劉益民

(揚州市寶應(yīng)縣中學(xué) 江蘇 揚州 225800)

1 問題的提出

對于曲率半徑問題首先要了解曲率圓，所謂曲率圓是指平面光滑曲線某處無限小圓弧段所屬的圓，而對應(yīng)此曲率圓的半徑即為曲線在該處的曲率半徑，曲線某處曲率半徑反映該處的彎曲程度.是一種化曲為圓的方法，這樣，可將一般曲線運動分割成無限小段圓弧組成，而質(zhì)點在該小段圓弧上的運動也可視為一段圓弧運動.這樣，就可利用處理圓周運動的方法來研究一般的曲線運動，而其中如何求解常見曲線某點的曲率半徑就是我們首先面對的問題.

在物理學(xué)中，對同一類物理問題，往往有解決它的相應(yīng)方法，而且中學(xué)物理課程標(biāo)準(zhǔn)中也明確提出必須注重全面提高學(xué)生的基本科學(xué)素養(yǎng)，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)該注重讓學(xué)生體驗物理模型的構(gòu)建過程.可以通過學(xué)生自主地構(gòu)建恰當(dāng)?shù)倪\動模型，深刻理解曲線運動時的軌跡曲率半徑的變化，也期望從中發(fā)現(xiàn)求解曲率半徑的多種方法.

2 常見兩種曲率半徑問題與運動模型的建立

2．1 橢圓端點處的曲率半徑

【例1】 在光滑水平地面上置有一質(zhì)量為M的滑塊，滑塊內(nèi)有一圓環(huán)形空心通道，半徑為R，通道頂部有一質(zhì)量為m的小球，開始滑塊與小球都靜止，后來小球受到一微小擾動而向右下滑，如果不計一切摩擦，試求小球運動到A，B兩點時軌跡的曲率半徑.

圖1

解法1：矢量合成法

mam+MaM=0

(1)

同時，因為水平動量守恒

0=(m+M)vMx

(2)

所以，M此時無速度.又因為小球相對M做圓周運動，小球相對地滑塊的加速度為

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)可求得運動到A點時軌跡的曲率半徑

小球運動到B點時，水平動量守恒有

0=mvBm+MvBM

(4)

此時小球相對M的加速度為

(5)

其中相對地的速度為

vmM=vBM-vBm

(6)

小球相對地面的加速度為

(7)

又因為此時滑塊水平不受力，有aM=0，因此

amM=am

(8)

聯(lián)立式(4)～(8)可求得經(jīng)B點的曲率半徑[1]

解法2:天體運動模型法

建立如圖2所示坐標(biāo)，設(shè)m的位移為x，m相對M的水平位移為s，則對整個系統(tǒng)而言，水平方向動量守恒，有

0=mx+M(x-s)

(9)

圖2

圖3

以行星繞太陽為例，如圖3所示，設(shè)行星質(zhì)量為m，太陽質(zhì)量為M，在長、短軸端點處，由開普勒第二定律，得

在整個運動的過程中，由機械能守恒定律得

再由橢圓長、短軸與焦距三者關(guān)系c2=a2-b2解得

短軸端點C及D點的曲率半徑

因此，易得小球運動到B點的曲率半徑

運動到A點的曲率半徑

解法3:簡諧運動模型法

x=acosωty=bsinωt

從表達式上看x，y兩個方向上可視為兩個簡諧運動的合成.因此，水平方向由導(dǎo)數(shù)知識可得

vx=x′=-ωasinωt

即在C點速度大小

vC=ωa

豎直方向由導(dǎo)數(shù)可得

ay=y″=-ω2bsinωt

而同樣求導(dǎo)可得

vy=y′=ωbcosωt

即在A點速度大小

vA=ωb，ax=x″=ω2acosωt

解法4:圓周運動模型法

圖4

而在A1點向心加速度

而在B1點向心加速度

因此,橢圓曲線在B點的曲率半徑為

易得本題小球運動到A,B點軌跡的曲率半徑(同上).

點評:橢圓運動軌跡的曲率半徑是變化的，而其長軸或短軸端點處，由于對稱性只需求出其中一個曲率半徑即可.解法1是參考解法，其直接使用向心加速度公式，通過絕對(加)速度、相地(加)速度、牽連(加)速度三者關(guān)系進行分析求解，思路清晰，物理韻味很濃，但是概念性較強，方法要求較高.而奧賽輔導(dǎo)過程中，筆者適當(dāng)點拔，讓學(xué)生自主討論，相互交流，學(xué)生陸續(xù)地構(gòu)建出后三種不同的運動模型，均可求出端點處曲率半徑.學(xué)生在構(gòu)建運動模型時，受高中物理天體運動原型啟發(fā)建立了天體橢圓運動模型，解法2通過力與能量分析求解曲率半徑順理成章.解法3受示波器原理與數(shù)學(xué)解析方程的啟發(fā)，將橢圓軌跡視為兩個振幅不等的簡諧運動疊加合成而來，然后，再從導(dǎo)數(shù)角度進一步解決相應(yīng)的速度與加速度，對競賽學(xué)生不算難事，從而從容化解.而解法4則純粹是一種運動構(gòu)造，通過投影將橢圓與簡單的勻速圓周運動直接聯(lián)系起來，再由速度、加速度的分解進行求解，對求曲率半徑方法而言，反而是三種運動模型中最簡單的一個，因為這正體現(xiàn)了構(gòu)建的實質(zhì)，曲線上的曲率半徑與運動性質(zhì)無關(guān).

