李學(xué)潛

(南開(kāi)大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院 天津 300071)

張邦固

(科學(xué)出版社 北京 100717)

1 引言

圖1是太陽(yáng)剛形成時(shí)的結(jié)構(gòu)．其中，氫占約75%，氦占約23%，其他占約2%[1～3]．氫核會(huì)發(fā)生聚變，生成氘；進(jìn)而，生成氚；生成氦3；生成氦4…… 以氫核數(shù)-時(shí)間函數(shù)為基礎(chǔ)，我們計(jì)算了時(shí)至今日太陽(yáng)中所消耗的氫、生成的氘、氚、氦3等，得到了太陽(yáng)目前的大致結(jié)構(gòu)．

圖1 恒星初期結(jié)構(gòu)

人們認(rèn)為，恒星主序期中發(fā)生的是氫聚變成氘、氚、氦3、氦4的反應(yīng)．

那么，具體情況是怎么樣的呢？氫經(jīng)過(guò)中間過(guò)程，最后都變成氦4？氘、氚、氦3一旦產(chǎn)生就會(huì)很快聚變而全都被消耗？聚變概率多么大？有沒(méi)有剩余？ 剩多少？ ……定量地回答這些問(wèn)題的關(guān)鍵是氫核數(shù)-時(shí)間函數(shù)．

我們知道，恒星核聚變是粒子靠量子力學(xué)隧道效應(yīng)穿過(guò)電勢(shì)壘來(lái)實(shí)現(xiàn)的[4]．然而， 能夠?qū)嶋H應(yīng)用的隧道效應(yīng)概率的理論計(jì)算很困難．

本文依觀(guān)測(cè)資料計(jì)算了太陽(yáng)氫核聚變的概率．

由于聚變，氫核數(shù)會(huì)逐漸減少．本文推出了氫核數(shù)-時(shí)間函數(shù)，并進(jìn)而給出太陽(yáng)目前的結(jié)構(gòu)及狀態(tài)．

2 觀(guān)測(cè)值

2.1 太陽(yáng)溫度

(1)平衡輻射

我們知道，平衡輻射的能量密度U(單位時(shí)間、單位面積所輻射的能量)與溫度T的四次方成正比[1]

U=σT4

(1)

它就是斯特潘-玻爾茲曼(Stefan-Boltzmann)定律．其中常量為[1]

(2)

其中的π是圓周率，k是玻爾茲曼常量，c是光速，h是普朗克常量，其數(shù)值是

σ=5.670×10-8Wm- 2K- 4

(3)

(2)太陽(yáng)常數(shù)

在地球大氣層外與太陽(yáng)光垂直的平面單位面積上單位時(shí)間所接收的能量叫太陽(yáng)常數(shù)[5]．其數(shù)值是每平方米約1 400 W[6]．

將其乘以面積，我們可以得到太陽(yáng)輻射的總功率．它叫做太陽(yáng)光度．其數(shù)值為[4]

L=3.826×1026W=2.388 16×1039MeV/s

(4)

(3)表層溫度

太陽(yáng)光是從太陽(yáng)表面輻射出來(lái)的．由太陽(yáng)半徑[4]

R=6.9599×108m

(5)

以及式(1)和(4)，我們可以得到太陽(yáng)表層溫度

(6)

2.2 太陽(yáng)每秒發(fā)生聚合反應(yīng)的次數(shù)

初期，太陽(yáng)中發(fā)生的聚變基本上是質(zhì)子-質(zhì)子反應(yīng)

p+p=D+e++ν+0.9 MeV

(7)

接著，上述反應(yīng)所產(chǎn)生的正電子會(huì)與周?chē)S多電子中的一個(gè)湮沒(méi)

e++e=2γ+1.02 MeV

(8)

所釋放的能量為1.92 MeV[7]．

根據(jù)觀(guān)測(cè)，人們發(fā)現(xiàn)，在恒星光度和它的質(zhì)量之間有一定的關(guān)系：質(zhì)光關(guān)系[3]．質(zhì)量大的恒星光度大，質(zhì)量小光度?。|(zhì)量相同的恒星光度相同．

