姜付錦 朱木清

(武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430030)

在基礎(chǔ)理論研究中有關(guān)耦合諧振子系統(tǒng)的精確求解具有廣泛意義.文獻(xiàn)[1]用拉格朗日方程和簡(jiǎn)正坐標(biāo)研究了兩體耦合擺系統(tǒng)振動(dòng)的規(guī)律，得到了耦合擺振動(dòng)方程的通解，但解中的任意常數(shù)沒有給出.文獻(xiàn)[2]基于利用不變特征算符法，推導(dǎo)了三體耦合擺系統(tǒng)的角頻率及其對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)正坐標(biāo)與共軛動(dòng)量，并且推導(dǎo)了明顯的系統(tǒng)的簡(jiǎn)正頻率解析解表達(dá)式及系統(tǒng)嚴(yán)格的波函數(shù)，但對(duì)三體耦合擺系統(tǒng)的振動(dòng)方程的解析解沒有給出.本文的工作基于牛頓力學(xué)知識(shí)寫出多體耦合擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程，并利用數(shù)學(xué)軟件Maple對(duì)耦合擺系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行求解和數(shù)值模擬，得到了系統(tǒng)的明顯簡(jiǎn)正頻率和振動(dòng)方程的解析解.

1 多體耦合擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

如圖1所示，對(duì)于多體耦合擺系統(tǒng)，由n個(gè)完全相同的彈簧振子構(gòu)成，并且θi≤5°(i=1,2,…,n)時(shí)，即簡(jiǎn)諧近似下，由牛頓力學(xué)知識(shí)寫出體系的微分動(dòng)力學(xué)方程如下.

圖1 多體耦合擺系統(tǒng)的振動(dòng)圖示

其中κ為彈簧的勁度系數(shù)，m為諧振子的質(zhì)量(彈簧的質(zhì)量忽略不計(jì))，g為重力加速度，L為耦合擺長(zhǎng)度.

2 雙體耦合擺系統(tǒng)

雙體耦合擺系統(tǒng)的微分動(dòng)力學(xué)方程為

2．1 用Maple求方程組的解析解

文獻(xiàn)[1,2]是用簡(jiǎn)正坐標(biāo)來(lái)求解析解，過程較復(fù)雜.這里我們用一種全新方法求解，它就是Maple，這是一款被稱為“數(shù)學(xué)家”的專業(yè)數(shù)學(xué)軟件，在輸入微分方程(組)，并給出初始值后就能解出微分方程(組)的解析解，而且還能進(jìn)行數(shù)值模擬，如圖2所示.

圖2 用Maple解兩體耦合擺的微分方程組

兩體耦合擺的振動(dòng)方程如下

式中x1,x2分別為兩個(gè)擺的初始位置；v1,v2分別為兩個(gè)擺的初始速度.由解析解可知耦合擺的簡(jiǎn)正頻率為

與文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果相同，每個(gè)擺的振動(dòng)方程是由4個(gè)分振動(dòng)合成的，分振動(dòng)的個(gè)數(shù)與系統(tǒng)的初始值有關(guān).

2．2 用Maple進(jìn)行數(shù)值模擬

令m=1 kg,L=10 m,g=10 m/s2,κ=0.1 N/m,x1=1 m,x2=0,v1=v2=0，則用Maple進(jìn)行數(shù)值模擬如圖3所示.

圖3 用Maple進(jìn)行振動(dòng)方程的數(shù)值模擬

2．3 圖形的分析

圖4 耦合振動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律

圖5 耦合振動(dòng)的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律

通過對(duì)圖4,5的分析可以發(fā)現(xiàn)：

(1)讓第一個(gè)擺振動(dòng)起來(lái)以后，它的振幅是周期性變化的，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)擺振幅最大時(shí)，第二個(gè)擺振幅最?。划?dāng)?shù)诙€(gè)擺振幅最大時(shí)，第一個(gè)擺振幅最小，且它們變化的周期和最大值相同，即達(dá)到了位移共振.

(2)當(dāng)?shù)谝粋€(gè)擺的速度最大時(shí)，第二個(gè)擺速度最小；當(dāng)?shù)诙€(gè)擺最大時(shí)，第一個(gè)擺速度最小，它們速度的變化周期和最大值相同，即達(dá)到了速度共振.

(3)兩個(gè)擺之間機(jī)械能的傳遞是借助輕彈簧實(shí)現(xiàn)的，當(dāng)一個(gè)擺的能量增加時(shí)，另一擺的能量就減小，但耦合振動(dòng)系統(tǒng)的總能量守恒.

3 結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)雙體耦合擺的振動(dòng)規(guī)律的研究可以發(fā)現(xiàn),Maple強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算能力和數(shù)值模擬能力，所以,在平時(shí)的教學(xué)研究中,我們可以只需用物理規(guī)律建立物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程(組)，然后,應(yīng)用Maple進(jìn)行符號(hào)求解和數(shù)值模擬，非常方便.如果耦合擺的個(gè)數(shù)大于2，則只需將以上的程序稍加修改即可，限于篇幅這里不再討論.

參考文獻(xiàn)

1 周柏衍.理論力學(xué)教程(第2版).北京：高等教育出版社，1986.306～309

2 成泰民,孫立紅.三體耦合擺量子系統(tǒng)的精確波函數(shù).大學(xué)物理，2011，30(11)：7～9