魏 標(biāo)

(青川第一高級(jí)中學(xué) 四川 廣元 628100)

1 背景

庫(kù)倫定律核心是“電力平方反比律”用數(shù)學(xué)表達(dá)為F∝r-2，要驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律即要求出F∝r-2+δ中的修正數(shù)δ是否為零.最早提出“電力平方反比律”這一猜想的是普林斯特列(Prestily).然而,這一猜想的提出還得力他的好友富蘭克林(Franklin).富蘭克林曾觀察到放在金屬杯中的小球不受金屬杯上電荷的作用力，他將這一發(fā)現(xiàn)告訴了普林斯特列，同時(shí)，讓他重新做這一個(gè)實(shí)驗(yàn)以確認(rèn)這個(gè)事實(shí).1766年普林斯特列按照富蘭克林所說完成了這個(gè)實(shí)驗(yàn)得到相同的結(jié)果，與此同時(shí)他聯(lián)想到了一個(gè)與此類似的實(shí)驗(yàn)，即把一個(gè)小球放在球殼內(nèi)該小球受到的萬有引力為零，因此，他認(rèn)為電荷間作用力也同萬有引力一樣同距離的二次方成反比，于是，就提出了這樣的一個(gè)猜想，但由于缺乏有力的實(shí)驗(yàn)論證，這終究還是一個(gè)猜想[2].1769年魯賓孫(J.Ronbinson)用間接測(cè)量的方法得到修正數(shù)δ=0.06.1772年卡文迪什(H.Canvendish)測(cè)得δ=0.02，但他的這一成果并未及時(shí)的發(fā)表，直到100年后才被麥克斯韋 (C.Maxwell)整理后發(fā)表.此后庫(kù)倫用扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)得修正數(shù)δ=0.04.1879年麥克斯韋在劍橋卡文迪什實(shí)驗(yàn)室用類似與卡文迪什的方法得到的修正數(shù)位δ=5*10-5，以后有許多人都從事了這一項(xiàng)工作得到的修正數(shù)逐漸縮小，直到1979年得到的修正數(shù)數(shù)量級(jí)已達(dá)到了10-16[1].

下面就詳細(xì)的介紹麥克斯韋如何通過實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)推算得到δ=5*10-5.

2 驗(yàn)證思路

電磁學(xué)中的高斯定理是在修正數(shù)δ=0時(shí)得到的，應(yīng)用高斯定理我們得到一個(gè)帶電的空腔導(dǎo)體內(nèi)部帶電量Q內(nèi)=0，如果δ≠0則帶電的空腔導(dǎo)體內(nèi)部帶電量就不為零，此時(shí)高斯定理也需要修正.可以看出驗(yàn)證電力平方反比律的關(guān)鍵是檢驗(yàn)帶電空腔導(dǎo)體內(nèi)部的帶電量.

3 麥克斯韋的實(shí)驗(yàn)步驟

如圖1所示，A金屬殼的半徑為a，B金屬殼的半徑為b.

圖1

(1)充電，閉合C，A-B相連，此時(shí)設(shè)內(nèi)部球殼B帶電β，外部球殼A帶電α.

(2)將球殼A接地放電.

(3)用儀器探測(cè)球殼B的帶電情況.

4 麥克斯韋實(shí)驗(yàn)的分析

在第一步實(shí)驗(yàn)中閉合C，A-B相連，這時(shí)A,B就有相同的電勢(shì)設(shè)為V,即此時(shí)有

VA(α,β,a,b,δ)=VB(α,β,a,b,δ)=V

該等式可以消去α，從而得到

β=β(V,δ,a,b)

(這里要做一個(gè)簡(jiǎn)要的說明即VA(α,β,a,b,δ)表示的是影響電勢(shì)VA的因素有α,β,a,b,δ，以下出現(xiàn)類似的表達(dá)式意義相同.)

在第二步實(shí)驗(yàn)中將A球殼接地,此時(shí)A的電勢(shì)就為零，若設(shè)此時(shí)其帶電量為α′，則

5 δ值的具體推算過程

在完成上述實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上來計(jì)算δ的值，就要先計(jì)算出一個(gè)帶電球殼外任意一點(diǎn)P的電勢(shì)表達(dá)式.如圖2所示,將一個(gè)球簡(jiǎn)化為一個(gè)平面來說明球面上的一個(gè)面積元SAB，設(shè)其帶電量為dq，球面的電荷密度為σ.

圖2

(1)

令

且

dq=σa2sinθdθdφ

代入式(1)得到

(2)

令

代入式(2)得

(3)

因?yàn)?/p>

r2=a2+b2-2abcosθ

所以

rdr=absinθdθ

代入式(3)得到

(4)

θ=π時(shí)

r=r1=a+b

θ=0時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)在球外

r=r2=b-a

當(dāng)P點(diǎn)在球內(nèi)

r=r2=a-b

當(dāng)P在球上時(shí)

r=r2=0

由于α=4πa2σ當(dāng)P在球殼外時(shí)

當(dāng)P點(diǎn)在球殼上時(shí)

當(dāng)P點(diǎn)在球殼內(nèi)部時(shí)

在得到帶電球殼任意一點(diǎn)P的電勢(shì)表達(dá)式后，我們就可以推廣到兩個(gè)球殼，如圖3.

圖3

根據(jù)上面的推導(dǎo)得到外殼A上的電勢(shì)表達(dá)式

(5)

內(nèi)殼B上的電勢(shì)表達(dá)式

(6)

這樣，在球的內(nèi)外球殼電勢(shì)表達(dá)式的基礎(chǔ)上，就可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)的步驟進(jìn)行計(jì)算分析：

在實(shí)驗(yàn)的第一步中，合C，A-B就連接成一個(gè)整體，此時(shí)內(nèi)、外球殼的電勢(shì)就相等，即

VA=VB=V

(7)

式(5)、(6)、(7)聯(lián)立求解得

β=2Vb{b[f(2a)-f(0)]-a[f(a+b)-

f(a-b)]}{[f(2a)-f(0)][f(2b)-f(0)]·

[f(a+b)-f(a-b)]}-1

(8)

VA=0

(9)

式(5)、(9)聯(lián)立求解得

(10)

將式(8)、(10)代入式(6)得

(11)

由于

且

所以

故而

將其代入式(11)得

麥克斯韋將當(dāng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)a,b值帶入上式得到

(12)

圖4

圖5

圖6

最后,在用靜電計(jì)測(cè)量大球的電勢(shì)為D，即

(13)

同時(shí),這樣的D也可以同最大零點(diǎn)漂移比較發(fā)現(xiàn)

D>300d

(14)

聯(lián)立式(12)～(14)得到

即

(15)

聯(lián)立式(12)、(15)得

即

δ<5*10-5

參考文獻(xiàn)

1 陳熙謀. 電力平方反比律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.大學(xué)物理，1982(1)：11～15

2 郭奕玲. 庫(kù)侖定律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.物理，1981，10(12)：760～764