太陽(yáng)質(zhì)量會(huì)隨著輻射而逐漸減少．我們來(lái)估計(jì)一下．輻射最大的量是，在主序期太陽(yáng)中的氫全部聚變成了氦．由氦的結(jié)合能[8]，我們可以知道，氫的質(zhì)量會(huì)減少大約0.7%．整個(gè)太陽(yáng)質(zhì)量會(huì)減少0.52%．目前，太陽(yáng)的主序期過(guò)了大約一半．這樣，太陽(yáng)質(zhì)量最多減少約0.26%．據(jù)目前的觀(guān)測(cè)，太陽(yáng)的輻射只有上述最大量的約十分之一．所以，太陽(yáng)由輻射所可能減少的質(zhì)量估計(jì)約為0.1%．這是假設(shè)太陽(yáng)最初是以目前量的十倍輻射得到的結(jié)果．據(jù)質(zhì)光關(guān)系和質(zhì)量變化，太陽(yáng)最初的輻射量只可能比目前的大千分之幾．這樣，太陽(yáng)質(zhì)量由于輻射所減少的量就會(huì)更少．

太陽(yáng)輻射總功率[式(4)]應(yīng)該是變化不大的．它應(yīng)該是

(9)

次聚變(每秒)所釋放出來(lái)的．

2.3 一個(gè)質(zhì)子發(fā)生碰撞的頻率

我們假定太陽(yáng)是分層熱平衡的．溫度取T當(dāng)作平均來(lái)做初次計(jì)算．于是，質(zhì)子的速度應(yīng)該是

(10)

其中，k是玻爾茲曼常量，m是質(zhì)子質(zhì)量．

原子核半徑公式是[9]

(11)

其中，A是原子核質(zhì)量數(shù)．一個(gè)質(zhì)子每秒掃過(guò)的體積為

V2= πr12v

(12)

平均質(zhì)量密度ρ除以質(zhì)子質(zhì)量，得到質(zhì)子數(shù)密度ρn． 于是，一個(gè)質(zhì)子每秒碰撞次數(shù)為

n=πr12vρn

(13)

2.4 質(zhì)子-質(zhì)子聚變概率

將初始參與聚變的氫核數(shù)Np0與式(13)相乘再除以2，可以得到質(zhì)子-質(zhì)子(每秒)碰撞總數(shù)，再去除式(9)，我們便得到質(zhì)子-質(zhì)子聚變概率

(14)

3 氫核數(shù)函數(shù)

質(zhì)子-質(zhì)子聚變不斷發(fā)生．太陽(yáng)中參與聚變的氫核數(shù)不斷減少．t時(shí)刻N(yùn)p個(gè)氫核在dt時(shí)間內(nèi)減少

(15)

上式右邊第一個(gè)2的右面是dt時(shí)間內(nèi)發(fā)生的聚變數(shù)，而一次聚變消耗2個(gè)氫核．積分，有

Np=Np0exp( -nηt)

(16)

我們把溫度、密度和聚變概率都當(dāng)成了常量．這里，我們做了平均．這是初步．

4 太陽(yáng)目前的結(jié)構(gòu)

4.1 太陽(yáng)初期氫核數(shù)

由太陽(yáng)中約75%氫質(zhì)量和質(zhì)子質(zhì)量，我們得到

(17)

4.2 嘗試

因?yàn)闅鋮^(qū)其他部分并不釋放能量，它們也不可能吸收并儲(chǔ)存能量，長(zhǎng)達(dá)數(shù)十億年之久．所以，太陽(yáng)表面釋放的能量就是反應(yīng)區(qū)表面所釋放的能量．用上面得到表面溫度的方法，可以得到聚變層的溫度是11 540 K．

結(jié)論：這個(gè)嘗試不符合實(shí)際．

注意：(1)這里聚變集中在核心區(qū)表面．范圍相對(duì)小，溫度、密度、聚變概率等變化不大，以其平均值作為常數(shù)所進(jìn)行的式(16)的推導(dǎo)不會(huì)有太大的問(wèn)題．

(2)式(16)右邊僅時(shí)間和參與核總數(shù)可以討論．

4.3 太陽(yáng)氫區(qū)縮小

式(17)就應(yīng)該是Np0．或者說(shuō)，我們先假設(shè)之，下面會(huì)檢驗(yàn)．

經(jīng)過(guò)46億年，太陽(yáng)目前有氫核(質(zhì)子)數(shù)

Np=8.982 0×1056exp(-2.38816×1039×

4.6×109×3.15×107/0.96×8.982 0×1056)=

8.982 0×1056exp( - 0.401 31) = 6.009 86×1056

(18)

