丁璐 周榮樸 滕保華 吳明和 李業(yè)鳳

(電子科技大學物理電子學院 四川 成都 610054)

1 引言

在日常生活中，磁懸浮是一個重要現(xiàn)象，而磁懸浮陀螺玩具是其中一個簡單應用.它通過探究磁懸浮陀螺懸浮現(xiàn)象，加深對磁懸浮機理的理解.

市面上銷售的磁懸浮陀螺由一塊內(nèi)置環(huán)狀磁鐵的陀螺和一塊方形的磁性底座組成，附帶一個長方形塑料托盤，若干配重(塑料環(huán)和鐵環(huán))和楔形托片.轉(zhuǎn)動陀螺前，需通過加減環(huán)形配重來仔細調(diào)節(jié)陀螺重量，并利用楔形托片調(diào)節(jié)底座，使其水平放置.只有當達到一定轉(zhuǎn)速，并且在很小的高度范圍內(nèi)，陀螺才能穩(wěn)定懸浮.對于在平衡位置附近小范圍的擺動，陀螺能自動調(diào)節(jié)至穩(wěn)定狀態(tài).

國外學者T.B.Jones 等人[1]已經(jīng)詳細分析了陀螺在磁性底盤上方懸浮的原理和懸浮條件，并用實驗測得懸浮高度范圍.但文中為了得到陀螺穩(wěn)定懸浮的高度區(qū)間，需要測量方形磁體軸線上多個高度處的磁感應強度，使得具體操作具有一定局限性.

本文利用PASCO實驗平臺的磁感應強度測量傳感器，測量了方形永磁體軸線處不同高度上的磁感應強度，根據(jù)陀螺穩(wěn)定懸浮的條件和方形永磁體磁場分布的解析表達式，提出一種確定陀螺懸浮高度的簡化方法.利用該方法只需測量方形磁體外部任一點處的磁感應強度，就能得到陀螺穩(wěn)定懸浮的高度范圍，大大簡化了實驗過程.

2 底座磁感應強度的測量

2.1 PASCO實驗平臺

PASCO實驗平臺是一個將計算機數(shù)據(jù)采集與分析應用于物理實驗的系統(tǒng)，運用現(xiàn)代電子技術，采用傳感器進行數(shù)據(jù)采集，電腦進行過程控制和數(shù)據(jù)處理，尤其是對一些瞬態(tài)變化的物理量能做到實時測量，對一些不易觀察的物理現(xiàn)象能實現(xiàn)感官展示.根據(jù)PASCO實驗平臺實驗附件可組裝性強的特征進行新的實驗設計與設備研究，實現(xiàn)PASCO實驗平臺的設計性應用與擴展研究.本實驗利用的PASCO平臺由三個部分組成：

(1)磁場強度測量傳感器Magnetic Field Sensor CI-6520A.

(2)數(shù)據(jù)采集接口，能將傳感器的數(shù)據(jù)輸入計算機，最高采樣頻率為250 kHz.

(3)數(shù)據(jù)采集軟件，可以連續(xù)測試記錄掃描路線的磁場強度值，并可將數(shù)據(jù)導入Excel表格，方便后續(xù)數(shù)據(jù)處理.

2.2 實驗測量

本實驗所使用的磁懸浮陀螺的底座是邊長為10.00 cm，厚度為1.00 cm的方形永磁體.利用PASCO實驗儀Magnetic Field Sensor CI-6520A，測量了該永磁體中軸線上磁場分布.在實驗過程中，將傳感器探頭放置在該磁體中軸線位置，每間隔0.5 cm測量一次，測量高度范圍為2.00～20.00 cm.實驗裝置如圖1所示.從測量結果(圖2)可以看出，隨著測量高度的增加，磁場強度逐漸減小，在無窮遠處趨于零.

圖1 實驗裝置示意圖

測量高度z′/cm

3 簡化方法

3.1 磁懸浮陀螺穩(wěn)定條件

將磁性底座的磁場近似為以中軸線為軸對稱分布的磁場，軸向磁感應強度Hz為[1]

(1)

其中，z′為陀螺在平衡位置附近的縱坐標，ρ為平衡位置附近徑向微小位移，H0代表在z=0,ρ=0處的磁感應強度.系數(shù)α1,α2,…只與軸向分量Hz有關

(2)

不失一般性，設H0>0,忽略高次項，并假設陀螺是磁矩為m的磁偶極子，則磁場H施加給陀螺的力為

fm=μ0m·H

(3)

其中,μ0=4π×10-7H/m，陀螺平衡的條件是

μ0mα1H0=Mg

(4)

假設陀螺自身的磁矩與底座產(chǎn)生的磁場H平行 ，即

(5)

將式(5)代入式(3)，得到陀螺受到的力為

(6)

利用磁感應強度的展開式和公式(4)，減去平衡條件，得陀螺受到的力為

(7)

(8)

