摘要：基于向量式有限元基本原理，首先推導(dǎo)了4節(jié)點(diǎn)膜單元的基本公式，詳細(xì)闡述了通過逆向運(yùn)動(dòng)獲得單元節(jié)點(diǎn)純變形位移的過程，以及進(jìn)一步通過變形坐標(biāo)系獲得單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力的求解方法；同時(shí)對(duì)4節(jié)點(diǎn)膜單元的位置模式和內(nèi)力計(jì)算的數(shù)值積分等問題提出了合理可行的處理方法。在此基礎(chǔ)上編制了4節(jié)點(diǎn)膜單元的計(jì)算分析程序，通過算例分析驗(yàn)證了理論公式和所編制程序的正確性和有效性，進(jìn)而將本文方法應(yīng)用于氣枕充氣和布料懸垂等膜結(jié)構(gòu)大變形大轉(zhuǎn)動(dòng)問題的計(jì)算分析。

關(guān)鍵詞：膜結(jié)構(gòu)；向量式有限元；4節(jié)點(diǎn)膜單元；變形；位置模式

中圖分類號(hào)：TU383

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-4764（2013）04-0060-08

膜結(jié)構(gòu)是一種被廣泛使用的柔性結(jié)構(gòu)，僅有很小的抗壓或抗彎剛度，面外荷載作用下容易產(chǎn)生大變形大轉(zhuǎn)動(dòng)甚至發(fā)生皺折，具有較強(qiáng)的幾何非線性效應(yīng)。傳統(tǒng)的非線性有限元法基于拉格朗日應(yīng)變方程和Newton-Raphson迭代技術(shù)，采用忽略抗彎剛度的薄膜單元進(jìn)行膜結(jié)構(gòu)分析。文獻(xiàn)[1]進(jìn)行了張拉膜結(jié)構(gòu)的找形和荷載分析，文獻(xiàn)[2]對(duì)正交異性的預(yù)應(yīng)力膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行了荷載及褶皺分析，文獻(xiàn)[3]比較了平面三角形膜單元和曲面三角形等參元在膜結(jié)構(gòu)找形分析中的優(yōu)劣，文獻(xiàn)[4]對(duì)具有自適應(yīng)網(wǎng)格的布料運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬。有限元法計(jì)算精度較高，但在大變形大轉(zhuǎn)動(dòng)下容易由于剛體位移導(dǎo)致剛度矩陣奇異而迭代不收斂。在建筑膜結(jié)構(gòu)領(lǐng)域，力密度法^[5]和動(dòng)力松弛法^[6]也是重要的分析方法。力密度法將膜離散為等代的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，引入力密度并轉(zhuǎn)化為線性方程組問題來獲得近似求解結(jié)果。文獻(xiàn)[7]將力密度法由索桿單元擴(kuò)展至三角形面單元。該法計(jì)算簡單，但得到的找形初始位形會(huì)存在較大誤差。動(dòng)力松弛法通過加入阻尼對(duì)節(jié)點(diǎn)采用動(dòng)力學(xué)過程來獲得最終靜力平衡狀態(tài)，主要應(yīng)用于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的找形分析，文獻(xiàn)[8]采用平面三角形膜單元進(jìn)行了膜結(jié)構(gòu)的找形分析。在布料運(yùn)動(dòng)仿真模擬領(lǐng)域，為滿足實(shí)時(shí)性要求，通常采用簡化的質(zhì)點(diǎn)-彈簧模型^[9-10]進(jìn)行布料運(yùn)動(dòng)數(shù)值模擬。文獻(xiàn)[11]引入對(duì)彈簧的約束機(jī)制來克服由于彈簧強(qiáng)度過大造成的布料抖動(dòng)和強(qiáng)度過小造成的超彈性現(xiàn)象。該法計(jì)算簡單快速，但在力學(xué)建模和數(shù)值計(jì)算的精確度上較差。文獻(xiàn)[12]則采用有限體積法對(duì)織物布料的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析模擬。