我們看到，目前太陽(yáng)氫的總量由于氫-氫聚變已經(jīng)消耗了約三分之一．

4.4 氘聚變

(1)氘-氫聚變

一次質(zhì)子-質(zhì)子聚變產(chǎn)生一個(gè)氘核．由式(18)，太陽(yáng)共產(chǎn)生

1.441 07×1056

(19)

個(gè)氘核．氘產(chǎn)生以后逐漸沉到氫區(qū)底部．它也會(huì)聚變消耗．氘的消耗也是與氘的總數(shù)成正比[式(15)]的．氘是邊生成邊積累邊消耗的．我們假設(shè)，氘消耗比例只有氫的一半．減去這個(gè)期間消耗掉的，目前氫區(qū)底部還有

1.202 65×1056

(20)

個(gè)氘核在氘區(qū)(見(jiàn)圖2)，氘核消耗有3個(gè)方向：向上與氫聚變；氘-氘聚變；向下與氚、氦3、氦4聚變．我們假設(shè)：這3個(gè)方向的概率相同．這樣，氘核的四分之一會(huì)參與和氫核的聚變.

氘核與氫核聚變主要是

p+D=T+e++ν+5.0 MeV

(21)

p+D=3He+5.5 MeV

(22)

接著，正電子會(huì)湮沒(méi)，釋放1.02 MeV能量．

(2)氘-氘聚變

氘-氘聚變的主要方式是[6]

D+D=3He+n+3.27 MeV

(23)

D+D=T+p+4.3 MeV

(24)

接著，上面產(chǎn)生的中子會(huì)被質(zhì)子吸收

p+n=D+2.225 MeV

(25)

因?yàn)橘|(zhì)子對(duì)中子的吸收截面是氘核的640倍，是氦3的一萬(wàn)多倍．若式(23)和(24)是等概率的．那么，兩個(gè)氘-氘聚變消耗3個(gè)氘，釋放9.795 MeV的能量．

4.5 氚聚變

氫-氘聚變和氘-氘聚變都生成氚和氦3．氚和氦3生成之后會(huì)逐漸沉到氘區(qū)的底部．

由式(19)和(20)，太陽(yáng)到目前共生成

(26)

個(gè)氚和氦3．扣除消耗，還有

0.099 486×1056

(27)

個(gè)．它們的四分之一會(huì)參與和上面的氘聚變

D+T=4He+n+18.6 MeV

(28)

D+3He=4He+p+18.4 MeV

(29)

這里，上面產(chǎn)生的中子會(huì)被質(zhì)子吸收還會(huì)生成氘．

我們假定，氚、氦3各占一半．它們還會(huì)與下面的氦4聚變

T +4He =7Li + 2.9 MeV

(30)

3He+4He=7Be+1.5 MeV

(31)

7Be + e =7Li+ν+1.47 MeV

(32)

當(dāng)它們自身的量積累到一定程度(例如：目前的量[式(27)])，還會(huì)發(fā)生

T + T =6He + 12.2MeV

(33)

3He+3He =4He+p+p+13.1 MeV

(34)

T +3He =6Li + 15.8 MeV

(35)

式(27)表明，氚、氦3的粒子數(shù)比氫的小兩個(gè)數(shù)量級(jí)，比氘的小一個(gè)數(shù)量級(jí)．

4.6 太陽(yáng)結(jié)構(gòu)

根據(jù)上面計(jì)算，我們對(duì)太陽(yáng)目前的狀態(tài)可以有一個(gè)比較細(xì)致的描述．

圖2 太陽(yáng)目前結(jié)構(gòu)示意圖

由式(18)，氫已經(jīng)消耗了大約33.09%．由式(20)，總質(zhì)量的約20.08%是氘．由式(27)，有約

2.5%的氚和氦3．

上圖示意了太陽(yáng)目前結(jié)構(gòu)．其中心是鋰以上元素；外是氦4、氚和氦3、氘；最外是氫．

5 檢驗(yàn)

(1)總輻射

到目前，太陽(yáng)輻射的全部能量為

W=Lt=2.388 16×1039MeV/s×4.6×109×

3.15×107s= 3.460 4×1056MeV

(36)

(2)氫-氫聚變輻射

由式(18)，目前已經(jīng)消耗

(8.892-6.00986)×1056=2.882 14×1056

(37)

