸的正方向始終是朝上，不會(huì)指向地面，即全站儀坐標(biāo)軸Z軸的正方向與大地坐標(biāo)系的Z′軸的正方向的夾角小于90°，即全站儀坐標(biāo)軸Z軸的正方向與大地坐標(biāo)系Z′軸的正方向的余弦值始終是大于零的。由(1)式解出全站儀設(shè)站點(diǎn)坐標(biāo)的2個(gè)解是關(guān)于大地坐標(biāo)系X′O′Y′平面對(duì)稱(chēng)的，必然存在1個(gè)解使得全站儀坐標(biāo)軸Z軸的正方向與大地坐標(biāo)系的Z′的正方向的余弦值大于零，一個(gè)小于零。即使得全站儀坐標(biāo)軸Z軸的正方向與大地坐標(biāo)系的Z′的正方向的余弦值小于零的解不是設(shè)站點(diǎn)坐標(biāo)，大于零的解為設(shè)站點(diǎn)坐標(biāo)。

2 全站儀免置平自由設(shè)站的測(cè)量算法

全站儀在非置平狀態(tài)下，不能通過(guò)全站儀內(nèi)置算法將待測(cè)點(diǎn)在全站儀內(nèi)部坐標(biāo)系中的測(cè)量成果映射到大地坐標(biāo)系中，需重新設(shè)計(jì)全站儀免置平自由設(shè)站后的測(cè)量算法，即重新建立全站儀內(nèi)部坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系之間的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型。三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型有基于旋轉(zhuǎn)角的非線(xiàn)性模型[7]，四元素法[8]，基于方向余弦矩陣等方法，本文采用基于方向余弦矩陣的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型。

基于方向余弦矩陣的三維坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換模型[9]見(jiàn)式(2)

(2)

其中，[X′Y′Z′]T為P點(diǎn)在大地坐標(biāo)系X′Y′Z′中的坐標(biāo)；[XYZ]T為其在全站儀內(nèi)部坐標(biāo)系XYZ中的坐標(biāo)；[ΔXΔYΔZ]T為平移量；μ為尺度比；R為方向余弦矩陣。

其中方向余弦矩陣R中的元素由全站儀坐標(biāo)軸X軸、Y軸、Z軸在大地坐標(biāo)系中的方向余弦組成，(a10，a20，a30)為全站儀X軸在大地坐標(biāo)系中的方向余弦，(a11，a21，a31)為全站儀Y軸在大地坐標(biāo)系中的方向余弦，(a12，a22，a32)為全站儀Z軸在大地坐標(biāo)系中的方向余弦。并且全站儀坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系的尺度比μ等于1。

則(2)式可以轉(zhuǎn)換為

(3)

其中：

(4)

其中：

又因?yàn)镽為正交矩陣，滿(mǎn)足RRT=RTR=E，即矩陣R中的元素滿(mǎn)足以下6個(gè)條件

(5)

式(5)表明矩陣R中的9個(gè)元素之間存在關(guān)系。由式(4)和式(5)構(gòu)成附有限制條件的間接平差模型。對(duì)于只有2個(gè)或2個(gè)以下公共點(diǎn)，可以采用附有限制條件的間接平差模型[11]求解。在實(shí)際工程中至少都有3個(gè)或3個(gè)以上公共點(diǎn)，則可以直接采用以下最小二乘法形式進(jìn)行求解，則有

(6)

當(dāng)把式(3)中的12個(gè)待估參數(shù)求解出來(lái)之后，然后利用全站儀測(cè)量待測(cè)點(diǎn)得到待測(cè)點(diǎn)在全站儀坐標(biāo)系統(tǒng)下的坐標(biāo)[XYZ]T，代入(3)式，即可求得待測(cè)點(diǎn)在大地坐標(biāo)系上的坐標(biāo)[X′Y′Z′]T，完成全站儀在非置平狀態(tài)下的工程測(cè)量。全站儀免置平自由設(shè)站及其測(cè)量算法中沒(méi)有進(jìn)行任何線(xiàn)性化處理，因此該方法適用于任意傾斜狀態(tài)下的全站儀自由設(shè)站及其測(cè)量。