α1<0,α2>0,α12>4α2

(9)

圖3 陀螺受力分析示意圖

3.2 方形永磁體磁場分布的解析表達式

通過上述分析可知，利用底座磁場分布的解析表達式，即可得出陀螺懸浮的高度范圍.將底座簡化為沿一個方向均勻充分磁化且達到飽和狀態(tài)的方形永磁體[2～5]，認為磁體內(nèi)部磁化矢量M為常量、永磁體在宏觀上表現(xiàn)為只有表面電流而無體電流存在，外部空間中任意一點的磁場僅由永磁體表面閉合電流環(huán)路所激發(fā)，則規(guī)則的方形底座在軸線處產(chǎn)生磁場的磁感應強度為[2]

(10)

3.3 確定陀螺懸浮高度的簡化方法

根據(jù)陀螺穩(wěn)定懸浮的條件和方形永磁體磁場分布的解析表達式，本文提出一種確定陀螺懸浮高度的簡化方法.該方法通過只測量規(guī)則磁體外一點處的磁感應強度，來確定式(10)中永磁體的等效電流密度J，然后利用式(2)計算α1,α2,4α1-α22,從而確定陀螺懸浮高度.該方法最大優(yōu)點是省去了測量該磁體軸線上多點處磁感應強度的步驟，對于規(guī)則磁性底座使用時簡單方便.

對于本實驗使用的邊長、厚度分別為2a=10.00 cm，h=1.00 cm的方形永磁體磁體，將圖2中任一點代表的磁感應強度值代入式(10)，求得對應的J為1.65×106A/m2，根據(jù)式(10)計算中軸線上離開永磁體上表面不同距離處的磁場強度，如圖4所示.可以看出方形永磁體磁場強度解析式在一定誤差范圍內(nèi)能夠準確反映本實驗所用磁性底座磁場分布情況.

測量高度z′/cm

根據(jù)方形永磁體軸線處磁場分布式，解析計算了α1，α2，α12-4α2，結果如圖5所示，該圖為放大后的圖像，α1<0的條件已滿足，從圖中可以看出陀螺穩(wěn)定懸浮的區(qū)間為3.26～3.97 cm.

測量高度z′/cm

測量高度z′/cm

4 比較分析

4.1 利用多點測量方法得到的懸浮高度

對利用PASCO傳感器測得的分布曲線(圖2)進行多項式擬合，計算α1，α2，4α1-α22,也可得到陀螺能夠穩(wěn)定懸浮的高度區(qū)間為3.17～3.51 cm，如圖7所示.可以看出，該方法與文獻[1]采用的方法相同，適用于各種形狀的磁性底座，但是需要測量多點處的磁感應強度，并且為了提高測量準確性還需提供移動平臺等機械設備，因此與本文提出的簡化方法(只適用于規(guī)則形狀的磁性底座)相比顯得較為復雜 .

測量高度z′/cm

4.2 陀螺實際懸浮高度的實驗測量

在陀螺懸浮過程中，拍攝照片，測得實際陀螺穩(wěn)定區(qū)間為3.15～3.69 cm，如圖8所示.

通過上述比較可以看出,利用簡化方法得到的穩(wěn)定區(qū)間(3.26～3.97 cm)，與利用文獻[1]采用的方法得到的穩(wěn)定區(qū)間(3.17～3.51 cm)，以及實驗觀察到的穩(wěn)定區(qū)間(3.15～3.69 cm)在一定誤差范圍內(nèi)是一致的，從而驗證了上述簡化方法對規(guī)則磁體是可靠的.

圖8 實測陀螺懸浮高度

5 結論

本文利用PASCO實驗平臺的磁感應強度測量傳感器，測量了方形永磁體軸線處不同高度上的磁感應強度.然后根據(jù)磁懸浮陀螺穩(wěn)定懸浮的條件和方形永磁體磁場分布的解析表達式，提出了確定陀螺穩(wěn)定懸浮高度范圍的一種簡化方法.通過對陀螺實際懸浮高度區(qū)間的實驗測量，表明所采用的簡化方法能方便確定陀螺懸浮的高度范圍.

參考文獻

1 T.B.Jones, Masao Washizu, Roger Gans. Simple theory for the Levitron .J.Appl.Phys.82(2) :883～888.,15 July 1997

2 茍曉凡, 楊勇, 鄭曉靜. 矩形永磁體磁場分布的解析表達式.應用數(shù)學和力學, 2004, 15 (3): 271～278

3 王明勇, 郎志堅, 李國軍. 方形磁體的空間磁場分布.磁性材料及器件, 2001(6):17～20

4 李曉陽，徐金偉，劉宏娟. 矩形磁體三維磁場空間分布.北京工業(yè)大學學報, 2008,34 (1):1～6

5 王瑞凱，左洪福，呂萌. 環(huán)形磁鐵空間磁場的解析計算與仿真.航空計算技術,20011,41 (5):19～23