個(gè)氫．它們釋放的能量是

2.766 85×1056MeV

(38)

(3)氘-氘聚變輻射

由式(19)和(20)，到目前已經(jīng)消耗

0.23842×1056

(39)

個(gè)氘．其中二分之一發(fā)生氘-氘聚變．假設(shè)式(23)和(24)的兩個(gè)反應(yīng)概率是相同的．它們釋放的能量是

0.29189×1056MeV

(40)

(4)氫-氘聚變輻射

氘[式(39)]的四分之一與氫聚變．假設(shè)式(21)和(22)兩個(gè)反應(yīng)概率是相同的．它們釋放的能量是

0.34273×1056MeV

(41)

(5)氚-氘聚變

假設(shè)，氚和氦3是等量的．由式(26)和(27)，已經(jīng)消耗了

(42)

個(gè)氚．其中，四分之一與氘聚變[式(28)]．釋放的能量是

0.045858×1056MeV

(43)

(6)氚-氚聚變

氚[式(42)]的二分之一發(fā)生氚-氚聚變．釋放的能量是

0.03008×1056MeV

(44)

我們看到，由上面5項(xiàng)有

3.477 41 MeV

(45)

與總輻射只差千分之五．其他的有氦參與的聚變概率會(huì)小得多．原因是，電勢(shì)壘高了許多．

6 建議

本文的基本假設(shè)是，太陽(yáng)中所有氫核都參與了聚變．檢驗(yàn)基本通過(guò)表明，它大致是符合實(shí)際的．由此看出，以太陽(yáng)為代表的恒星中核聚變有如下特點(diǎn).

(1)溫度相對(duì)低．

太陽(yáng)表面溫度只有約六千度．還有兩三千度的恒星．

(2)概率非常低．

針對(duì)這些，作者建議，在地球上實(shí)驗(yàn)新形式的聚變裝置．不再追求高溫．注重提高碰撞次數(shù)．建議采用對(duì)撞方式．

7 結(jié)論

(1)本文得到了太陽(yáng)中參與聚變氫核數(shù)隨時(shí)間變化的函數(shù)式(16)．

(2)上面得到了類(lèi)太陽(yáng)恒星條件下的質(zhì)子-質(zhì)子聚變概率式(14)．

(3)恒星主序期光度的主要貢獻(xiàn)來(lái)自質(zhì)子-質(zhì)子聚變這個(gè)基礎(chǔ)反應(yīng)．

(4)本文得到了太陽(yáng)目前比較細(xì)致的結(jié)構(gòu)，并且，基本通過(guò)了檢驗(yàn)．

(5)本文的主導(dǎo)思路是，由微觀(guān)出發(fā)探索恒星的物理實(shí)際．

(6)上面的第6個(gè)大問(wèn)題“建議”很重要．

8 討論

(1)實(shí)際上，溫度應(yīng)該是由外向內(nèi)逐漸增加的．密度也是這樣．聚變概率也是．本文用平均來(lái)做，只是初步的．進(jìn)一步的細(xì)致工作以后做．

(2)式(16)的氫核消耗沒(méi)有計(jì)及氘-氫聚變所消耗的氫核．由式(19)和(17)可以計(jì)算出，到目前氘-氫反應(yīng)所消耗的氫核是氫-氫反應(yīng)的約2.5%．

(3)上面的聚變中各反應(yīng)道的分支比與實(shí)驗(yàn)可能不同．這會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)偏差．

(4)氫區(qū)逐漸縮?。@給式(16)的應(yīng)用時(shí)間帶來(lái)問(wèn)題．長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)用它會(huì)帶來(lái)偏差．我們?cè)谙乱黄恼轮杏懻撨@個(gè)問(wèn)題．

(5)檢驗(yàn)中，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際相差很小．這里有各種偏差互相抵消的可能．但是，還是可以說(shuō)，本文的主題基本通過(guò)了實(shí)際的檢驗(yàn)．

(6)這里有許多值得進(jìn)一步探討的問(wèn)題．

9 感謝

本文于2012年12月4日下午4時(shí)在南開(kāi)大學(xué)物理學(xué)院報(bào)告，與會(huì)的教師和理論物理專(zhuān)業(yè)的研究生提出了許多有益的建議，作者進(jìn)行了相應(yīng)的修改，并對(duì)劉玉斌院長(zhǎng)和其他與會(huì)者表示感謝.

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