3 方法驗(yàn)證及數(shù)據(jù)測(cè)量

根據(jù)以上理論推導(dǎo)，采用VC++6.0編譯軟件編寫(xiě)程序代碼，實(shí)現(xiàn)了功能，并采用Leica TPS1200系列全站儀等儀器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)環(huán)境如下。

溫度：23～26 ℃；氣壓：1 011～1 012 hP；濕度：50%～60%；空氣：有風(fēng)(3～4級(jí)風(fēng)速)。

儀器型號(hào)：Leica TCRP 1201+400；儀器精度：1′(測(cè)角)；1+1.5 ppm(測(cè)距)。

實(shí)驗(yàn)方法如下。

在實(shí)驗(yàn)測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)布設(shè)5個(gè)已知坐標(biāo)的基準(zhǔn)點(diǎn)，任取5個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)中的4個(gè)作為已知坐標(biāo)基準(zhǔn)點(diǎn)，另一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)作為未知點(diǎn)，然后自由移動(dòng)全站儀，讓全站儀在每個(gè)站點(diǎn)進(jìn)行免置平自由設(shè)站及其測(cè)量。其中，對(duì)式(1)采用消元法求解，對(duì)式(3)采用最小二乘法求解，得到全站儀的站點(diǎn)坐標(biāo)和測(cè)量轉(zhuǎn)換參數(shù)，然后對(duì)未知點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量。為分析測(cè)量重復(fù)性，實(shí)驗(yàn)中前后移動(dòng)全站儀6次并分別進(jìn)行設(shè)站和測(cè)量第5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過(guò)式(3)把測(cè)量得到的全站儀內(nèi)部坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到大地坐標(biāo)系上。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 對(duì)第5個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)測(cè)量得到的全站儀坐標(biāo)以及轉(zhuǎn)換后的大地坐標(biāo) mm

根據(jù)表1所得的數(shù)據(jù)分別計(jì)算第5個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)換后所得大地坐標(biāo)系中X、Y、Z的標(biāo)準(zhǔn)不確定度[12]。標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算公式為

(7)

(8)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，免置平狀態(tài)下測(cè)量精度與置平狀態(tài)下測(cè)量精度相當(dāng)，能夠滿(mǎn)足對(duì)大型建筑物精密測(cè)量的要求。

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究的全站儀免置平自由設(shè)站及其測(cè)量方法，能夠較好地克服目前全站儀設(shè)站及其測(cè)量只能在置平狀態(tài)下進(jìn)行的缺點(diǎn)。首先通過(guò)全站儀在非置平狀態(tài)下測(cè)量至少3個(gè)大地基準(zhǔn)點(diǎn)的斜距、水平角和天頂距，充分利用斜距信息建立自由設(shè)站模型，獲得全站儀在大地坐標(biāo)系上的站點(diǎn)坐標(biāo)；其次，在非置平狀態(tài)下完成自由設(shè)站之后，根據(jù)基于余弦矩陣的三維坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換模型，通過(guò)最小二乘法進(jìn)行求解，得到全站儀內(nèi)部坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；最后，對(duì)待測(cè)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量獲得待測(cè)點(diǎn)的三維大地坐標(biāo)。通過(guò)測(cè)量實(shí)驗(yàn)，表明本文所提出的全站儀免置平自由設(shè)站及其測(cè)量方法精度較高，可靠性好，同時(shí)算法原理簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn)。全站儀免置平自由設(shè)站及其測(cè)量技術(shù)在保證精度的前提下，能夠?yàn)榻ㄖ?、水利等的工程測(cè)量及鐵道建筑的精測(cè)節(jié)約成本、提高效率。

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