丁震

(江蘇省泰興中學(xué) 江蘇 泰州 225400)

高中物理教學(xué)中處理一般曲線運(yùn)動(dòng)的力和運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，常建立圓周運(yùn)動(dòng)模型，圓為相切圓或輔助圓，相切圓的半徑即為曲率半徑.在自主招生和物理競(jìng)賽的命題中，關(guān)于曲率半徑的知識(shí)也屢見(jiàn)不鮮.筆者重點(diǎn)利用幾種常見(jiàn)的物理模型推導(dǎo)圓錐曲線中特殊位置的曲率半徑，拋磚引玉，希望各位同仁批評(píng)指正.

1 曲率公式

曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡是曲線，在數(shù)學(xué)上，用曲率描述曲線(連續(xù)函數(shù))彎曲程度.如圖1所示,坐標(biāo)系xOy中,曲線上有兩逼近的點(diǎn)M和M′，設(shè)MM′的弧長(zhǎng)為Δs，M和M′切線的傾斜角變化量為Δα，則弧微分公式

平均曲率

圖1

M點(diǎn)的曲率

其中y′為一階導(dǎo)數(shù)，y″為二階導(dǎo)數(shù).

只要曲線方程給定，都能夠利用公式求出曲線上各點(diǎn)的曲率半徑.

2 平拋運(yùn)動(dòng)模型

如圖2所示,小球m以v0平拋，不計(jì)阻力，則

我們也需要注意到，大數(shù)據(jù)其實(shí)已經(jīng)對(duì)傳統(tǒng)調(diào)查方法產(chǎn)生了沖擊。我們應(yīng)該關(guān)注和思索這個(gè)問(wèn)題。不過(guò)，大數(shù)據(jù)通常掌握在騰訊、百度、阿里等大公司手里，個(gè)人大多并不掌握大數(shù)據(jù)的管道，并不容易獲取大數(shù)據(jù)。如果你不能獲取大數(shù)據(jù)，那么你就去找小數(shù)據(jù)，做抽樣問(wèn)卷調(diào)查，獲得結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)。目前，大數(shù)據(jù)方法和傳統(tǒng)調(diào)查方法處于并用階段。當(dāng)前以及今后一段很長(zhǎng)的時(shí)間里，抽樣問(wèn)卷調(diào)查依然是一種很常用的調(diào)查研究方法。

消去t得

得

故頂點(diǎn)O處曲率半徑ρ=p.

圖2

3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)模型

質(zhì)點(diǎn)m做橢圓運(yùn)動(dòng)，可視為兩個(gè)互相垂直的同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加，如圖3所示.

圖3

x方向：Fx=-kx，振幅為a；y方向Fy=-ky，振幅為b，其中k為回復(fù)力系數(shù),則在頂點(diǎn)A處

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率

得

同理,頂點(diǎn)B處

4 天體運(yùn)動(dòng)模型

圖4

質(zhì)量為M的太陽(yáng)在焦點(diǎn)F(c,0)處.設(shè)行星在雙曲線軌道頂點(diǎn)時(shí)的速率為v0，質(zhì)量為m的行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)在頂點(diǎn)處的機(jī)械能為

設(shè)行星遠(yuǎn)離太陽(yáng)時(shí)的速率為v∞，根據(jù)開普勒第二定律

vb=v0(c-a)

根據(jù)機(jī)械能守恒定律

可得

在頂點(diǎn)處

得

5 凹面鏡模型

幾何光學(xué)中凹面鏡成像的物、像關(guān)系在近軸光線條件下，利用笛卡兒規(guī)則表示為

其中s′為像距，s為物距，r為球面半徑，頂點(diǎn)左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正.

分別利用物、像關(guān)系推導(dǎo)圓錐曲線中頂點(diǎn)處的曲率半徑.

圖5

如圖5(a)，當(dāng)反射面為拋物面時(shí)

得

ρ=p

如圖5(b)，當(dāng)反射面為橢圓面時(shí)

得

如圖5(c)，當(dāng)反射面為雙曲面時(shí)

得

物、像關(guān)系的適用條件必須是近軸光線，而曲線上M和M′無(wú)限逼近，恰好使這一條件得以滿足，使得求曲率半徑不再是近似，而是精確求解，同時(shí)利用幾何光學(xué)求解更簡(jiǎn)單、易理解.

參考文獻(xiàn)

1 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)(第3版)． 北京：高等教育出版社，1988

2 沈晨．更高更妙的物理(第1版)． 杭州：浙江大學(xué)出版社，2006