薛文堂

(山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 山西 太原 030031)

2012年全國高考理綜全國卷有兩道題背景相同，一道是新課標(biāo)卷21題，試題如下.

【題目1】假設(shè)地球是一半徑為R,質(zhì)量分布均勻的球體.一礦井深度為d.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零.礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為

另一道是全國大綱卷25題，試題如下.

【題目2】一單擺在地面處的擺動(dòng)周期與在某礦井底部擺動(dòng)周期的比值為k.設(shè)地球的半徑為R.假定地球的密度均勻.已知質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，求礦井的深度d.

兩道題都涉及到地表以下礦井內(nèi)的重力加速度與地面上重力加速度的比較同一個(gè)背景，都提示已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零.這個(gè)問題在以前的高考題中沒有涉及過.以前涉及到重力加速度問題的都是在地面之上某高度處與地面上的重力加速度比較.而在中學(xué)物理競賽書上，這個(gè)問題是個(gè)基本問題.該問題和均勻帶電球殼球內(nèi)場強(qiáng)處處為零，證明方法一樣.對(duì)于處于球心的的物體，球殼對(duì)其引力為零比較容易證明，但如果物體不在球心，證明就比較復(fù)雜.現(xiàn)證明方法如下.

如圖1所示，在球殼內(nèi)任取一點(diǎn)P，以P為頂點(diǎn)做兩個(gè)對(duì)頂?shù)摹㈨斀呛苄〉腻F體，錐體與球面相交得到球面上的兩個(gè)面元ΔS1和ΔS2，兩個(gè)面元到P點(diǎn)的距離分別為r1和r2.設(shè)球面的質(zhì)量面密度為σ，則這兩個(gè)面元對(duì)放在P點(diǎn)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的引力分別為

圖1

α1=α1=α

所以

因此F1=F2，而它們的方向是相反的，所以，兩個(gè)面元ΔS1和ΔS2對(duì)放在P點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)引力大小相等，合力為零.

同理，如圖2所示，其他各個(gè)相對(duì)的面元ΔS3和ΔS4，ΔS5和ΔS6……對(duì)放在P點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)引力大小相等，合力為零.因而，整個(gè)球面對(duì)放在P點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)引力的合力為零.由于P點(diǎn)是球殼內(nèi)任意一點(diǎn)，所以，整個(gè)球面對(duì)放在球面內(nèi)任意一點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)引力合力均為零.

圖2

題目1解:如圖3，地球半徑為R,礦井深為d.地球可看成許多球面構(gòu)成，則在礦井底部，一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，僅受到以半徑為(R-d)球體對(duì)它的引力，這個(gè)球面之外的部分對(duì)此質(zhì)點(diǎn)的引力為零.設(shè)地球表面重力加速度為g，地球的密度為ρ，則

圖3

礦井底部的重力加速度為g′,則

所以

題目2解:知道同一單擺在地面上和在礦井底部的周期之比為k,根據(jù)單擺的周期公式

可得礦井底部和地球表面重力加速度之比

而如前所述

解得

d=(1-k2)R

與該題背景類似的問題還有以下例題.

【例1】假若地球是一個(gè)密度均勻的球體，設(shè)想沿地球直徑開鑿一條貫穿地球的隧道，將一小球從隧道的一端由靜止釋放,那么，此小球的運(yùn)動(dòng)是怎么樣的？

圖4

解析：可以證明這個(gè)小球做簡諧運(yùn)動(dòng)，證明如下：如圖4所示，小球從洞口釋放后受到指向地心的引力充當(dāng)回復(fù)力.設(shè)地球半徑為R,密度為ρ，由于均勻的球殼對(duì)球內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)引力為零，地球可以看成是許多球殼組成，某時(shí)刻小球位于距球心為x處時(shí)，在以地心為圓心,半徑為x的球面之外部分對(duì)小球引力為零.只有以地心為圓心,半徑為x的球面之內(nèi)的部分對(duì)小球有引力.所以,回復(fù)力為

即小球做簡諧運(yùn)動(dòng)，平衡位置就是地心.

【例2】如圖5所示，設(shè)球體的半徑為R，電荷體密度(單位體積內(nèi)的帶電荷量)為ρ，求距球心為r處的場強(qiáng).

圖5

解析：用前面相同的證明方法，可以證明均勻帶電球殼對(duì)殼內(nèi)的電荷靜電力為零.

設(shè)想在距球心為r處放一個(gè)點(diǎn)電荷，在r

Q′為半徑為r的球體部分的電荷量

所以

因此

即越靠近球心場強(qiáng)越小.

在球體外，由于r>R，球體的電荷可看成集中在球心，利用庫侖定律和場強(qiáng)定義式可得

即越r越小，場強(qiáng)越大.