向量式有限元^[13-15]是一種基于點(diǎn)值描述和向量力學(xué)理論的新型分析方法。該方法以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來描述體系行為，其計(jì)算流程是逐點(diǎn)逐步循環(huán)，不存在單元?jiǎng)偠染仃嚭途仃嚻娈悊栴}，且無需求解復(fù)雜的非線性聯(lián)立方程組，即也不存在迭代不收斂問題。通過引入逆向運(yùn)動(dòng)和變形坐標(biāo)系，可消除剛體位移所帶來的數(shù)值誤差。因此向量式有限元非常適合于大變位大轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)構(gòu)和機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)問題的分析。已有學(xué)者在向量式有限元膜單元開發(fā)方面做了一些工作^[16-17]。

本文首先推導(dǎo)4節(jié)點(diǎn)膜單元的向量式有限元基本公式，描述運(yùn)動(dòng)解析的原理及變形坐標(biāo)系下單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力的求解方法，同時(shí)對(duì)4節(jié)點(diǎn)膜單元的位置模式和內(nèi)力計(jì)算的數(shù)值積分等問題提出合理可行的處理方法；編制計(jì)算分析程序，并通過算例分析驗(yàn)證理論公式和程序的正確性和有效性。

1基本公式推導(dǎo)

向量式有限元的基本原理是將結(jié)構(gòu)離散為有質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)間無質(zhì)量的單元，通過質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力運(yùn)動(dòng)過程來獲得結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力情況，質(zhì)點(diǎn)間的運(yùn)動(dòng)約束通過單元連接來實(shí)現(xiàn)（本文為平面4節(jié)點(diǎn)4邊形等參單元）。質(zhì)點(diǎn)a的運(yùn)動(dòng)滿足質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)微分方程（α=0時(shí)即為牛頓第二定律）：

圖12給出了布料在重力作用下幾個(gè)典型時(shí)刻（t=0.10、 0.20、0.25、0.30、0.35、0.40 s）的懸垂變形圖。由圖12可知，布料在重力作用下四角首先開始出現(xiàn)對(duì)稱性懸垂下擺，并出現(xiàn)4條明顯的折痕線；接著布料四角下擺變形逐漸增大，各部分交界處相互靠近趨于明顯；最后布料下擺變形繼續(xù)增大直至角端處于最低點(diǎn)位置的變形狀態(tài)為止。

由于本例并未考慮布料自身的接觸行為，在t=0.30 s后布料各部分交界已出現(xiàn)非真實(shí)的相互穿透現(xiàn)象，需通過加入碰撞機(jī)制才能進(jìn)行消除。盡管如此，本例仍體現(xiàn)了本文方法可有效模擬物體運(yùn)動(dòng)而進(jìn)行結(jié)構(gòu)大變形仿真運(yùn)動(dòng)分析。

4結(jié)論

1） 基于向量式有限元，推導(dǎo)了4節(jié)點(diǎn)膜單元的基本公式，詳細(xì)闡述了通過逆向運(yùn)動(dòng)處理膜單元的平面內(nèi)、外剛體位移從而獲得單元節(jié)點(diǎn)純變形位移的過程，以及進(jìn)一步通過變形坐標(biāo)系獲得單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力的求解方法；同時(shí)對(duì)4節(jié)點(diǎn)膜單元的位置模式和內(nèi)力計(jì)算的數(shù)值積分等問題提出了合理可行的處理方法。

2） 編制了向量式有限元4節(jié)點(diǎn)膜單元的計(jì)算分析程序，并通過算例分析驗(yàn)證了理論推導(dǎo)和所編制程序的正確性和有效性。進(jìn)而將本文方法應(yīng)用于氣枕充氣和布料仿真運(yùn)動(dòng)模擬，跟蹤獲得其大變形大轉(zhuǎn)動(dòng)全過程。

3） 向量式有限元可有效克服傳統(tǒng)有限元中由于剛體運(yùn)動(dòng)及大變形引起的剛度矩陣奇異和計(jì)算不收斂等問題，在膜結(jié)構(gòu)的大變形大轉(zhuǎn)動(dòng)分析中具有一定的優(yōu)勢(shì)。

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（編輯郭飛）