2．2 拋體線某點的曲率半徑

【例2】 (第19屆全國中學(xué)物理競賽復(fù)賽第7題)一根不可伸長的細輕繩，穿上一粒質(zhì)量為m的珠子(視為質(zhì)點)，繩的下端固定在A點，上端系在輕質(zhì)小環(huán)上，小環(huán)可沿固定的水平細桿滑動(小環(huán)的質(zhì)量及與細桿摩擦皆可忽略不計).細桿與A在同一豎直平面內(nèi).開始時，珠子緊靠小環(huán)，繩被拉直，如圖5所示.已知：繩長為l，A點到細桿的距離為h，繩能承受的最大張力為Td，珠子在下滑過程中到達最低點前繩子被拉斷.求細繩被拉斷時珠子的位置和速度的大小(珠子與繩子之間無摩擦).

證明 (1)?(2): 假設(shè)為X的一個猶豫模糊子代數(shù).對任意x ∈ X, 由定義2.5知， ?這就表明 滿足定義2.3.

圖5 圖6

解析: (1)建立如圖6坐標(biāo)系，令N的坐標(biāo)為(x,y)，x=PN，y=BN由ΔAPN可得

(AN)2=(PN)2+(AP)2

(l-y)2=x2+(h-y)2

即

x2=-2(l-h)y+(l2-h2)

或者寫成

(2)取與珠子接觸的那一小段繩子看作珠子的一部分，受三個力的作用，由于同一繩子張力相同，令其為T.因NB垂直于x軸，NA為N點與焦點的連線(類似于光經(jīng)凹拋物面鏡的反射)，由拋物線的幾何性質(zhì)可得，合力F垂直于過N的切線.由牛頓第二定律可知珠子在N的動力學(xué)方程

其中速度由機械能守恒定律,有

(3)如果求出此時的曲率半徑

即可解出

再令T=Td，則求出細繩被拉斷時柱珠子的位置為

細繩被拉斷時柱珠子的速度為

下面展示3種求此題臨界位置時曲率半徑的方法.

解法1：曲率半徑公式法

圖7

又

故曲率計算公式為

曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù)，曲率半徑[2]

此題

則有

又由三角形關(guān)系可知

且有

cos2α=2cos2α-1

代入曲率半徑公式整理可得

解法2:平拋運動模型法

圖8

聯(lián)想拋物線運動，即平拋軌跡,可以從高為H處，作一條與y軸對稱珠子軌跡的拋物線， 如圖8所示，則水平方向

豎直方向

聯(lián)立求得“平拋”的初速度為

而到達N點時的速度有

此時的向心加速度

從而解出N點的曲率半徑

向心加速度

所以,這一點的曲率半徑

解法3:天體運動模型法

由上列解法2中證明可知拋物線頂點處曲率半徑

可知

拋物線軌道能量

所以，求珠子在N點曲率半徑也可轉(zhuǎn)化成求衛(wèi)星的發(fā)射經(jīng)N的曲率半徑，如圖9所示，在焦點A處有一中心天體，質(zhì)量為M，珠子的質(zhì)量為m，由機械能守恒定律可得

圖9

而此時由牛頓第二定律，沿徑向有

解得此處的曲率半徑

點評:本題中解法1是學(xué)生查閱了高等數(shù)學(xué)中的專用公式，采取了純數(shù)學(xué)化的曲率半徑公式進行求解，雖然方法比較普遍(也可以求解橢圓端點的曲率半徑，只是導(dǎo)數(shù)較繁瑣，大家可以一試)，但是對數(shù)學(xué)要求過高.而平拋運動是我們熟悉的，不僅知道其軌跡是拋物線，而且知道其受力情況及詳細的運動學(xué)方程.這樣，我們可不必通過軌道方程而是運用力學(xué)原理分析其運動過程，即可求出與N對稱的N′點處拋物線的曲率半徑R與y的關(guān)系，也就是N處拋物線的曲率半徑R與y的關(guān)系，因此,解法2建立的平拋運動模型也是學(xué)生容易接受與聯(lián)想的，這當(dāng)然也是競賽參考答案中給出的解答方法，應(yīng)該屬于求解拋物線曲率半徑的基本方法，而且這種方法可以求解拋物線上任意一點的曲率半徑.解法3是屬于巧妙構(gòu)思，在教師的引導(dǎo)下，另辟蹊徑，雖然還是建立天體運動模型，但是思路不同、解法簡單，這不僅讓大家眼睛一亮，而后均興奮不已，因為學(xué)生從天體發(fā)射的過程中也提升了對曲率變化的新認識.

3 結(jié)語

其實，曲率半徑的求解既是一個數(shù)學(xué)問題，又是一個物理問題，通過以上的實例分析可以看出，運動模型的建立時,運動性質(zhì)可以有千差萬別，可以勻速率，也可以變速率，但只要軌跡相同，所對應(yīng)點的曲率半徑就會相同，明白了這一個道理，也就能切實領(lǐng)會到不同運動模型所帶來的思維魅力.同時，構(gòu)建模型的方法在物理中的運用并不陌生，物理模型可使研究對象直觀化、簡約化，使之便于研究，又可以延伸理論和升華結(jié)論等.因此，在教學(xué)過程中，我們要合理利用模型構(gòu)建課堂教學(xué)，并且從物理模型的構(gòu)建、發(fā)展與完善方面多角度、多層次地促進學(xué)生認知的全面發(fā)展，讓學(xué)生積極參與，自主建模，學(xué)會探究，學(xué)會學(xué)習(xí).

參考文獻

1 范小輝.新編高中物理實用題典，南京：南京師范大學(xué)出版社，2008.193～194

2 劉文娟,董艷慧.高等數(shù)學(xué)(上冊)，北京：經(jīng)濟科學(xué)出版社，2010.97

3 范小輝.新編高中物理奧賽指導(dǎo)，南京：南京師范大學(xué)出版社，2008.131～132